6.2.1排列6.2.2排列数课件高二下学期数学人教A版选择性

排列 排列数第六章计数原理人教A版

数学

选择性必修第三册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习单元2

排列与组合排列与组合的核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列,需要将它们排序;组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组,但不考虑将它们排序.本学习单元是在计数原理的基础上,将实际问题中抽取的对象抽象为元素,引入排列与组合的概念,然后用字母表示排列数和组合数,并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中,体会将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象,将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型,以及通过排列数与组合数公式便捷求出计算结果的数学运算.在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:排列—概念—排列数公式—组合—概念—组合数公式—应用.这是学习本单元的知识明线,具体内容结构如下图所示:本学习单元的最终目标是理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.在学习过程中,能将问题中抽取的具体对象抽象为元素,将具体问题归纳为一般问题,得到排列与组合的定义,并能利用定义判断排列与组合问题,从而提高分析和解决问题的能力,发展数学抽象、逻辑思维、数学运算和数学建模等核心素养.学习目标1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.(数学抽象)2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.(数学运算)3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点1

排列的相关概念1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的

排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个

.

指其中一种情况2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.名师点睛理解排列应注意的问题(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.顺序排列微思考1.如何判断一个具体问题是不是排列问题?提示

(1)首先要保证元素互异性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题.(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.2.同一个排列中,同一个元素能重复出现吗?提示不能,因为给出的n个元素互不相同,且抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的.知识点2

排列数与排列数公式1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的

,叫做从n个不同元素中取出m个元素的

,用符号_______

表示.

2.排列数公式:,这里m,n∈N*,并且m≤n.3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有

.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做

,用

表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成

.另外,我们规定,

.

个数

排列数

=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1n的阶乘

n!0!=1微思考你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?提示

“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个事件.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.重难探究·能力素养速提升问题1从n个不同元素取出m(m≤n)个元素进行排列,用分步乘法计数原理解决问题时,存在部分重复性工作.你能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢?探究点一简单的排列问题问题2我们已知排列的定义以及排列数公式.如何根据定义将问题抽象为排列问题,进而利用排列数公式求解?【例1】

(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个课题由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?(2)校园歌手大奖赛共有12名选手参加,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?解

从5个不同的科研小课题中选出3个,由3个学习兴趣小组进行研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.因此不同的安排方法种数为

=5×4×3=60.解

从12名选手中选出3名获奖并安排奖项,共有

=12×11×10=1

320种不同的获奖情况.规律方法

对简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素和位置的情况下,直接用排列数公式进行计算.探究点二排列数公式问题3我们已知排列的定义以及排列数公式.如何利用排列数公式及性质计算下列与排列相关的问题?∴2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),且n为正整数,整理可得2(2n-1)=5(n-2),解得n=8.规律方法

应用排列数公式时应注意的三个方面

探究点三“邻”与“不邻”问题问题4“邻”与“不邻”排列问题的特殊要求,即要求两个特殊元素“相邻”或“不相邻”.“相邻”时,我们应如何建模,使之变为简单的排列问题?“不相邻”时又应当如何建模?【例3】

7人站成一排.(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?规律方法

元素相邻和不相邻问题的解题策略

限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列元素不相邻通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中探究点四定序问题问题5定序问题是在排列时,某些特殊元素有顺序要求.此时,应当如何建模,才能利用排列数公式解决问题?【例4】

用0,1,2,…,

9十个数字可组成多少个满足以下条件且没有重复数字的数?(1)五位奇数;(2)大于30000的五位偶数.解

(1)要得到五位奇数,个位数字应从1,3,5,7,9五个数字中取,有5种取法;取定个位数字后,万位数字就有除这个数字和0之外的8种不同取法;个位数字和万位数字确定后,十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取,共有

种不同的排列方法.因此由分步乘法计数原理知,共有5×8×=13

440个没有重复数字的五位奇数.(2)要得偶数,个位数字应从0,2,4,6,8中选取,而要得比30

000大的五位偶数,可分两类:规律方法

排列问题的本质是“元素”占“位置”问题,有限制条件的排列问题主要表现在某元素不排在某个位置上,或某个位置上不排某个元素.解决此类问题的方法主要按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先考虑特殊位置,若一个位置安排的元素影响另一个位置的元素个数时,应分类讨论.本节要点归纳1.知识清单:(1)排列的定义、排列数公式;(2)利用排列数公式化简与证明;(3)排列、排列数公式的简单应用.2.方法归纳:直接法、间接法.3.常见误区:(1)排列的定义不明确;(2)易忽视

中“n,m∈N*”这个条件.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为(

)A.5 B.10 C.20 D.60C解析

此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有

=20种不同的送书方法.123456789101112A.4 B.5 C.6 D.7B1234567891011123.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有(

)A.24种

B.144种 C.48种

D.96种D1234567891011124.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有(

)A.24种

B.36种 C.48种

D.60种A1234567891011125.7个人排成一队参观某项目,其中A,B,C三人进入展厅的次序必须是先B再A后C,则不同的列队方式的种数为(

)A.120 B.240

C.420

D.840D1234567891011126.不等式

-n<7的解集为

.

{3,4}得(n-1)(n-2)-n<7,整理,得n2-4n-5<0,解得-1<n<5.又n-1≥2且n∈N*,即n≥3且n∈N*,所以n=3或n=4.1234567891011127.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了

条毕业留言.(用数字作答)

1560解析

根据题意,得

=1

560,故全班共写了1

560条毕业留言.1234567891011128.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法

种.

14123456789101112B级关键能力提升练9.某班级从A,B,C,D,E,F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛,其中第一棒只能在A,B中选一人,第四棒只能在A,C中选一人,则不同的选派方法共有(

)A.24种

B.36种 C.48种

D.72种B12345678910111210.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,