高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版

【创新设计】高考数学一轮复习第三章任意角和弧度制及任意角的三角函数训练理新人教A版eq\a\vs4\al(第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数)[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1.考查形式为选择题或填空题．2.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题，如年新课标全国T5等．3.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用，如年山东T16等.[归纳·知识整合]1．角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角α与β角的终边相同β＝α＋k·360°(k∈Z)(或β＝α＋k·2π，k∈Z)[探究]1.终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同．2．锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是锐角，如0°，－30°都不是锐角．2．弧度的概念与公式在半径为r的圆中分类定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形的面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r23．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[探究]3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析：选C∵eq\f(9,4)π＝eq\f(9,4)×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴与eq\f(9,4)π终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)．2．(教材习题改编)若角θ同时满足sinθ＜0且tanθ＜0，则角θ的终边一定落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D由sinθ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1 B．4C．1或4 D．2或4解析：选C设扇形的弧长为l，半径为r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)l·r＝2，))解之得l＝r＝2或r＝1，l＝4，故圆心角θ＝1或4.4．(教材习题改编)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，则x的值为________．解析：∵cosα＝eq\f(－x,\r(－x2＋－62))＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,\f(x2,x2＋36)＝\f(25,169)，))解之得x＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)5．若点P在角eq\f(2π,3)的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________．解析：∵角eq\f(2,3)π的终边落在第二象限，∴可设P(x，y)，其中x＜0，y＞0，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝cos\f(2,3)π，,\f(y,2)＝sin\f(2,3)π，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\r(3)，))∴P(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))象限角及终边相同的角[例1](1)写出终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，求在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角；(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．[自主解答](1)∵在(0，π)内终边在直线y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(2)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．依题意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)＜2π⇒－eq\f(3,7)≤k＜eq\f(18,7)，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)相同的角为eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21).(3)由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．在(3)的条件下，判断eq\f(α,2)为第几象限角？解：∵π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，eq\f(π,2)＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3,4)π＋2nπ，当k＝2n＋1(n∈Z)时，eq\f(3,2)π＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(7,4)π＋2nπ，∴eq\f(α,2)为第二或第四象限角．———————————————————1．由α所在的象限，确定eq\f(α,n)所在象限的方法(1)由角α的范围，求出eq\f(α,n)所在的范围；(2)通过分类讨论把角写成θ＋k·360°(k∈Z)的形式，然后判断eq\f(α,n)所在象限．2．已知三角函数式的符号判断角所在的象限可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限．1．(1)已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(|cosθ|,cosθ)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值为()A．1 B．－1C．3 D．－3(2)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：(1)选B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.因此，y＝－1＋1－1＝－1.(2)选B∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＜0，,cosα＜0，))∴α是第二象限角.三角函数的定义[例2]已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，求cosα，tanα的值．[自主解答]∵由题设知x＝－eq\r(3)，y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O为原点)，得r＝eq\r(3＋m2).从而sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，于是3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).当m＝eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，∴cosα＝－eq\f(\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；当m＝－eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).———————————————————利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：①角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；②纵坐标y；③该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|.当t＞0时，即x>0时，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；当t＜0时，即x<0时，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).综上可知，当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x>0部分时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x<0部分时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).弧度制下扇形弧长与面积公式的应用[例3]已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．[自主解答](1)∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l＝Rα＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)cm.(2)∵扇形的周长20，∴2R＋l＝20，即2R＋Rα＝20，∴S＝eq\f(1,2)R2α＝eq\f(1,2)R(20－2R)＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25，∴当R＝5时，扇形的面积最大，此时α＝eq\f(20－10,5)＝2，即α＝2弧度时，这个扇形的面积最大．(3)S弓形＝eq\f(1,2)R2α－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×4×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，即弓形的面积为eq\f(2π,3)－eq\r(3)cm2.若将本例(1)中的“R＝10cm”改为“扇形的弦AB＝10eq\r(2)cm解：由题意得eq\f(5\r(2),R)＝sin30°，即R＝10eq\r(2)，故弧长l＝Rα＝10eq\r(2)×eq\f(π,3)＝eq\f(10\r(2)π,3)cm.———————————————————弧度制的应用(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．记住下列公式：①l＝αR；②S＝eq\f(1,2)lR；③S＝eq\f(1,2)αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积．3．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：(1)如图所示，过O作OC⊥AB于点C，则AC＝5，在Rt△ACO中，sin∠AOC＝eq\f(AC,AO)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，∴∠AOC＝30°，∴α＝2∠AOC＝60°.(2)∵60°＝eq\f(π,3)，∴l＝|α|r＝eq\f(10π,3).S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3).又S△AOB＝eq\f(1,2)×10×10sineq\f(π,3)＝25eq\r(3)，∴S弓形＝S扇－S△AOB＝eq\f(50π,3)－25eq\r(3)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).1条规律——三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．4个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题(1)第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)要熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．(4)要注意三角函数线是有向线段.创新交汇——三角函数的定义与向量的交汇问题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大．[典例](·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．[解析]因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即∠PCA＝2，则∠PCB＝2－eq\f(π,2)，所以PB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，CB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以＝(2－sin2，1－cos2)．[答案](2－sin2,1－cos2)eq\a\vs4\al([名师点评])1．本题具有以下创新点(1)本题考查三角函数与向量的知识，表面看似向量问题，其实质是考查三角函数的概念问题．(2)通过静止问题解决动态问题，考查了考生处理变与不变的能力、运算求解能力、应用能力和创新能力．2．解决本题的关键有以下几点(1)正确理解圆的滚动过程，确定圆心C的坐标；(2)正确作出辅助线，并求得BP与BC的长度；(3)正确应用向量的坐标运算求出的坐标．eq\a\vs4\al([变式训练])1．(·安徽高考)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转eq\f(3π,4)后得向量，则点Q的坐标是()A．(－7eq\r(2)，－eq\r(2)) B．(－7eq\r(2)，eq\r(2))C．(－4eq\r(6)，－2) D．(－4eq\r(6)，2)解析：选A设从x轴正方向逆时针到向量的角为α，则从x轴的正方向逆时针到向量的夹角为α＋eq\f(3,4)π，这里cosα＝eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5).设Q坐标为(x，y)，根据三角函数的定义x＝10coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,4)π))＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－7eq\r(2)，y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,4)π))＝－eq\r(2)，即Q(－7eq\r(2)，－eq\r(2))．2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为()解析：选C如图取AP的中点为D.设∠DOA＝θ，则d＝2sinθ，l＝2θ，故d＝2sineq\f(l,2).一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限 B．在第一或第二象限C．第二或第四象限 D．在第三或第四象限解析：选A当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k为奇数时，α的终边与45°角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．2．点A(sin2013°，cos2013°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C由2013°＝360°×5＋(180°＋33°)可知，2013°角的终边在第三象限，所以sin2013°＜0，cos2013°＜0，即点A位于第三象限．3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数aA．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：选A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))即－2＜a≤3.4．若α是第三象限角，则y＝的值为()A．0 B．2C．－2 D．2或－2解析：选A由于α是第三象限角，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角，当eq\f(α,2)是第二象限角时，y＝eq\f(sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(－cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝1－1＝0；当eq\f(α,2)是第四象限角时，y＝eq\f(－sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝－1＋1＝0.5．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析：选A由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).6．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D．3解析：选A设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若点P(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则eq\f(y,x)的值为________．解析：eq\f(y,x)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq\r(3).答案：－eq\r(3)8．(·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ＜0，则此三角形为________．解析：∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的两个内角．∴sinα＞0，cosβ＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形．答案：钝角三角形9．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为________．解析：∵r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m＞0，∴eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，∴m＝±eq\f(1,2).∵m＞0，∴m＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知角α的终边过点P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求α的三角函数值．解：∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴－1<cosθ<0.∴r＝eq\r(9cos2θ＋16cos2θ)＝－5cosθ，故sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).11．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解：设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))则圆心角α＝eq\f(l,r)＝2.如图，过O作OH⊥AB于H.则∠AOH＝1，故AH＝1·sin1＝sin1cm，故AB＝2sin1cm.12．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ解：由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，所以，sinα＝eq\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－2a2))＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝eq\f(－2a,a)＝－2，sinβ＝eq\f(a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(1,\r(5))，cosβ＝eq\f(2a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(2,\r(5))，tanβ＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝eq\f(－2,\r(5))·eq\f(1,\r(5))＋eq\f(1,\r(5))·eq\f(2,\r(5))＋(－2)×eq\f(1,2)＝－1.1．(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；(2)在0°～720°的范围内，找出与eq\f(2π,5)终边相同的角．解：(1)∵－1480°＝－1480°×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(74π,9)rad，又－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)＝－5×2π＋eq\f(16π,9)，故－1480°＝eq\f(16π,9)＋(－5)×2π.(2)∵eq\f(2π,5)＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴终边与eq\f(2π,5)相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°的范围内，与eq\f(2π,5)终边相同的角为72°，432°.2．(1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断eq\f(sincosθ,cossin2θ)的符号是什么？解：(1)因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＞0，,cosθ＜0，))所以θ为第二象限角．(2)∵2kπ＋eq\f(π,2)＜θ＜2kπ＋π(k∈Z)，∴－1＜cosθ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π(k∈Z)，－1≤sin2θ＜0，∴sin(cosθ)＜0，cos(sin2θ)＞0.∴eq\f(sincosθ,cossin2θ)＜0.∴eq\f(sincosθ,cossin2θ)的符号是负号．3．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)α·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))2＝eq\f(C2,2)α·eq\f(1,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16)，当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值eq\f(C2,16).4．设θ是第二象限角，试比较sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)的大小．解：∵θ是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(θ,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,2)是第一或第三象限的角．(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：①当eq\f(θ,2)是第一象限角时，sineq\f(θ,2)＝AB，coseq\f(θ,2)＝OA，taneq\f(θ,2)＝CT，从而得，coseq\f(θ,2)＜sineq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2)；②当eq\f(θ,2)是第三象限角时，sineq\f(θ,2)＝EF，coseq\f(θ,2)＝OE，taneq\f(θ,2)＝CT，得sineq\f(θ,2)＜coseq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2).综上所得，当eq\f(θ,2)在第一象限时，coseq\f(θ,2)＜sineq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2)；当eq\f(θ,2)在第三象限时，sineq\f(θ,2)＜coseq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2).第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[备考方向要明了]考什么怎么考1.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.1.以选择题或填空题的形式考查利用诱导公式及同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，主要包括知角求值、知值求角和知值求值，如年辽宁T7等．2.作为一种运用与三角恒等变换相结合出现在解答题中，主要起到化简三角函数关系式的作用.[归纳·知识整合]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).[探究]1.如何理解基本关系中“同角”的含义？提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2eq\f(α,3)＋cos2eq\f(α,3)＝1，tan4α＝eq\f(sin4α,cos4α)等都是成立的，而sin2θ＋cos2φ＝1就不成立．2．诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[探究]2.有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你认为正确吗？提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，eq\f(π,2)－α，eq\f(π,2)＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝eq\f(1,2)，则sinα的值为()A．±eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．±eq\f(\r(3),2)解析：选Dcos(π＋α)＝－cosα＝eq\f(1,2)，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∴sinα＝±eq\r(1－cosα2)＝±eq\f(\r(3),2).2．tan690°的值为()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3) D．－eq\r(3)解析：选Atan690°＝tan(－30°＋2×360°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).3．(教材习题改编)若tanα＝2，则eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)的值为()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(5,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(5,3)解析：选Ceq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－1,tanα＋1)＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3).4．(教材习题改编)已知tanα＝eq\r(3)，π＜α＜eq\f(3,2)π，则cosα－sinα＝________.解析：∵tanα＝eq\r(3)，π＜α＜eq\f(3,2)π，∴α＝eq\f(4,3)π，∴cosα－sinα＝coseq\f(4,3)π－sineq\f(4,3)π＝－coseq\f(π,3)＋sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3)－1,2).答案：eq\f(\r(3)－1,2)5．计算sineq\f(10π,3)－eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,3)))＝________.解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(4π,3)))－eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(3π,4)))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))－eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))－taneq\f(π,3)＝－sineq\f(π,3)＋eq\r(2)coseq\f(π,4)－eq\r(3)＝－eq\f(3\r(3),2)＋1.答案：－eq\f(3\r(3),2)＋1同角三角函数关系式的应用[例1]已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求tanα的值；(2)把eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出来，并求其值．[自主解答](1)法一：联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).法二：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).∵sinαcosα＝－eq\f(12,25)<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0.∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).(2)eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(sin2α＋cos2α,cos2α),\f(cos2α－sin2α,cos2α))＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α).∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2)＝－eq\f(25,7).保持本例条件不变，求：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋2sinαcosα的值．解：由例题可知tanα＝－eq\f(4,3).(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝eq\f(tanα－4,5tanα＋2)＝eq\f(－\f(4,3)－4,5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＋2)＝eq\f(8,7).(2)sin2α＋2sinαcosα＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(\f(16,9)－\f(8,3),1＋\f(16,9))＝－eq\f(8,25).———————————————————同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.1．已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.解：∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β.②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β.③由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(3,8)，∴cosα＝±eq\f(\r(6),4).诱导公式的应用[例2](1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))的值；(2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－eq\f(3,5)，求sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7,2)π))的值．[自主解答](1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝π，∴eq\f(5π,6)－α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(\r(3),3)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).∴sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7,2)π))＝sin(π＋α)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)π－α))))＝sinα·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝sinα·eq\f(cosα,sinα)＝cosα＝eq\f(3,5).———————————————————利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．2化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2．(1)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan2π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝()A.eq\f(9,16) B．－eq\f(9,16)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)(2)设f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.解析：(1)选B∵方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－eq\f(3,5)，由题知sinα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(3,4).∴原式＝eq\f(cosα－sinαtan2α,sinαcosα)＝－tan2α＝－eq\f(9,16).(2)∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)诱导公式在三角形中的应用[例3]在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[自主解答]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\r(2)sinB①,\r(3)cosA＝\r(2)cosB②))①2＋②2得2cos2A即cosA＝eq\f(\r(2),2)或cosA＝－eq\f(\r(2),2).(1)∵当cosA＝eq\f(\r(2),2)时，cosB＝eq\f(\r(3),2)，又A、B是三角形的内角，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(7π,12).(2)∵当cosA＝－eq\f(\r(2),2)时，cosB＝－eq\f(\r(3),2).又A、B是三角形的内角，∴A＝eq\f(3π,4)，B＝eq\f(5π,6)，不合题意．综上知，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7π,12).———————————————————1．三角形中的诱导公式在三角形ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝coseq\f(C,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq\f(C,2).2．求角的一般步骤求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．3．在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\r(2)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解：∵sinA＋cosA＝eq\r(2)，∴1＋2sinAcosA＝2，∴sin2A∵A为△ABC的内角，∴2A＝eq\f(π,2)，∴A＝eq\f(π,4).∵eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，∴eq\r(3)coseq\f(π,4)＝eq\r(2)cosB，∴cosB＝eq\f(\r(3),2).∵0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,6).∵A＋B＋C＝π，∴C＝eq\f(7π,12).∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7π,12).1个口诀——诱导公式的记忆口诀奇变偶不变，符号看象限．1个原则——诱导公式的应用原则负化正、大化小、化到锐角为终了．3种方法——三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….3个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区[典例](·重庆高考)若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则tanα＝________.[解析]依题意得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).[答案]eq\f(4,3)eq\a\vs4\al([易误辨析])1．解答本题时，常会出现以下两种失误(1)忽视题目中已知条件α的范围，求得sinα的两个值而致误；(2)只注意到α的范围，但判断错sinα的符号而导致tanα的值错误．2．由同角三角函数的平方关系求sinα或cosα时，要注意以下两点(1)题目中若没有限定角α的范围，则sinα或cosα的符号应有两种情况，不可漏掉．(2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sinα或cosα的符号，不合题意的一定要舍去．eq\a\vs4\al([变式训练])1．(·福州模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则cosα＝________.解析：依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))由此解得cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，因此cosα＝－eq\f(\r(5),5).答案：－eq\f(\r(5),5)2．(·泰州模拟)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq\f(1,16)，则cosθ－sinθ的值是________．解析：(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝eq\f(15,16).∵eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)，∴cosθ＜sinθ.∴cosθ－sinθ＝－eq\f(\r(15),4).答案：－eq\f(\r(15),4)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．α是第一象限角，tanα＝eq\f(3,4)，则sinα＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．－eq\f(3,5)解析：选Btanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sinα＝eq\f(3,5).2．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝()A．－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析：选Bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(3,5).3．(·安徽名校模拟)已知tanx＝2，则sin2x＋1＝()A．0 B.eq\f(9,5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)解析：选Bsin2x＋1＝eq\f(2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tan2x＋1,tan2x＋1)＝eq\f(9,5).4．已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α,cos－π－αtanα)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：选C∵f(α)＝eq\f(sinαcosα,－cosαtanα)＝－cosα，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).5．(·西安模拟)已知2tanα·sinα＝3，－eq\f(π,2)＜α＜0，则sinα＝()A.eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：选B由2tanα·sinα＝3得，eq\f(2sin2α,cosα)＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，又－eq\f(π,2)＜α＜0，解得cosα＝eq\f(1,2)(cosα＝－2舍去)，故sinα＝－eq\f(\r(3),2).6．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)解析：选B由题意知：sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．化简eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)＋eq\f(sinπ－α·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinπ＋α)＝________.解析：原式＝eq\f(cosα·sinα,－cosα)＋eq\f(sinα－sinα,－sinα)＝－sinα＋sinα＝0.答案：08．若cos(2π－α)＝eq\f(\r(5),3)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则sin(π－α)＝________.解析：由诱导公式可知cos(2π－α)＝cosα，sin(π－α)＝sinα，由sin2α＋cos2α＝1可得，sinα＝±eq\f(2,3)，∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＜α＜π)).则sinα－cosα＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)，得sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，①将①两边平方得1＋2sinα·cosα＝eq\f(2,9)，故2sinαcosα＝－eq\f(7,9).∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))＝eq\f(16,9).又∵eq\f(π,2)＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，求eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ－θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cosθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，∴sinθ＝－eq\f(1,3).∴原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,cosθ·－cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝18.11．已知关于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的两根sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－\f(sinθ,cosθ))＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ)＝eq\f(sin2θ－cos2θ,sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，故eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝eq\f(\r(3)＋1,2).(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，得m＝eq\f(\r(3),2).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sinθ·cosθ＝\f(\r(3),4)))知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(3),2)，,cosθ＝\f(1,2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(1,2)，,cosθ＝\f(\r(3),2).))又θ∈(0,2π)，故θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(π,3).12．是否存在α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．解：假设存在α、β使得等式成立，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin3π－α＝\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，①,\r(3)cos－α＝－\r(2)cosπ＋β，②))由诱导公式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，③,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ，④))③2＋④2得sin2α＋3cos2α＝2，解得cos2α＝eq\f(1,2).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝eq\f(π,4)或α＝－eq\f(π,4).将α＝eq\f(π,4)代入④得cosβ＝eq\f(\r(3),2).又β∈(0，π)，∴β＝eq\f(π,6)，代入③可知符合．将α＝－eq\f(π,4)代入④得cosβ＝eq\f(\r(3),2).又β∈(0，π)．∴β＝eq\f(π,6)，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)满足条件．1．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.eq\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))解析：选B∵cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝eq\r(1－k2)，∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k)，tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).2．sin585°的值为()A．－eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：选A注意到585°＝360°＋180°＋45°，因此sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).3．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，则tanα＝()A.eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2解析：选B∵cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，结合sin2α＋cos2α＝1得(eq\r(5)sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，∴tanα＝2.4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050)°＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1＝2.5．若sinθ，cosθ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．解：∵由题意知：sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(1,25).∴sin2θ＝－eq\f(24,25)，即2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)＜0，则sinθ与cosθ异号．又sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)＞0，∴eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(3π,4)，∴π＜2θ＜eq\f(3π,2).故cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(7,25).第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了]考什么怎么考1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的单调性.1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如年新课标全国T9等．2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如年湖南T6等．3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如年北京T15等.[归纳·知识整合]正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，))))k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)递减区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋