高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第02讲 分层随机抽样、获取数据的途径（原卷版）

第02讲9.1.2分层随机抽样+9.1.3获取数据的途径课程标准学习目标①理解分层随机抽样的概念。②掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本。③掌握两种抽样的区别与联系。④知道获取数据的基本途径，包括统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等．.知道获取数据的途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等．了解数据的随机性．。通过阅读课本抽样调查最核心的问题是样本的代表性．简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本．例如，在对某中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形．这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差．能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？知识点01：分层随机抽样的概念及特点（1）分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个字总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.（2）分层随机抽样的特点①从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况.②分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为的总体中抽取一个容量为的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于.③分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表注，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛.（3）对分层抽样的“层”的理解在分层抽样中，将具有某种共同特征的对象归为同一层，不同层之间的对象要有明显的差异，并且这些特征的差异应该是对所研究的问题有影响的例如，要从某中学抽取一些学生构成一个样本，如果研究他们的视力情况，那么应该按照年龄分层，或按照年级分层，都是合理的分层方式；但如果按照性别分层，就不合适了，因为性别对视力的影响可能是很小的，如果研究他们对篮球运动的兴趣，那么按照性别分层就比按年龄或年级分层会更合理在实际中，对于一些复杂的问题，可能还需要对层内再进一步细分层.知识点02：分层随机抽样的步骤①根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；②根据总体中的个体数和样本量计算抽样比；③确定第层应该抽取的个体数目（为第层所包含的个体数），使得各之和为；④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为的样本.【即学即练1】（2024上·江西赣州·高一统考期末）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取（

）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】C【详解】采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人，已知高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，则应从高三抽取的人数为.故选：C.知识点03：简单随机抽样与分层随机抽样的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取总体中的个体数较少分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统总体由差异明显的几部分组成知识点04：分层随机抽样的平均数在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用QUOTE表示第1层各个个体的变量值，用QUOTE表示第1层样本的各个个体的变量值；用QUOTE表示第2层各个个体的变量值，用QUOTE表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为.第2层的总体平均数和样本平均数分别为.总体平均数和样本平均数分别为.由于用第1层的样本平均数QUOTE𝑥可以估计第1层的总体平均数QUOTE𝑋，用第2层的样本平均数QUOTE𝑦可以估计第2层的总体平均数QUOTE𝑌，因此可以用.【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为．【答案】【详解】由题意可知，，且所以样本平均数，故该校高一学生的平均身高的估计值为．故答案为：.知识点05：获取数据的途径在实际统计调查中，一般先要确定调查的目的、对象，即统计调查要解决的问题和需要调查的总体；还要确定好调查的项目，也就是要统计的变量.接下来就开始收集数据，收集数据的基本途径如下：（1）通过调查获取数据设计调查问卷：调查问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成.问题由调查人员根据调查的目的、项目进行设计设计调查问卷的注意事项：①问题要具体，有针对性，使受调查者能够容易作答.②语言简单、准确，含义清楚，避免出现有歧义或意思含混的句子③题目不能出现引导受调查者答题倾向的语句④设计问题时要注意“如何得到敏感性问题的诚实回答”.（2）通过试验获取数据根据调查项目的要求设计一些合适的试验，能够直接地获得样本数据.试验时要注意准备好试验用具（或组织好观测的对象)、指定专门的记录人员等.做试验通常能得到可靠的数据资料，但需花费的人力、物力、时间较多，有时带有破坏性.（3）通过观察获取数据对于有些现象，不能用试验或者抽样等方法来获取数据，只能通过长久持续的观察获取，主要是一些自然现象，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等.一般地，通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，其中蕴含着所观察现象的本质信息，需要通过统计学理论和方法来挖掘.（4）通过查询获得数据有些数据资料不容易直接调查得到，这时可以通过查阅统计年鉴、图书馆文献等方法获得所需或相关的数据，比如全国历次人口普查的数据都可以在统计年鉴中查阅到；还可以通过互联网上的资源得到数据资料.题型01分层随机抽样概念的理解及应用【典例1】（2024上·安徽阜阳·高一期末）年某高校有名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有人，本科生有人，研究生有人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为的样本，已知从专科生中抽取的人数为人，则等于（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·广东·高三学业考试）某校高中生共有人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采取分层抽样法抽取容量为的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．6，12，9 B．9，9，9C．3，9，15 D．9，12，6【典例3】（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）某新学校高一、高二、高三共有学生950名，为了了解同学们的兴趣爱好，计划采用分层抽样的方法，从这950名学生中抽取一个样本容量为190的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为人.【变式1】（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）树人中学高一年级有712名学生，男生有326名，女生有386名，想抽取样本了解高一年级的平均身高，为减少“极端”样本的出现，你认为比较合适的抽样方法为（

）A．抽签法 B．随机数法 C．分层抽样 D．其他方法【变式2】（2024上·全国·高三期末）某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛，若得到的样本中高二的学生数量比高一多人、比高三少人，且全校高一、高三学生数之比为，则样本容量为（

）A． B． C． D．【变式3】（2024上·四川成都·高二统考期末）某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为.题型02分层随机抽样中的相关运算【典例1】（2024·全国·模拟预测）某学校高三年级有男生640人，女生360人．为了解高三学生参加体育运动的情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本容量分别为（

）A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为.【典例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为人．【变式1】（2023·上海闵行·统考一模）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（

）A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中金奖所占比例一定最低C．获奖同学中金奖所占比例可能最高 D．获金奖的同学可能都在高一年级【变式2】（2023·海南海口·海南中学校考二模）某校高三年级有女生520名，男生480名，若用分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取名.【变式3】（2023·贵州毕节·统考模拟预测）某学校为了解教师身体健康情况，从高考学科和非高考学科教师中采用分层抽样的方法抽取部分教师体检.已知该学校高考学科和非高考学科教师的比例是5：1，且被抽到参加体检的教师中，高考学科教师比非高考学科教师多64人，则参加体检的人数是.题型03分层随机抽样的方案设计【典例1】（2023下·全国·高一专题练习）某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中A区2400人，B区4600人，C区3800人，D区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）某中学举行了体育运动会，同时进行了全校精神文明擂台赛，为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别对全校500名教职工、3000名初中生、4000名高中生进行问卷调查．(1)如果要在所有问卷中抽出120份用于评估，请说明如何抽取才能得到比较客观的评估结论，并写出抽样过程．(2)要从3000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应选什么方法？请说明理由．【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）学校要在高一年级450名同学中随机选取45人参加暑假的夏令营，试完成以下工作：(1)设计一个随机抽样方案；(2)设计一个分层抽样方案，使得选取出男生23名，女生22名；(3)如果全年级有9个班，设计一个分层抽样方案，使得各班随机选取5人．【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）中学高一年级的500名同学中有218名女生，在调查全年级同学的平均身高时，预备抽样调查50名同学.(1)设计一个合理的分层抽样方案.(2)你的设计中，第一层和第二层分别是什么？(3)分层抽样是否在得到全年级同学平均身高的估计时，还分别得到了男生和女生的平均身高的估计？题型04分层随机抽样的平均数【典例1】（2022上·浙江杭州·高二学军中学校考期中）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少?(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少?【典例2】（2020下·高一课时练习）高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？【变式1】（2023下·河南开封·高一河南省杞县高中校联考阶段练习）已知总体划分为3层，通过分层抽样，得到各层的平均数分别为45，48，50，各层的样本容量分别为30，50，20,则估计总体平均数为.【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）某学校有高中生500人.其中男生320人，女生180人.为了获得全体高中生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32，女生样本量为18，通过计算得男生身高样本均值为173.5cm，方差为17，女生身高样本均值为163.83cm，方差为30.03，求所有数据的样本均值.题型05两种抽样方法的选取及综合应用【典例1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（

）A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样【典例2】（2023上·高一课时练习）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查．③某中学共有320名教职工，其中教师240名，行政人员32名，后勤人员48名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为40的样本．较为合理的抽样方法的选择是（

）A．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③分层随机抽样B．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③简单随机抽样C．①分层随机抽样，②简单随机抽样，③分层随机抽样D．①分层随机抽样，②抽签法，③简单随机抽样【典例3】（多选）（2022·高一课时练习）（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的有（

）①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．A．①②适宜采用分层抽样 B．②③适宜采用分层抽样C．②适宜采用分层抽样 D．③适宜采用简单随机抽样【变式1】（2023上·陕西榆林·高三陕西省子洲中学校考期中）某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法【变式2】（2021上·高一课时练习）使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数表法C．分层抽样法 D．以上都不对【变式3】（2022上·新疆·高三校考阶段练习）现要完成下列项抽样调查：①从盒酸奶中抽取盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有排，每排有个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请名听众进行座谈．③高新中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·河南焦作·高一统考期末）已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（

）A．45 B．55 C．100 D．9002．（2024上·陕西渭南·高一统考期末）渭南市教育局想了解全市所有学生对电影《长津湖之水门桥》的评价，决定从全市所有学校中选取3所学校按学生人数用分层抽样的方法抽取一个样本，若3所学校学生人数之比为，且学生人数最少的一个学校抽出120人，则这个样本的容量为（

）A．560 B．540 C．450 D．4003．（2023下·陕西西安·高一期中）某班有50人，其中30名男生，20名女生，现调查平均身高，已知男、女生身高明显不同，抽取一个容量样本为10的样本，则抽出的男、女生人数之差为（）A．5 B．4C．3 D．24．（2024上·北京海淀·高一统考期末）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（

）A．150人 B．200人 C．250人 D．300人5．（2023上·全国·高三专题练习）某高中为了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的学生进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如图所示的饼图．现从这些学生中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（

）A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应分别抽取30人和20人C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理D．该问题中的样本容量为1006．（2023上·山西·高二统考学业考试）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（

）A．16 B．12 C．8 D．47．（2023下·江西景德镇·高一统考期中）在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都在家进行网上上课，某校高一，高二，高三共有学生6000名，为了了解同学们对某授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这6000名学生中抽取一个容量60的样本，若从高一，高二，高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高二年级的人数为（

）A．1000 B．1500 C．2000 D．10008．（2021·高一课时练习）某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取（

）A．15人 B．30人 C．40人 D．45人二、多选题9．（2020下·山东泰安·高一期末）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（

）A．应采用分层随机抽样抽取B．应采用抽签法抽取C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的10．（2021·高一课时练习）（多选）分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三人一起出关，关税共计100钱，要按照各人带钱多少的比率进行交税，问三人各应付多少税？则（

）A．甲应付钱 B．乙应付钱C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少三、填空题11．（2023上·全国·高三专题练习）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件.12．（2023上·全国·高三专题练习）在120个零件中有一级品24个、二级品36个、三级品60个，从中抽取一个容量为20的样本，若用简单随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为；若按比例分配的分层随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为．四、解答题13．（2023·全国·高一课堂例题）某网络音乐平台就网络用户对某一特色栏目的喜爱程度进行调查，参与网络投票的总人数为50000．网络用户对栏目的评价如下表所示：星级评价☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆票数9986156071488560343488该音乐平台为进一步了解用户的具体想法和意见，打算从上述50000人中抽取100人进行电子邮件形式的调查，应怎样进行抽样？14．（2023下·辽宁·高一校联考阶段练习）某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且将的同学去A会场，剩下的同学去B会场．已知A，B会场