高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第05讲 总体集中趋势的估计（解析版）

第05讲9.2.3总体集中趋势的估计课程标准学习目标①会求样本数据的众数、中位数、平均数。②理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势。在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势．知识点01：总体集中趋势的估计（1）平均数①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为.②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低.【即学即练1】（2023下·广东揭阳·高一统考期末）在测量工作中，测得一组数据为2，6，7，5，9，17，10，则这组数据的平均数为，第75百分位数是．【答案】810【详解】把2，6，7，5，9，17，10，从小到大排列为：2，5，6，7，9，10，17，平均数为，这组数据共7个，，则这组数据的第75百分位数是第6个数10.故答案为：8，10.（2）众数①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势.（3）中位数①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.【即学即练2】（2022上·贵州黔西·高二校考期末）惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】平均数，中位数，众数，故.故选：D.知识点02：三种数字特征的优缺点名称优点缺点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感知识点03：在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.【即学即练3】（2023下·山东枣庄·高一统考期末）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.

(1)求频率分布直方图中，的值；(2)估计该班学生数学成绩的平均分和中位数.【答案】(1)(2)平均分、中位数分别为，【详解】（1）由已知得，则，所以.（2）该班学生数学成绩的平均分的估计值为：，因为，，所以中位数在内.故中位数为.题型01计算众数【典例1】（2024上·湖南邵阳·高一统考竞赛）如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（）A．中位数和众数都是5 B．众数是10C．中位数是4 D．中位数、平均数都是5【答案】A【详解】将这组数据从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是5，每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5，这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，BC错误．平均数，故D错误．故选：A【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：63

38

25

42

56

48

53

39

28

4745

52

59

48

51

62

48

50

52

38(1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数；(2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？【答案】(1)平均数为，中位数为，众数为.(2)答案见解析.【详解】（1）解：由题意，该组数据的平均数为，这些数据从小到大排序为：，所以数据的中位数为，其中众数为.（2）根据以上数据，该产品售后服务中心每天应准备接听个客户的电话.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（

）．A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7【答案】D【详解】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．【变式2】（2021下·山西·高一统考期末）一组数据共有7个整数，，2，2，2，10，5，4，且，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是.【答案】5【详解】平均数，众数=2，当时，中位数为4，则有舍掉；当时，中位数为，则有.该7个数从小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因为数据个数为7，而且，所以这组数据的第三四分位数为5.题型02计算中位数【典例1】（2024·全国·高三专题练习）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（

）．A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7【答案】D【详解】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．【典例2】（2022下·陕西渭南·高一统考期末）已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（

）A．95，94 B．92，86 C．99，86 D．95，91【答案】B【详解】从茎叶图进行数据分析可得：把数据从小到大排列得到：76，79，81，83，86，86，87，91，92，94，95，96，98，99，101，103，114所以中位数是92，众数为86.故选：B【典例3】（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是．【答案】【详解】由题意可知，若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时中位数是；若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时，不符合题意；若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上，不符合题意；若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，则有；若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上；若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，可知；此时中位数是；综上所述这四个数的中位数的取值范围是.故答案为：.【典例4】（2022·湖北武汉·高三统考阶段练习）已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为．【答案】或3或17【详解】由题意可得这组数据的平均数为：，众数为2，若，可得，可得；若，则中位数为x，可得，可得；若，则中位数为4，可得，可得，故答案为：或3或17.【变式1】（2024上·北京·高二统考学业考试）贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】把这10年占比数据从小到大排列得，中位数为.故选：B【变式2】（2023上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）已知一组数据为，若在这组数据中插入一个自然数使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则满足上述条件的最小自然数是.【答案】【详解】要使得中位数是7，a必须插在7的前面，即，平均数为，解得，a是满足上述条件的最小自然数，则.故答案为：4.【变式3】（2023·广东·高三统考学业考试）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则数据的第50百分位数是．【答案】31【详解】一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，故=31，解得．，数据的第50百分位数是.故答案为：.【变式4】（2023·全国·高一随堂练习）某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：63

38

25

42

56

48

53

39

28

4745

52

59

48

51

62

48

50

52

38(1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数；(2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？【答案】(1)平均数为，中位数为，众数为.(2)答案见解析.【详解】（1）解：由题意，该组数据的平均数为，这些数据从小到大排序为：，所以数据的中位数为，其中众数为.（2）根据以上数据，该产品售后服务中心每天应准备接听个客户的电话.题型03计算平均数【典例1】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】样本中全体人员的平均身高约，故选：C【典例2】（2023下·河北沧州·高一统考期末）一组数据，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（

）A．6.5 B．7 C．7.5 D．8【答案】C【详解】由题意得，解得，故这组数据的中位数为.故选：C.【典例3】（2023上·全国·高三专题练习）有4万个大于70的两位数，从中随机抽取了个数，统计如下表：数据x个数平均数78.18591.9请根据表格中的信息，估计这4万个数的平均数约为.【答案】【详解】这个数的平均数为.于是用样本的平均数去估计总体的平均数，则这4万个数的平均数约为.故答案为：【典例4】（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考开学考试）数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为．【答案】【详解】因为数据的平均数是7，所以，解得，因为，所以这组数据的第百分位数为第位数，即.故答案为：.【变式1】（2023上·云南昆明·高三统考期中）已知甲、乙两个班的学生人数分别为45人和55人，在某次考试中，甲、乙两个班的数学平均分分别为110分和90分，则这两个班全体学生的平均分为（

）A．98分 B．99分 C．100分 D．101分【答案】B【详解】甲班有45人，平均分为110分，乙班55人，平均分为90分．所以这两个班全体学生的平均分为分，故选：B.【变式2】（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）一组数据3，5，8，a，11，15，18的平均数为10，则该数据的中位数是.【答案】10【详解】因为3，5，8，a，11，15，18的平均数为10，所以，解得.这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，5，8，10，11，15，18，该数据的中位数是10.故答案为：10.【变式3】（2023上·全国·高三专题练习）某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为分.【答案】95【详解】设所求平均成绩为，由题意得，∴.故答案为：95【变式4】（2023下·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）若五个数1，2，3，4，的平均数是3，则.【答案】【详解】由题意，，解得，故答案为：题型04平均数的和差倍分性质【典例1】（2023上·四川凉山·高二校联考期末）设一组样本数据的平均数为1，则数据的平均数为（

）A．1 B．3 C．4 D．9【答案】C【详解】已知样本数据的平均数为，记数据的平均数为，则，故数据的平均数为.故选：C.【典例2】（2022上·河南·高三温县第一高级中学校联考阶段练习）为了增加学生的锻炼机会，某中学决定每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近年来，参加足球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为，已知这年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，由平均数公式可得.故选：A.【典例3】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末）样本的平均数为5，则的平均数为．【答案】12【详解】样本的平均数为5即,则的平均数为.故答案为：12.【变式1】（2022上·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）已知一组数据的平均数是1，那么另一组数据的平均数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】解：因为一组数据的平均数是1，所以即，所以，即一组数据的平均数为；故选：C【变式2】（2022上·辽宁抚顺·高二校考期末）已知一组数的平均数为3，则另一组数的平均数为.【答案】7【详解】根据题意可得，所以；则，所以其平均数为.故答案为：7【变式3】（2023下·河南信阳·高一统考期末）一组数据，，…，，的平均数为7，则数据，，…，的平均数为．【答案】17【详解】由题意，一组数据，，…，，的平均数为7，即，则数据，，…，的平均数为．故答案为：.题型05在频率分布直方图中估计平均数，众数，中位数【典例1】（2024上·重庆·高三统考期末）对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则，可以分别大致反映这组数据的（

）A．平均数，中位数 B．平均数，众数 C．中位数，平均数 D．中位数，众数【答案】A【详解】由题意得，众数必定在最高的小长方形内，故排除BD，由中位数和平均数的分布规律得（直方图在左边拖尾），故在这个频率分布直方图内是平均数，是中位数，故A正确，C错误.故选：A【典例2】（多选）（2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）树人中学为了解高二年级学生每天的体育活动时间，随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成六组，对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）

A．B．这200名学生每天体育活动时间的众数是55C．这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60D．这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟【答案】BCD【详解】由频率之和为1得：，解得，故A错误；由频率分布直方图可估计200名学生每天体育活动时间的众数是55，故B正确；由，，,故中位数位于内，故C正确，由于故200名学生中每天体育活动时间低于50分钟的人数约为人，故D正确，故选：BCD【典例3】（多选）（2024·河南·模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（

）A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分【答案】BD【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人，00后的考生有人，可得人，所以A不正确；对于B中，由频率分布直方图性质，可得，解得，则前三个矩形的面积和，所以试成绩的分位数为分，所以B正确；对于C中，设面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确；对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：分，所以D正确.故选：BD.【典例4】（2023·全国·模拟预测）2023年，贵州“村超”历时三个月，共进行98场比赛，平均每场比赛超5000万人次收看，现场观众超5万人，全网流量突破300亿次．某中学暑假社会实践小组随机抽选6000名网友对“村超”关注度进行问卷调查，并从参加问卷调查的6000人中随机抽取了100人，将他们的问卷成绩（满分100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)记A为事件“从参加问卷调查的所有人中随机抽取一名，该网友的成绩不低于80分”，试估计事件A发生的概率，并估计参加问卷调查的网友中成绩低于80分的人数；(2)用样本估计总体，求参加问卷调查的6000人成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）．【答案】(1)，3600(2)中位数为76.7分，平均数为75.5分【详解】（1）由题图得成绩不低于80分的频率为，所以．参加问卷调查的网友中成绩低于80分的概率为，所以估计参加问卷调查的网友中成绩低于80分的人数为．（2）由题图知，成绩在的频率为，在的频率为，在的频率为，在的频率为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，因此样本的中位数位于第4组，设中位数为分，则，所以．样本的平均数为（分）．所以参加问卷调查的6000人成绩的中位数为76.7分，平均数为75.5分．【变式1】（多选）（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）某校4个班级学生的一次物理考试成绩的频率分布直方图如下，已知成绩在范围内的人数为30人，则下列说法正确的是（

）A．的值为0.15 B．4个班的总人数为200人C．学生成绩的中位数估计为66.6分 D．学生成绩的平均数估计为71分【答案】BD【详解】对A，，解得，故A错误；对B，成绩在范围内的频率为，故4个班的总人数为人，故B正确；对C，因为，故学生成绩的中位数估计为70分，故C错误；对D，学生成绩的平均数估计为分，故D正确.故选：BD【变式2】（多选）（2023上·吉林白城·高三校考阶段练习）某校100名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组（成绩均在内），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．a的值为0.035B．估计这100名学生成绩的众数是75C．估计这100名学生成绩的平均数为78D．估计这100名学生成绩的中位数为【答案】ABD【详解】由题意知，解得，故A正确；估计这100名学生成绩的众数是，故B正确；估计这100名学生成绩的平均数为，故C错误；设这100名学生成绩的中位数为m，所以，，解得，故D正确．故选：ABD．【变式3】（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：）都在区间内，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少？(2)若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数.【答案】(1)(2)【详解】（1）不低于的频率为，所以这200个脐橙中质量不低于的个数是.（2）平均数为.【变式4】（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在至之间；女性身高普遍在至之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在至之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，其中．(1)求直方图中的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(3)请根据频率分布直方图估计阅兵阵营中女子身高的中位数．【答案】(1)，；(2)(3)【详解】（1）由频率分布直方图可知，，且，解得：，；（2）这个阵营女子身高的平均值为（3）前3组的频率和为，所以中位数为.题型06众数，平均数，中位数的比较【典例1】（2023下·重庆江津·高一校联考期末）如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述一定错误的是（

）A．数据中可能有异常值 B．数据中众数可能和中位数相同C．数据中可能有极端大的值 D．这组数据是近似对称的【答案】D【详解】一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，即可能有异常值，故A选项不符合题意；一组数据的中位数比平均数小很多，可能众数和中位数相同，故B选项不符合题意；一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，故C选项不符合题意；若这组数据是近似对称的，不会出现数据的中位数比平均数小很多，故D选项符合题意.故选：D.【典例2】（2022下·河北·高一校联考期末）某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，，，，则．故选：A.【典例3】（多选）（2022下·河北石家庄·高三校联考阶段练习）病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（

）A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数【答案】BCD【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误；甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B正确；甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确；乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D正确.故选：BCD.【变式1】（2023上·内蒙古包头·高三统考期末）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即,由表可知,组距为10,所以平均数为:,故,记中位数为,则有:,解得:,即,所以.故选：B.【变式2】（2021·福建龙岩·统考三模）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图，记这组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由统计图可得，众数为；共有个数据，处在中间位置的两个数据为，所以中位数为；平均数，所以.故选：B.【变式3】（2021·陕西西安·统考一模）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则由大到小的顺序为.【答案】【详解】平均效，中位数，众数，则.故答案为：.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均数的性质即可求解.【详解】样本中全体人员的平均身高约，故选：C2．（2024·河南·统考模拟预测）样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】由中位数定义即可得.【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.3．（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）众数､平均数､中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中，平均数､众数和中位数的大小关系是（

）（由小到大排列）A．众数中位数平均数B．平均数众数中位数C．中位数平均数众数D．众数平均数中位数【答案】A【分析】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论.【详解】众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图第二、三列所占数据较多，且在右边拖尾，所以平均数大于中位数，在第三､四列的位置，因此有众数<中位数<平均数.故选：A.4．（2023上·四川凉山·高二校联考期末）设一组样本数据的平均数为1，则数据的平均数为（

）A．1 B．3 C．4 D．9【答案】C【分析】根据平均数的性质得到平均数为.【详解】已知样本数据的平均数为，记数据的平均数为，则，故数据的平均数为.故选：C.5．（2024·重庆·统考一模）2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】首先，再根据百分位数和众数的计算方法即可.【详解】由题意得，解得，因为，，则，则样本数据的75%分位数位于，则，解得，因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为，故选：D.6．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）已知个数据的中位数是，则下列说法正确的是（

）A．这个数据中一定有且仅有个数小于或等于B．把这个数据从小到大排列后，是第个数据C．把这个数据从小到大排列后，是第个和第51个数据的平均数D．把这个数据从小到大排列后，是第个和第个数据的平均数【答案】C【分析】根据中位数的概念逐项判断即可.【详解】若这个数都是8，则有个数据的中位数是8，故A错误；因为为偶数，所以第个和第个数据的平均数为中位数，故C正确，B，D不正确.故选：C7．（2024上·北京·高二统考学业考试）贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得，中位数为.故选：B8．（2023·全国·高三专题练习）记样本、、、的平均数为，样本、、、的平均数为．若样本、、、、、、、的平均数为，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由平均数的定义可得，，利用平均数公式可得出的值.【详解】因为、、、的平均数为，则，又因为样本、、、的平均数为，则，所以，样本、、、、、、、的平均数为，整理可得，因为，则，故，故.故选：D.二、多选题9．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）某校4个班级学生的一次物理考试成绩的频率分布直方图如下，已知成绩在范围内的人数为30人，则下列说法正确的是（

）A．的值为0.15 B．4个班的总人数为200人C．学生成绩的中位数估计为66.6分 D．学生成绩的平均数估计为71分【答案】BD【分析】对A，根据直方图频率和为1求解即可；对B，根据成绩在范围内的人数为30人求解即可；对C，根据小于等于中位数的频率和为0.5求解即可；对D，以每组中间值作为平均值求解即可.【详解】对A，，解得，故A错误；对B，成绩在范围内的频率为，故4个班的总人数为人，故B正确；对C，因为，故学生成绩的中位数估计为70分，故C错误；对D，学生成绩的平均数估计为分，故D正确.故选：BD10．（2024·河南·模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（

）A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分【答案】BD【分析】根据题意，由统计图表中的数据，结合频率分布直方图的面积和百分位数，以及平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人，00后的考生有人，可得人，所以A不正确；对于B中，由频率分布直方图性质，可得，解得，则前三个矩形的面积和，所以试成绩的分位数为分，所以B正确；对于C中，设面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确；对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：分，所以D正确.故选：BD.三、填空题11．（2023上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）已知一组数据为，若在这组数据中插入一个自然数使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则满足上述条件的最小自然数是.【答案】【分析】根据条件进行推理确定a的位置和大小.【详解】要使得中位数是7，a必须插在7的前面，即，平均数为，解得，a是满足上述条件的最小自然数，则.故答案为：4.12．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知一组数据:10，11，12，13，13，14，15，16，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是.（用“”，“”，“”连接）【答案】【分析】根据百分位数以及众数的概念，得出的值，即可得出答案.【详解】共有8个数据，，所以，这组数据的第60百分位数为第5个数据，所以；观察数据可知，出现次数最多的数为13，出现了两次，所以众数.所以，.故答案为：.四、解答题13．（2024上·四川成都·高二统考期末）为保障食品安全，某质量监督检验中心从当地海鲜市场的10000条鱼中随机抽取了100条鱼来测量其体内汞的含量，测量指标为：（单位：）.将所得数据分组后，画出了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值，并估计该样本的中位数；(2)已知当鱼体内汞含量的测量指标超过时，就不符合可食用标准.用样本估计总体，求这一批鱼中约有多少条不符合可食用标准.【答案】(1)，(2)500【分析】（1）由频率之和等于1得出a，再利用频率分布直方图的中位数的求法求解即可；（2）求出样本中汞含量超过的频率，利用频率进行估计.【详解】（1）由，解得.因为，所以中位数位于.所以中位数为：.（2）由题意，抽取的100条鱼测量指标超过的频率为.由样本的频率分布，估计10000条鱼中不符合可食用标准有（条）.所以用样本估计总体，这一批鱼中约有500条不符合可食用标准.14．（2024·全国·模拟预测）2023年国庆节假期期间，某超市举行购物抽奖赢手机的活动．活动规则如下：在2023年9月29日至10月6日期间消费金额（单位：元）不低于100元的顾客获得一张奖券（假设每名顾客只消费一次），奖券尾数随机生成，尾数为奇数和偶数的奖券数量相同，若顾客的奖券尾数为奇数，则获得一份价值5元的礼品，若顾客的奖券尾数为偶数，则获得抽取价值6999元的手机的资格．根据统计，顾客进入该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．以样本估计总体，以频率估计概率．(1)若有1000名购物的顾客，求送出的礼品的价值金额；(2)若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求每1000名顾客最多送出多少部手机．【答案】(1)(2)3【分析】（1）由频率分布直方图可以得到不低于100元的顾客所占频率，从而得到1000名购物的顾客中，获得一张奖券的人数，求出送出的礼品的价值金额；（2）由频率分布直方图求出顾客消费金额的平均值，得到1000名顾客的消费金额，从而得到