A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

/手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明（1）与之间的夹角为平分变式精练1：如图两个等边三角形与，连结与，证明（1）与之间的夹角为与的交点设为,平分变式精练2：如图两个等边三角形与，连结与，证明（1）与之间的夹角为与的交点设为,平分例2：如图，两个正方形与,连结,二者相交于点问：（1）是否成立？是否与相等？与之间的夹角为多少度？是否平分？例3：如图两个等腰直角三角形与，连结,二者相交于点问：（1）是否成立？（2）是否与相等？（3）与之间的夹角为多少度？（4）是否平分？例4：两个等腰三角形与，其中,,连结与，问：（1）是否成立？（2）是否与相等？（3）与之间的夹角为多少度？（4）是否平分？例5：如图，点A.B.

C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD已知：中，是中线．求证：．【练1】在△中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：．【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．【练1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G.求证：BF=CG.【练3】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．【练4】如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥【例3】已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．【练1】在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．【练2】如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，则∠BAC=______.【练3】在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且．（1）若，以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果，求证．【例4】如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、.探究、的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形和，点为的中点，连接交于点.探究与的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练2】如图，在中，，，是边的中线.求证：【例5】如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．【练1】已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线．求证：【练2】如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.【例16】如图，两个正方形和，点为的中点，连接交于点.探究与的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形和正方形，点是线段的中点.⑴试说明线段与数量关系和关系.⑵如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，全等)如图所示，中，，AD平分交BC于D。求证：AB=AC+CD。【练1】如图所示，在中，，的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。【练2】已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．【练2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图,在△ABC中,∠A=90∘，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。求证：BC=AB+AD.【练4】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC．【例11】已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C（不只是边，倍角也适用）【练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于点D．求证：∠DBC＝∠BAC．【例12】如图所示，已知，P为BN上一点，且于D，AB+BC=2BD，求证：。【练1】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：【例13】如图所示，在中，AB=AC，，，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。【练1】已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．

【练2】如图所示，在中，，AD为的平分线，=30，于E点，求证：AC-AB=2BE。【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AEEF,交∠DCH的平分线于点F，求证AE=EF【练4】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE【例14】如图所示，已知//CD，的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。【练1】如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．【练2】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．【练3】在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．

【练4】如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为三角形ABC外一点,且AD＝BD,DE⊥AC交AC的延长线于点E.试探求ED、AE和BC之间有何数量关系【练5】在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC＞PB-PCDAD12PBC【练1】已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．如图，E是的平分线上一点，，，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF。构造等边三角形1、如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60∘，E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰中，，顶角，在边上取点，使，求.练习1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cmABCDA'B'ABCDA'B'C'D'（倍长中线）练习3、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C练习4、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，有过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE＝BD－CE．（思路：截长补短法）如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60∘,BD+DC=AB.求证：∠ACD=60∘.（截长补短）1、如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、.探究、的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形和正方形，点是线段的中点.⑴试说明线段与数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）⑵如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．（辅助线的连法都一样）【阅读理解】

已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）

∴∠AED=∠B=90°，DE=DB

又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE=EC．

∴AC=AE+EC=AB+BD．

【解决问题】

已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为