人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案4：5 1 1 变化率问题

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15.1.1变化率问题〖目标导航〗课程标准课标解读初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义.会求函数的平均变率与瞬时变化率.并能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值.通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率.〖知识精讲〗1.函数的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：的增量与的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间〖x1，x2〗上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的．2.瞬时速度(1)物体在的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).〖即学即练1〗一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（）A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3〖即学即练2〗设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量是（）A． B．C． D．〖即学即练3〗若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝()A．3 B．－3C．－3－ D．－－3〖即学即练4〗已知函数的图象上一点及邻近点，则（）A．2 B． C． D．〖即学即练5〗如果函数在区间上的平均变化率为,则（）A． B． C． D．〖即学即练6〗物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为()A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4〖即学即练7〗将物体以速度v0(v0＞0)竖直上抛，ts时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．〖即学即练8〗一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围．〖能力拓展〗考法01函数的平均变化率：1.求函数的平均变化率；2.平均变化率的几何意义.〖典例1〗求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为eq\f(1,3)，哪一点附近的平均变化率最大？〖典例2〗过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．考法02求瞬时速度〖典例3〗某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示.（1）求物体在t＝1s时的瞬时速度．（2）试求物体的初速度．（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁〖知识精讲〗1.函数的平均变化率(2)函数值 自变量(4)斜率2.瞬时速度(1)某一时刻．〖即学即练1〗〖答案〗B〖解析〗，故选：B.〖即学即练2〗〖答案〗D〖解析〗自变量由改变到，当时，；当时，，.故选：D.〖即学即练3〗〖答案〗D〖解析〗，.故选：D.〖即学即练4〗〖答案〗A〖解析〗由题意得，所以，故选A．〖即学即练5〗〖答案〗C〖解析〗根据平均变化率的定义，可知.故选.〖即学即练6〗〖答案〗B〖解析〗Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.所以当Δt→0时，＝16－8t－4Δt→16－8t.又因为在某时刻的瞬时速度为零，所以16－8t＝0，解得t＝2,选B.〖即学即练7〗〖解〗因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以＝v0－gt0－gΔt，当Δt趋近于0时，趋近于常数v0－gt0.故物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.〖即学即练8〗〖解〗质点在2到2＋Δt之间的平均速度为又≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1.又Δt>0，∴Δt的取值范围为(0,1〗．〖能力拓展〗考法01函数的平均变化率：1.求函数的平均变化率；2.平均变化率的几何意义.〖典例1〗〖解〗在x＝1附近的平均变化率为k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.当Δx＝eq\f(1,3)时，k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大．〖典例2〗〖解〗割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率eq\f(Δy,Δx).∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割线PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx)＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.考法02求瞬时速度〖典例3〗〖解〗（1）∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.（2）求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.（3）设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又eq\f