人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：5 3 2 第2课时 函数的最大(小)值

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1第2课时函数的最大(小)值学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．导语同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值．一、极值与最值的关系问题1如图是y＝f(x)在区间〖a，b〗上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？〖提示〗最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在．问题2开区间上的连续函数有最值吗？〖提示〗如图．容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到．知识梳理函数最值的定义(1)一般地，如果在区间〖a，b〗上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间〖a，b〗上连续是f(x)在闭区间〖a，b〗上有最大值和最小值的充分不必要条件．例1如图是函数y＝f(x)在区间〖a，b〗上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．解由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)．反思感悟最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．跟踪训练1设f(x)是区间〖a，b〗上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在区间〖a，b〗上可能没有极值点D．f(x)在区间〖a，b〗上可能没有最值点〖答案〗C〖解析〗根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间〖a，b〗上单调，则函数f(x)在区间〖a，b〗上没有极值点，所以C正确．二、求函数的最值例2求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈〖－2,3〗；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋sinx，x∈〖0,2π〗．解(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈〖－2,3〗，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令f′(x)＝0，解得x＝－eq\r(2)或x＝eq\r(2).因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f(eq\r(2))＝－8eq\r(2)，f(－eq\r(2))＝8eq\r(2)，所以当x＝eq\r(2)时，f(x)取得最小值－8eq\r(2)；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝eq\f(1,2)＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈〖0,2π〗，解得x＝eq\f(2π,3)或x＝eq\f(4π,3).因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2).所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思感悟求函数最值的步骤(1)求函数的定义域．(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．跟踪训练2求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈〖－2,4〗；(2)f(x)＝eq\f(x－1,ex).解(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值为35，最小值为－37.(2)函数f(x)＝eq\f(x－1,ex)的定义域为R.f′(x)＝eq\f(1·ex－exx－1,ex2)＝eq\f(2－x,ex)，当f′(x)＝0时，x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增eq\f(1,e2)单调递减∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，∴f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝eq\f(1,e2).三、利用最值证明不等式例3已知函数f(x)＝ex－e(lnx＋1)，求证f(x)≥0恒成立．解由题意知f′(x)＝ex－eq\f(e,x)＝eq\f(xex－e,x)，设F(x)＝xex－e(x>0)，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0.当x∈(0，1)时，F(x)<0，∴f′(x)＝eq\f(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0，∴f′(x)＝eq\f(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),x)>0，f(x)单调递增．f(x)的最小值为f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立．反思感悟证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果．跟踪训练3已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnx．求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq\f(2,3)x3的图象的下方．证明设F(x)＝g(x)－f(x)，即F(x)＝eq\f(2,3)x3－eq\f(1,2)x2－lnx，则F′(x)＝2x2－x－eq\f(1,x)＝eq\f(x－12x2＋x＋1,x).当x>1时，F′(x)＝eq\f(x－12x2＋x＋1,x)>0，从而F(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)>F(1)＝eq\f(1,6)>0.∴当x>1时，g(x)－f(x)>0，即f(x)<g(x)，故在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq\f(2,3)x3的图象的下方．1．知识清单：(1)函数最值的定义．(2)求函数最值．(3)函数最值的应用．2．方法归纳：转化化归、分类讨论．3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．1．下列结论正确的是()A．若f(x)在〖a，b〗上有极大值，则极大值一定是〖a，b〗上的最大值B．若f(x)在〖a，b〗上有极小值，则极小值一定是〖a，b〗上的最小值C．若f(x)在〖a，b〗上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得D．若f(x)在〖a，b〗上连续，则f(x)在〖a，b〗上存在最大值和最小值〖答案〗D〖解析〗函数f(x)在〖a，b〗上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在〖a，b〗上一定存在最大值和最小值．2．函数y＝x－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))的最大值是()A．π－1B.eq\f(π,2)－1C．πD．π＋1〖答案〗C〖解析〗y′＝1－cosx，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，y′>0，则函数在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π.3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()A．有最值，但无极值B．有最值，也有极值C．既无最值，也无极值D．无最值，但有极值〖答案〗C〖解析〗f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x