四川省仁寿县2025届高三下第四次月考试题数学试题含解析

四川省仁寿县2025届高三下第四次月考试题数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．若集合，，则（）A． B． C． D．3．设函数，则函数的图像可能为（）A． B． C． D．4．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．5．为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于、两点，（在、之间）与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．已知集合A，则集合（）A． B． C． D．7．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差9．已知函数（）的最小值为0，则（）A． B． C． D．10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A． B．C． D．11．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于()A． B． C． D．12．已知全集，集合，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________.14．实数满足，则的最大值为_____．15．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），则⋅_____，△ABC的面积为_____．16．设全集，集合，，则集合______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.18．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.19．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.（1）求证:是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.21．（12分）已知三点在抛物线上.（Ⅰ）当点的坐标为时，若直线过点，求此时直线与直线的斜率之积；（Ⅱ）当，且时，求面积的最小值.22．（10分）设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．（1）若，写出经过变换后得到的数阵；（2）若，，求的值；（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为，利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】是奇函数，，易知均为减函数，故且在上单调递减，不等式，即，结合函数的单调性可得，即，设，，故单调递减，故，当，即时取最大值，所以.故选：.本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.2．A【解析】

用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．【详解】解：由集合，解得，则故选：．本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．3．B【解析】

根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.【详解】定义域为：，函数为偶函数，排除，排除故选本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.4．A【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．5．D【解析】

过点作，可得出点为的中点，由可求得的值，可计算出的值，进而可得出，结合可知点为的中点，可得出，利用勾股定理求得（为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，过点作，设该双曲线的右焦点为，连接.，.，，，为的中点，，，，，由双曲线的定义得，即，因此，该双曲线的离心率为.故选：D.本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．A【解析】

化简集合,，按交集定义，即可求解.【详解】集合，，则.故选:A.本题考查集合间的运算，属于基础题.7．D【解析】

圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．【详解】圆的圆心为，由题意可得，即，，，则，当且仅当且即时取等号，故选：．本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．8．C【解析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.9．C【解析】

设，计算可得，再结合图像即可求出答案.【详解】设，则，则，由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，结合图像，，得，所以.故选：C本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.10．D【解析】

设，则，小正六边形的边长为，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设，则，即小正六边形的边长为，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六边形的边长为，所以，小正六边形的面积为，大正六边形的面积为，所以，此点取自小正六边形的概率.故选：D.本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．11．B【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.12．D【解析】

根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.【详解】，，，.故选：.本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

建系，设设，由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案为：2本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．．【解析】

画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【详解】解：作出可行域，如图所示，则当直线过点时直线的截距最大，z取最大值．由同理，，取最大值．故答案为：．本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.15．【解析】

①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出，根据面积公式即可得解.【详解】①2（sin32°•cos77°﹣cos32°•sin77°），②，，∴，∴．故答案为：．此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.16．【解析】

分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.【详解】由题可知，集合A中集合B的补集，则故答案为：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.【解析】

（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论；（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.【详解】（1），当时，恒成立，当时，，综上，当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2），令，原方程只有一个解，只需只有一个解，即求只有一个零点时，的取值范围，由（1）得当时，在单调递增，且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，当时，，此时函数只有一个零点，原方程只有一个解，当且递增区间时，递减区间时；，当，有两个零点，即原方程有两个解，不合题意，所以的取值范围是或.本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.18．【解析】

将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.【详解】由，得，，即圆的方程为，又由消，得，直线与圆相切，，．本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.19．(1)见解析;(2).【解析】试题分析：(1)连交于可得是中点，再根据面可得进而根据中位线定理可得结果；(2)取中点，由（1）知两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴,轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，用表示面的一个法向量，由可得结果.试题解析：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.(2)取中点，由（1）知两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为.设存在满足要求，且，则由得：，面的一个法向量为，面的一个法向量为，由，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.20．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．【解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于，得，所以面，又，得面，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面的一个法向量，利用向量和向量夹角公式，即可求解与平面所成角的正弦值．试题解析：（Ⅰ）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG//BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG//面BEF；又EF//AC，AC在面BEF外，AC//面BEF，又AC与OG相交于点O，面ACG有两条相交直线与面BEF平行，故面ACG∥面BEF；（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面ABF的法向量为，依题意有，，令，，，，，直线AD与面ABF成的角的正弦值是．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】

（Ⅰ）设出直线的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；（Ⅱ）利用，，的斜率，求得的坐标，，再用基本不等式求得的最小值，从而可得三角形的面积的最小值．【详解】解：（Ⅰ）设直线的方程为.