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常微分方程期中试卷(2)班级姓名学号得分一、计算题（每小题10分，本题共50分）求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4．5．二、计算题（每小题10分，本题共20分）6．求方程的通解．7．求下列方程组的通解．三、证明题（每小题15分，本题共30分）8．设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为．9．在方程中，已知在上连续．试证明：若存在使方程的两个解，同在处取极值，则，不能是方程的基本解组．试卷答案一、计算题（每小题６分，本题共30分）1．解方程化为令，则，代入上式，得分量变量，积分，通解为原方程通解为2．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+3．解因为，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即4．解原方程是克来洛方程，通解为5．解原方程是恰当导数方程，可写成即分离变量解此方程，通积分为二、计算题（每小题10分，本题共20分）6．解对应的齐次方程的特征方程为，特征根为，故齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，得即，故原方程的通解为7．解方程组的特征方程为即特征根为，对应的解为其中是对应的特征向量的分量，满足可解得．同样可算出对应的特征向量分量为．所以，原方程组的通解为三、证明题（每小题10分，本题共20分）8．证明由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然是方程的两个常数解．任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．9．证明由已知条件，该方程的任一解都在区间上存在．若在处取极值，则必有成立，于是由解构成的朗斯基行列式在处的值为

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