1.3 探索三角形全等的条件 第2课时-2023-2024学年苏科版数学八年级上册课件

1.3探索三角形全等的条件第2课时利用两角一边判定三角形全等讨论1.用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗?第一个不能，因为第一个图中的三角形只确定了一个角，其他边与角大小不确定；第二个能，因为第二个三角形确定了两角及其夹边的大小，所以这个三角形的形状与大小就确定了，即只需往下延长左右两边的线段就得到第三个顶点.画的二角形能完全重合.2.在图1－10中，△ABC与△PQR、△DEF能完全重合吗?△ABC与△PQR不能完全重合，△ABC与△DEF

能完全重合.操作按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a，∠A＝

∠α，∠B＝∠β.作法图形1.作AB＝α.2.在AB的同一侧分别作∠MAB＝

∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN

相交于点C.

△ABC就是所求作的三角形.你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′,AB＝A′B′，

∠B＝∠B′，∴△ABC≌△A′B′C′.例4已知：如图1－11，在△ABC中，D是BC

的中点，点EF分别在AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB.求证：BE＝DF，DE＝CF.分析：要证BE＝DF，DE

＝CF，只要证△EBD≌△FDC.由于在△EBD和△FDC中，已知BD＝DC，所以只要证∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.证明：∵DE//AC，DF//AB(已知)，∴∠EDB＝∠C，∠B＝∠FDC

(两直线平行，同位角相等).∵D是BC

的中点(已知)，∴BD＝DC(线段中点的定义).

在△EBD和△FDC

中，∠EDB＝∠C(已证).BD＝DC(已证)，∠B＝∠FDC(已证)，∴△EBD≌△FDC(ASA).∴BE＝DF，DE＝CF(全等三角形的对应边相等).练2已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE.分析：证明△ACD≌△ABE中，就可以得出AD＝AE.AC＝AB，∠C＝∠B，∴△ACD≌△ABE(ASA).∴AD＝AE.∠A＝∠A(公共角)，证明：在△ACD和△ABE中，练习1.找出图中的全等三角形，并说明理由.解：图中全等二角形共有三组：(1)①与⑥全等.理由如下：在△ABC和△MNG

中，

∠A＝∠M，

AB＝MN，

∠B＝∠N，∴△ABC≌△MNG(ASA).(2)②与④全等.理由如下：

在△TSW中，∠S＝180°－70°－50°＝60°，∴∠S＝∠Y.在△XYZ和△TSW中，∴△XYZ≌△TSW(ASA).∠Y＝∠S，ZY＝WS，∠Z＝∠W，(3)③与⑤全等.理由如下：

在△RQP

和△DEF

中，

∠R＝∠D，

PR＝FD，∠P＝∠F，∴△RQP≌△DEF(ASA).2.已知：如图，AB、CD相交于点O，O是AB的中点，AC//BD.求证：O是CD的中点.证明：∵O是AB的中点(已知)，

∴OA＝OB(线段中点的定义).

∵AC∥BD(已知)，

∴∠A＝∠B(两直线平行，内错角相等).在△AOC

和△BOD中，∠A＝∠B(已证)，

OA＝OB(已证)，∠AOC＝∠BOD(对顶角相等)，∴△AOC≌△BOD(ASA).∴OC＝OD(全等三角形的对应边相等)，即O是CD的中点.讨论如图1－12，在△ABC和△MNP中，∠A＝∠M，∠B

＝∠N，BC＝NP.△ABC与△MNP

全等吗?为什么?由三角形内角和定理可知∠C＝∠P.根据“ASA”可以证明△ABC≌△MNP.由此可以得到基本事实(ASA)的推论：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).例5已知：如图1－13，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC

和△A′B′C′的高.求证：AD＝A′D′.

分析：要证AD＝A′D′，只要证△ABD⊥△A′B′D′.由于在△ABD和△A′B′D′中，∠ADB

－∠A′D′B′＝90°，所以只要证AB＝A′B′，∠B＝∠B′.证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)，∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′

(全等三角形的对应边相等、

对应角相等).∵AD、A′D′分别是△ABC和

△A′B′C′的高(已知)，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.在△ABD

和△A′B′D′中，∠B＝∠B′(已证)，

∠ADB

＝∠A′D′B′(已证)，

AB＝A′B′(已证)，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).∴AD＝AD

(全等三角形的对应边相等).练3如图，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE.

求证：BE＝CF.导引：要证明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和对顶角的性质来证明△BDE和△CDF全等．证明：∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD.∵CF⊥AD，BE⊥AE，

∴∠CFD＝∠BED＝90°.

在△BDE和△CDF中，∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴BE＝CF.讨论在图1－13中，如果AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线(或中线)，那么AD与A′D′相等吗?试证明你的结论.练习1.已知：

如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC.求证：AB＝DC.证明：在△ABC

和△DCB

中，

∠A＝∠D(已知)，

∠ACB＝∠DBC(已知)，

BC＝CB(公共边)，∴△ABC≌△DCB(AAS)∴AB＝DC(全等三角形的对应边相等).2.已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为B、E，AE、BC

相交于点F，且AB＝BC.

求证：△ABF≌△CBD.证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC(已知)，∴∠ABF＝∠CBD

＝∠AED＝90°(垂直的定义).∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°

(直角三角形的两个锐角互余).∴∠A＝∠C

(同角的余角相等).在△ABF和△CBD

中，∠A＝∠C(已证)AB＝CB(已知)，∠ABF＝∠CBD(已证)∴△ABF≌△CBD(ASA)讨论1.如图1－14，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB.你能证明AC＝BD吗?能2.如图1－15，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E，

∠A＝∠D.你能证明AB＝DE

吗?能例6已知：如图1－16，点A、B、C、D

在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB.

求证：AB＝CD.

分析：要证AB＝CD，只要证AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD，所以只要证△EAC≌△FBD.证明：∵EA∥FB，EC∥FD(已知)，∴∠A＝∠FBD，∠ECA＝∠D(两直线平行，同位角相等)在△EAC和△FBD中，

∠A＝∠FBD(已证)，∠ECA＝∠D(已证)，

EA＝FB(已知)，∴△EAC≌△FBD(AAS).∴AC＝BD

(全等三角形的对应边相等)，

即AB＋BC

＝CD＋BC.∴AB＝CD

(等式的性质).上面的推理过程可以用符号“=>”简明地表述如下：EA∥FB

=>∠A＝∠FBDEC∥FD=>∠ECA＝∠D=>△AEA≌△FBD