N阶矩阵高次幂的求法及应用1

第页学校代码学号密级分类号密级分类号本科毕业论文N阶矩阵m次方幂的求法及应用SolutionandApplicationofm-orderofnN阶矩阵m次方幂的求法及应用SolutionandApplicationofm-orderofnnMartix作者姓名作者姓名专业名称专业名称学科门类学科门类成绩评定提交论文日期指导教师 成绩评定提交论文日期指导教师摘要矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究，本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法，标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为阶矩阵的幂运算来提供一个参考.关键词:数学归纳法;二项展开式;矩阵的幂;相似矩阵.AbstractMatrixisaconceptmanypracticalproblemsintheabstract,itisanimportantpartofthelinearalgebra,itisalmostthroughoutthevarioussectionsoflinearalgebra,inthefieldofnaturalsciencesandeconomicmanagementofthebranchhasawiderangeofapplications.Justbecauseitwiderangeofapplicationsandisapowerfultoolforsolvingmanyproblems,solearnandmastertheoperationandtheirmethodofoperationrulesandgoodmatrixisamatrixofknowledgewelearnaveryimportantpart.Formatrixpowercalculations,itisMatrixmultiplicationisbased;however,thematrixexponentialoperationismorecomplexbutalsoparticularlytroublesome,solookforasimplecalculationmethodhasbecomeanimportantpartofcomputingpowermatrixhighregard,formanyscholarshavespentalotofresearchefforttoinvestigate,thepaperwillbeonthebasisoftheirresearch,applicationexamplesbymathematicalinduction,multiplicationassociativeapproach,binomialexpansionmethod,themethodblockdiagonalmatrix,standardformmethod,minimalpolynomialavarietyofmethodsandspecialmethodstosolvethematrixmethodphalanxofhigh-power,andthusthepowertoordermatrixoperationstoprovideareference.Keywords：Mathematicalinduction;powermatrix;;binomialexpansionsimilarmatrix.目录摘要 IAbstract II目录 III引言 11准备知识 12.1利用数学归纳法求解阶矩阵的高次幂 22.2利用二项式展开法求矩阵的高次幂 42.3利用标准形求矩阵的高次幂 52.4利用分块对角矩阵求矩阵的高次幂 82.5利用乘法结合律求方阵的高次幂 102.6利用最小多项式解矩阵的高次幂 112.7利用特殊矩阵法求解矩阵的高次幂 132.7.1对合矩阵 132.7.2幂等矩阵 142.8利用图论算法求矩阵的高次幂 152.8.1邻接矩阵 152.8.2的元素的意义 152.9利用特征多项式求解矩阵的高次幂 163矩阵的幂在人口流动的中的应用 17总结 20参考文献 21致谢 22引言矩阵是高等代数的主要内容之一，是处理线性方程组、二次型、线性变换等问题的重要工具，基本上贯穿于研究高等代数问题的始终.矩阵的理论和计算方法对于我们研究的许多问题都起着很重要的推动作用，同时也是解决数学以及大多数的科学领域中问题的重要工具，它有着十分广泛的应用.学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了在计算矩阵高次幂幂方面的重要课题.目前，关于矩阵的高次幂的计算问题，有很多学者对此都进行了大量的研究，文献[1，2-13,15]从不同角度阐述了矩阵的高次幂的计算问题.本文在这些研究基础之上，用分类讨论的办法，系统而又全面地介绍了一般的阶矩阵和一些特殊的矩阵的高次幂的求解方法.对于那些简单的矩阵，有关它们的低次幂求解，我们就可以直接按照矩阵乘法的定义去求解；但对于矩阵的秩为1的阶矩阵，我们可以考虑用矩阵乘法结合律的方法求解；此外，我们还可以用二项式展开法，分块对角矩阵的方法；对于一般情况下的阶矩阵的求解，我们可以采用Jordan标准形的方法、最小多项式的方法去求解；然而我们还可以用一些特殊的矩阵去求解（比如对合矩阵，幂等矩阵）.在这些诸多的方法中，它们都只不过为阶矩阵的幂运算提供了一个参考.所以在实际应用中，我们可以根据矩阵的不同，采用不同的运算方法去化简矩阵的幂计算.1准备知识在矩阵的计算中，乘法是最常用的一种方法.特别是，当一个矩阵是方阵的时候，也就是这个矩阵有行列，可以定义这个矩阵和它本身的乘法运算，那就是我们所说的矩阵的幂.定义1假设矩阵是矩阵（阶方阵），是正整数，那么就把形式称为的次幂.方阵的幂运算规律：其中，均为非负整数.2阶矩阵的高次幂的一些求法以及应用2.1利用数学归纳法求解阶矩阵的高次幂数学归纳法在初等数学中就有很广泛的应用，是在计算数学命题中常用的一种方法.在求矩阵方幂问题的时候，在一些特别的情况下就可以利用数学归纳法来计算出矩阵的高阶次幂.关于求矩阵高次幂的根本思路就是：先计算出方阵的等较低次幂的矩阵，再利用等较低次幂矩阵的计算结果，由归纳法猜测的表达式，最后利用数学归纳法加以证明对于一切自然数都成立（其中下同）.例1已知矩阵,试求.解因为所以，由这两个矩阵的规律就可以得出，的第一行元素就是展开式的三个元素，而的第一行的元素是展开式的前三个元素，所以可以归纳总结出的第一行元素就应该是的展开式的前三个元素，也就是，所以猜测为下面利用数学归纳法进行证明.显然当的时候是成立的；假设是成立的，则求出的结果显然当时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的.所以求得的结果也就是.例2设，计算.解因为，，.所以猜想.下面利用数学归纳法进行证明.当时，结论显然成立；假设时，结论也是成立的，也就是，则当时，显然当时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的，由数学归纳法知的求解结果是注通过观察这两个矩阵可以知道，在求解矩阵高次幂问题的过程中，数学归纳法的关键就是通过较低矩阵次幂的计算结果来正确的总结出，进而来进行验证所总结出来的是否正确，但是这种方法不是所有的矩阵高次幂都可以应运，它只能用于一些较为简单矩阵而且较为特殊的矩阵，就类似于上面的两道例题.2.2利用二项式展开法求矩阵的高次幂如果题目所给出的阶矩阵是可以分解，也就是，并且和的高次幂都是比较容易计算出来的，还要求（也就是和是矩阵乘法适合交换律的，如果分解开的这两高次幂矩阵不能相互交换的话，那么二项式展开式公式对于这个矩阵是不成立的，也就是二项式展开法不适用于这个矩阵），如果满足要求，所以就有以下的公式特别地，当阶矩阵的主对角线上元素相同的时候，那么这样的矩阵可以表示为一个纯量矩阵及另外一个矩阵的和，也就是，并且所给出的矩阵的高次幂是比较容易计算出来的，那么这样的矩阵就可以用这种方法比较简单明了.例3已知矩阵，试求.解首先我们将矩阵分解为，而其中，容易得出并验证矩阵满足，也就是说和是可以交换的，根据二项式展开公式得例4已知，求.解首先我们将矩阵分解为，也就是而其中的为，又因为，所以注通过观察我们可以知道，在求解这一类的矩阵问题的时候，我们首先要做的就是判断这个所给出的矩阵能否被分解，其次分解的矩阵的高次幂是比较容易计算出来的.2.3利用标准形求矩阵的高次幂定义2我们将形式为的矩阵称为块，其中是复数，由这样若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为矩阵，其一般形式为，其中并且中有一些是可以相等的.根据定理我们可以得出，假如矩阵，那么矩阵及一个矩阵相似，这个矩阵除去块的排列顺序以外是被矩阵唯一确定了的，那么我们就称这样的矩阵为矩阵的标准形式.也就是存在阶可逆矩阵，使得而是阶块，因为，所以有.那么这时候要求块的高次幂就可以得出以下结果：而其中，且.为矩阵的特征根.例5已知矩阵试求（为自然数）.解因为，所以的初等因子为，故矩阵相似于标准形现在我们求可逆矩阵，使得.假设所以有通过计算我们可以得出，所以，且，例6求矩阵的次幂.解已知矩阵的特征矩阵为所以矩阵及矩阵相似.令其相似变换阵为可逆矩阵，因为，所以即有，解这三个线性方程组可以得特征向量，所以又因为，所以注在矩阵解题的时候我们要注意，我们所解的这个问题有没有可逆阵，它是不是和我们的是相似的.这是应用的前提.2.4利用分块对角矩阵求矩阵的高次幂当给出的矩阵的阶数较大的时候，我们就可以利用一些横线和竖线把这个矩阵分成许多的小块，这些小块就是矩阵的子阵.如果这个矩阵能被分成对角形式，那么我们就可以把求解高次幂的矩阵的问题转变为求解简单子阵的高次幂问题再计算上，进而达到简化求解的目的.由分块对角矩阵得，其中都为方阵，而我们常用的子块的高次幂的计算结果有例7已知矩阵，试求.解先将写成分块阵，其中，，则，下面求.从而例8已知，求.解矩阵可分块成而，所以于是就变成求和，因为，而所以又，其中，又根据二项式展开式得于是求得注在我们应用分块对角矩阵求矩阵的高次幂的时候，我们一定要心里清楚我们要将那些分在一块，在解题的过程中要学会多种方法联系起来.2.5利用乘法结合律求方阵的高次幂如果矩阵，那么就说明这个矩阵至少有一行元素不为零，而其它每一行元素都是它的倍数，所以秩为1的的矩阵就有以下的形式，假设都是不为零的实数，那么就有记那么就有.这种计算方法就叫做矩阵的乘法结合律.例9已知，求（为自然数）.解对进行初等变换，我们发现矩阵的秩为1，即，假设，那么，且，所以例10，求.解因为所以又因为，则注确定应用乘法结合律解题以后，我们心里就要明白这个公式，并且熟记于心，这是应用乘法结合律的关键.2.6利用最小多项式解矩阵的高次幂定理3（哈密尔顿-凯莱定理）设是阶矩阵，是的特征多项式，令，所以根据以上定理我们可以知道，以阶矩阵为根的特征多项式有很多，但我们把首项系数为1的、次数最小的并且用矩阵为根的多项式，就叫做矩阵的最小多项式，经常用来表示.这也就说明矩阵的最小多项式也是它的特征多项式的因子，这个事实具有一般性，并且有着4个结论=1\*GB3①可以整除任何一个以矩阵为根的且首项系数为1的多项式；=2\*GB3②和是有一样的根（不算重复的，且两个根的数目不一定相等）；=3\*GB3③如果两个矩阵是相似矩阵，那么它们两个的最小多项式就是相同的；=4\*GB3④，而是矩阵的第个不变因子.例11已知，求.解易得的特征多项式为又，可得的最小多项式是：，所以当时，假设，.我们不妨假设，所以可以得方程组，，解得，所以例12，求.解矩阵的特征多项式为于是我们可得的最小多项式是，所以当时，假设，而；又，所以可以得到方程组，即，解得所以.注要想应用最小多项式法去解矩阵高次幂，首先要学会去求矩阵的特征值，得出矩阵的最小多项式，并假设，而，然后再进行求解.2.7利用特殊矩阵法求解矩阵的高次幂2.7.1对合矩阵定义4设为阶矩阵，如果，那么矩阵就叫做对合矩阵.性质4.1（1）；（2）满足的所有二阶矩阵为及，其中.例13设，求（为自然数）.解假设，容易得，所以为对合矩阵，所以有，由，得特别地，当时，有；当时，有；当时，有.2.7.2幂等矩阵定义5设为阶矩阵，如果，那么就叫矩阵为幂等矩阵.性质5.1（1）；（2）满足的所有二阶矩阵有：0，以及形式如或者的矩阵.例14已知，求.解由于，所以矩阵为幂等矩阵，故由幂等矩阵的性质（1）知，.注关于对合矩阵和幂等矩阵，我们只要学会判断我们所求矩阵是不是对合矩阵或幂等矩阵，如果是，那就只用它俩的性质去求解就可以了.2.8利用图论算法求矩阵的高次幂如果是结点的集合和边的集合所组成的一个系统，的组成元素只有0和1，且为阶矩阵.2.8.1邻接矩阵定义6假设有一个向图，而其中的，，假设每一个结点是从排列到的，定义一个阶的矩阵，而中的元素是，那么就称是图的邻接矩阵，而图称为的相关图.很明显对任意的一个阶矩阵都是有一个相关图的.2.8.2的元素的意义当时，就表示存在一条边，又或者可以说成是从到存在着一条长度是1的路；当时，假设，中的元素是，根据以上图论的知识：就表示从结点到结点长度等于2的路径的数目，特别当，也就是说长度等于2的路径不存在.表示长度等于的路径的数目，一般的来说，时，令，表示从结点到结点的长度等于k的路径的数目，就像我们刚才说的，长度等于k的路径的数目是不存在的，表示长度等于k的回路数目.这样，我们就可以得出了n阶矩阵的幂运算的图论计算步骤第一步、根据题所给出的n阶矩阵，画出它的相关图，，；第二步、在我们所画出的相关图中一步一步地找出结点到结点长度等于k的路径数目;第三步、根据二我们可以写出n阶矩阵，于是我们就可以得到我们所求的幂矩阵.例15假设，求. 图1 图2解先画出矩阵A的相关图H，如图1，图2，从图上可以得出：从结点到结点长度等于3的路径数有：.然而长度等于3的路径是不存在的，所以可以得出2.9利用特征多项式求解矩阵的高次幂关于阶矩阵，我们可以通过求其特征多项式，进而假设，而，再通过求导来计算.例16已知矩阵，求.解首先给出矩阵的特征多项式（三次），我们令，而（二次），也就是.因为，所以时，代入，并求其一，二阶导数得出，解得，将此结果代入矩阵中，所以3矩阵的幂在人口流动的中的应用例17假设中小城市和乡镇一共有三十万的人从事农业，工业，商业工作，我们假定这个总数在近些年里面是不会变得，而社会调查表明：=1\*GB2⑴在这30万的就业人员中，大约有15万的人从事农业工作，9万的人从事工业，6万的人经商；=2\*GB2⑵在从事农业工作的人中，每一年大约有20%改为从事工业，10%改为经商；=3\*GB2⑶在从事工业的人员中，每一年大约有20%改为从事农业，10%改为经商；=4\*GB2⑷在经商的人员中，每一年大约有10%的改为从事农业，10%改为从事工业.现在想要预测一~二年后从事各行业人员的数目和过多少年之后，从事各行业人数的发展变化.解如果用三维向量来表示第年之后从事这三种职业的人员总数，现在根据调查知.现在求，并求当的时候的变化趋势.由调查得，一年后从事这三种职业的人数为即我们以代入上式，所以就可以得，也就是一年以后从事这三种职业的人数分别是12.9万，9.9万，7.2万人.同理我们可以求得；所以得二年以后从事这三种职业的人数分别为11.73万，10.23万，8.04万人.通过以上我们可以推出得也就是说明年之后从事各行业的人数是由来决定的.也就是去通过求矩幂的方法去求.例18某省市每一年有30%的农村人口移居到城市，而又有20%的城市人口移居到农村，我们假设这个省市的人口总数是不变的，并且我们的迁移规律也是不变的，目前这个城市的农村人口是320万，城市是80万，试求一年以后的农村和城市人口各是多少？两年以后？n年以后？解设n年以后这个城市的农村及城市人口数目分别为，根据题意（单位：万），写成矩阵的形式是，所以一年以后，农村人口240万，城市人口为160万.我们记矩阵，因为，所以，所以两年以后，农村人口和城市人口各200万.于是我们可以得出，也就是说n年以后这个城市的农村和城市的人口数是由来决定的.也就是矩阵幂的求解.在这两个问题的求解过程中，我们用到了矩阵的乘法和转置等，进而将一个实际问题数学化，进而应用数学知识解决了人口流动的实际问题.这种问题看起来很复杂，但是通过矩阵的应用，我们就把它成功的解决了.不得不说，矩阵是我们解决实际问题的好工具.总结经过几个多月的学习和工作，我终于完成了本篇论文.从刚开始拿到论文题目到系统的实现，再到论文的完成，每走一步都是新的尝试及挑战.通过本文的这些知识点，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法，标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂.我们很明显的知道在具体的求解一个矩阵的高次幂的过程中，需要根据矩阵的不同特征而采用不同的运算方法是能否求解矩阵高次幂的一个关键问题.在以上我所介绍的那些方法中，它们并不一定是完全最简便的，也不一定是独立存在的，它们之间也是需要相互配合使用的（如例8就结合使用了方法4和方法5）.总而言之，在一个矩阵的高次幂求解过程中，我们需要充分的应用和发现矩阵的特征进而寻找求解的最简便的方法，这对于我们在矩阵各部分内容之间的联系以及思路的推广，是具有十分重要的作用的，然而这个是说起来简单做起来是十分困难的，要能够熟练的选择并应用最简单的运算方法，这是需要我们在大量的实践中逐步地提高的，而我们所说的实践一般情况下就是大量的练题.借此，我想说谢谢帮助我的老师，同学们，在你们的帮助下我才能这么快的完善了我的论文，谢谢你们.参考文献[1]北京大学数学系几何及代数教研室前代数小组编.王萼芳，石生明修订.高等代数[M](第三版).北京:高等教育出版社,2019,7(1):162—187．[2]王汉斌.方阵高次幂的几种解法[J］.安庆师范学院学报(自然科学版），2019,14(4):71．[3]李源,黄辉，郝小枝.计算矩阵高次方幂的几种方法[J］.云南大学学报（自然科学版）,2019,30(2):439—440．[4]刘秀英.n阶矩阵m次方幂的求解方法[J].菏泽师专学报，2000，22（2）：61—62．[5]晏林.Jordan矩阵的幂[J].文山师范高等专科学校学报,2019,20(2）：94—95．[6]余跃玉.阶方阵高次幂的计算方法[J].四川文理学院学报,2019，21(2):22—23．[7]李战国，卢亚丽等.方阵高次幂计算方法研究[J］.河南教育学院学报(自然