流体流动数值模拟

流体流动现象普遍存在于自然界及多种工程领域中。所有这些流动过程都遵循质量守

恒、动量守恒、能量守恒和组分守恒等基本物理定律；而且流动若处于湍流状态，则该流动

系统还要遵守附加的湍流输运方程。本讲座将依据流体运动的特性阐述计算流体动力学的相

关基础知识及任务；在流体运动所遵循的守恒定律及其数学描述的基础上，介绍数值求解这

些基本方程的思想及其求解过程。

第一节计算流体动力学概述

计算流体动力学（CFD）技术用于流体机械内部流动分析及其性能预测，具有成本低，

效率高，方便、快捷用时少等优点。近年来随着计算流体力学和计算流体动力学及计算机技

术的发展，CFD技术已成为解决各种流体运动和传热，以及场问题的强有力、有效的工具，

广泛应用于水利、水电，航运，海洋，冶金，化工，建筑，环境，航空航天及流体机械与流

体工程等科学领域。利用数值计算模拟的方法对流体机械的内部流动进行全三维整机流场模

拟，进而进行性能预测的方法越来越广泛地被从事流体机械及产品性能取决于各种场特性的

设计、科研等科技人员所使用；过去只有通过实验才能获得的某些结果或结论，现在完全可

借助CFD模拟的手段来准确地获取。这不仅既可以节省实验资源,还可以显示从实验中不能

得到的许多场特性的细节信息。

一、什么是计算流体动力学

计算流体动力学（ComputationalFluidDynamicsr简称CFD）是通过计算机数值计算和

图像显示，对包含流体流动和有热传导等相关物理现象的系统所做的分析。CFD的基本思

想可以归结为：把原来在时间域及空间域上连续的物理场（如速度场和压力场，以及热力场

等），用一系列有限个离散点上变量值的集合来代替；并通过一定的原则和规律建立起关于

这些离散点上的场变量之间关系，从而组成这些场变量之间关系的代数方程组；然后求解这

种代数方程组，来获得这些场变量的近似值山3］；这就是流动的数值计算。或者直观地说，

通过数值计算中的各种离散方法，把描述连续流体运动的控制偏微分方程离散成代数方程

组，由此建立该流动的数值模型；再根据问题的具体情况，设定边界条件和初始条件封闭方

程组；然后通过计算机数值计算求解这种代数方程组，从而获得描述该流场场变量的某些运

动参数的数值解。

计算流体动力学是在经典流体力学、数值计算理论、计算方法，以及计算机科学与技术

的基础上建立和发展起来的多学科、多领域交叉的流体力学中的一个新分支；或可以说是一

门新学科。他将科学的理论知识与实际工程计算紧密地结合在了一起，是我们流体机械及流

体工程学科和工程领域中目前科学研究与工程计算、分析或设计的高质、高效，短周期、低

费用的强有力不可或缺的重要工具。

所谓CFD,从实质上讲就是对流体运动状态的一种分析方法；可以被看作是对在流动

基本方程（质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程）控制下的流动进行数值模拟描述的

一种方法。通过这种数值模拟，我们可以获得复杂流场内各个位置上的基本物理量（如速度、

压力、温度、浓度等）的分布及其随时间的变化情况。据此可以描述出其流动的特征，如旋

涡分布、空化特性及脱流区等；还可以计算出其它相关的物理量，如对于旋转流体机械的转

矩、水力损失、效率和空蚀系数等。此外，结合CAD还可以进行结构上的优化和可靠性设

计等。

CFD方法与传统的理论分析方法、实验测量方法组成了研究流体运动问题的完整体系，

三者之间的互补关系如图1所示。

图1研究流动的三种方法互补关系示意图

理论分析方法的优点在于所得结果具有普遍性和一定准确性，各种影响因素清晰可见，

是指导实验研究和验证数值计算方法正确与否及其计算精确度的基础。但是，它往往需要对

计算对象进行抽象和简化，且只有对较简单的流动问题才可能得出理论上的解析解；对于复

杂的特别是非线性的问题，很难求解。因此，对存在于自然界和实际工程中的流动问题，只

有其中的极少数才能给出解析结果。

实验测量方法所得到的实测结果一般真实可信，它是对理论分析和数值计算结果的验证

依据。然而，实验往往受到试验条件（如模型尺寸、形状，流场扰动和测量精度等）的影响

和限制，有时也很难得到很准确的结果。此外，实验还会遇到人力和物力的巨大耗费而受到

经费投入及周期长等许多因素的制约。

而CFD方法恰好克服了前面两种方法的弱点，它是在计算机上实现对某一流动系统或

某一流动现象的一个特定的计算。这个特定的计算，就是用数值的方法所作的近似计算，即

通过数值求解各种简化的或非简化的流体动力学基本方程，以获得流动在各种条件下的状态

参数和作用在形成流道的边壁或绕流物上的力或力矩等数据，以及流场的分布与流动的状态

等。这种计算就好像在计算机上做一次物理实验。例如，机翼的绕流，通过计算并将其结果

在屏幕上显示，就可以看到流场分布的各种细节，如激波的运动及其强度，涡的生成与传播,

流动的分离及其表面的压力分布、受力的大小及其随时间的变化等。数值模拟实质上就是在

计算机上进行的数值试验，可以形象地再现流动的场景。在本质上讲，与做物理实体实验没

有什么区别。

与实验方法相比，其突出的优点是：

1、CFD方法所需要的设备与条件只是计算机和相应的CFD软件，因而，所需花费与

损耗小，试验与产品开发周期短；

2、在计算机上可以方便地任意改变流场中固体结构件的形状和尺寸以及流动条件，即

可马上进行计算，且流场不受试验装置与测试仪器仪表的干扰。即很容易实现各种条件下的

流动计算，目保持了流场的原态；

3、可定量地刻画、详细地描述出流动随时间的变化以及总体流场与局部细节，并能定

量地给出各种物理量的物性参数值；同时，还可随意进行流场的重构和分析、诊断，等。

二、流体动力学计算的基本内容和步骤

所有流动或流场的计算与模拟工作，首先都应根据所要求解的物理问题及预期目标拟定

出合理、周密的技术路线与求解方案，以保证顺利地实现意图，达到预期的目的。为此，在

拟定流场数值模拟求解方案时，主要应考虑如何选定以下一些必须解决的问题：

1、物理模型的流型：根据所要研究的问题，分析该流动是可压缩流还不可压缩流，是

有粘流动还是无粘流动，是层流还是湍流，流动是稳态还是瞬态？由此确定该流动的流型；

2、CFD方法的模型目标：即确定要建立什么样的CFD计算模型，并要从该模型中获

得怎样的模拟结果？获取这些结果的使用目的，由此确定计算模型是按二维还是三维构造及

需要什么样的计算精度；

3、计算域的确定：根据确定的流型和计算模型，分析该问题的流动特征是否对称或存

在回流与尾迹流或射流，即考虑对于该问题计算域是否需要外延，或取其一部分；

4、网格的类型及其划分方式：即根据物理模型和计算域决定是采用结构网格还是非结

构网格，以及其单元体的选择与划分方式的确定；网格划分的合适与否，即网格划分的质量

对流动计算的精度和稳定性有重大影响。网格的质量内容包括：节点的分布情况（密集度和

聚集度）光滑型与正交性，等。而且有限体积法的突出优点是其计算效率高，因而，目前它

在CFD领域中得到了广泛地应用，大多数CFD商用软件，包括FLUENT在内，都使用有

限体积法编制的。

5、计算方法与求解过程的选择与确定：

6、湍流模型的选择与确定：两方程模型中有三种常用模型，即

1）、标准4模型;

2）、RNG女-£模型（重整化群模型）；和

3）、Realizable攵-£模型

7、离散方法与格式的选择与确定：离散包括两部分内容，即计算域空间的离散和控制

方程与湍流模型在网格节点上的离散两个部分；离散的方法根据因变量在节点之间分布的假

设及推导离散方程的方法不同而不同；有有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）、有限体积

法（FVM）,等等。

8、定解条件（边界条件与初始条件）的确定；

9、求解器的选择。

在考虑并确定上述的九个主要问题时，既要考虑计算资源的硬件条件实现的可能性，又

应考虑计算结果精度与计算所需机时的经济性来综合决定

采用CFD的方法对流体的运动进行数值模拟，通常包括以下的内容与步骤：

1、建立反映工程或物理问题本质的数学模型

所谓建立数学模型，具体地说就是要建立能完善、准确地反映问题各个物理量之间关系

的微分方程及其相应的定解条件；流体运动的基本控制方程通常包括质量守恒方程、动量守

恒方程、能量守恒方程。没有较准确、完善的数学模型，数值模拟就毫无意义；这是数值模

拟的基本出发点与最基本的要求。

2、寻求并采用高精度、高效率的计算方法

寻求高精度、高效率的计算方法是为获得满意的计算结果奠定基础。这里所说的计算方

法，不仅包括选用针对性较强、精度高的控制微分方程的离散化方法（如有限差分、有限元、

有限体积等方法）和求解的方法；还包括贴体坐标系的建立，边界条件的处理等。这是CFD

模拟计算中的核心与关键的内容和步骤。

3、编制程序和进行计算

这部分工作包括计算网格的划分、初始条件和边界条件、控制参数的设定以及具体的计

算等。这是整个CFD模拟计算中最繁杂、最费时的工作内容和过程。由于Navier-Stokes方

程就是一个十分复杂的非线性方程，数值求解的方法在理论上也不是绝对完善的，所以还需

要通过实验加以验证。正是从这个意义上讲，数值模拟又叫作数值试验。应该指出，这部分

工作不是轻而易举就可以完成的，需要耐心细致地反复修改和调整的过程。

4、显示计算结果。计算结果一般是通过各种图形、图表或曲线等方式显示，这对检查

和分析计算结果及其计算质量具有直接的作用和重要的参考价值。

以上这些内容与步骤构成了CFD数值模拟的全过程；其中数学模型的建立属于基础理

论研究性的课题。

三、计算流体动力学的特点

CFD的长处是适应性强、应用面广。首先，流动问题的控制方程一般是非线性的，且

自变量多，计算域的几何形状和边界条件复杂，很难求得解析解；而用CFD方法则有可能

找出满足工程需要的数值解。其次，可以利用计算机进行各种数值试验，例如，选择不同流

动参数进行物理方程中各项有效性和敏感性的试验，从而进行方案比较。再者，它不受物理

模型和实验模型的限制，省钱、省时，有较大的灵活性，能给出流动的详细而完整的资料和

信息，并能很容易地模拟特殊尺寸、高温、有毒、易燃等真实条件和物理实验中只能接近而

无法达到的理想条件。

但CFD也存在着一定的缺陷或局限性。首先，数值解法是一种离散的、近似的计算方

法，依赖于物理上的合理性、数学上的适用性；而且，适合于在计算机上进行离散与计算的

数学模型有限；同时，又不能提供任何连续的解析表达式形式的最终计算结果，而只能是有

限个离散点上的数值解，且有一定的计算误差；第二，它不像物理模型实验那样，一开始就

能给出流动的各种现象和定性地描述，往往需要由原体观测或物理模型试验提供某些流动参

数，并需要对建立的数学模型进行验证；第三，程序的编制及资料的收集、整理与正确地利

用，在很大程度上要依赖于经验与技巧。此外，由于数值处理方法等原因，有可能导致计算

结果的不真实（例如产生数值粘性和频散等伪物理效应），以及由于CFD涉及巨大数量的迭

代计算过程，而需要较高的计算机软硬件配置等。

当然，在上述的这些缺陷或局限性中，有些可采用相应的方法加以克服或弥补。这在相

关的文献中有相应的介绍。

数值计算与理论分析、实验观测相互联系、相互促进；但不能完全替代，三者各有各的

优势和适用场合。CFD方法有其自己的原理、方法和特点，在实际使用中要注意三者的有

机结合，使其优势、长处互补。

四、计算流体动力学的应用领域

近些年来，CFD有了很大的发展，替代了经典流体力学中的一些近似计算方法和图解

法。过去的一些典型教学实验，如Reynolds实验，现在完全可以借助CFD手段在计算机上

实现。计算流体动力学的应用领域极为广泛，所有涉及流体的流动、热交换、分子输运等现

象的问题，几乎都可以通过计算流体动力学的方法进行分析和模拟。目前，CFD的方法不

仅可作为一种分析、研究问题的工具，而且还可作为设计工具在热能与动力工程、水利水电

工程、石油化工与流体输运工程、船舶工程、海洋工程、环境工程、食品工程、土木工程以

及工业制造等领域中正发挥着巨大的作用。其主要的应用领域及所涉及的相关工程问题包

括：

锅炉中燃烧的计算；

换热片的换热计算与形状的选取，以及换热器整体性能的分析与预测；

水轮机、泵与风机等流体机械的内部流动问题及其内特性的研究；

飞机和航天飞行器等的设计；

船舶、鱼雷等水中航行器的外形设计；

河、渠流中的水能计算；

洪水波及河口的潮流计算；

河流中污染物的扩散；

油、气以及石油化工物品等的管道输送；

电子元器件的冷却；

室温、室内湿度及其空气流通的计算与调节，以及其环境的分析；

汽车尾气对街道环境的污染；

食品中细菌的运移；

风载荷对高层建筑物稳定性及其结构性能的影响；

汽车的外型的设计及其对性能影响的分析；等等。

对这些问题的分析与处理，过去主要借助于理论分析和反复大量的物理模型实验的验

证；而现在大多采用CFD的方法加以分析和解决。CFD技术现已发展到了完全可以对粘性

湍流及旋涡运动等复杂的流动与传热问题进行三维的分析与计算的程度。

五、计算流体动力学的计算方法

经过四十多年的发展，CFD出现了多种数值解法。这些方法之间的主要区别在于对控

制方程的离散方式。根据离散的原理不同，CFD的计算方法大体上主要分为三种：

有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)

有限元法(FiniteElementMethod,FEM)

有限体积法(FiniteVolumeMethod,FVM)

有限差分法是应用得最早、最经典的CFD计算方法。它将求解域划分为差分网格，用

有限的网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程的导数用差商来代替，推导出含有离

散点(即网格的节点)上有限个未知数的差分方程组。求出差分方程组的解，就作为描述这个

连续求解域内定解问题的偏微分方程的数值(近似)解。它是一种直接将微分问题变换为代

数问题的数值近似解法。这种方法发展较早，比较成熟，较多地用于求解双曲型和抛物型问

题。在此基础上发展起来的方法有PIC(Particle-in-CeH)法、MAC(Marker-and-Cell)法，以

及由美籍华人学者陈景仁提出的有限分析法(FiniteAnalyticMethod)等。

有限元法是20世纪80年代开始应用的一种数值解法，它吸收了有限差分法的离散处理

思路，又采用了变分计算中选择逼近函数对区域进行积分的方法。所以，采用有限元法，特

别是在用其求解非定常流动问题时，每一步都要解大型代数方程组，计算工作量大，其求解

速度较有限差分法和有限体积法慢，且占用计算机内存大。因此应用不是特别广泛。在有限

元法的基础上，英国CA.Brebbia等提出了边界元法和混合元法等方法。

有限体积法首先是将计算区域划分为一系列的控制体积，其离散方程的建立，是将待求

解的微分方程通过对每一个控制体的积分而得出离散方程的。用有限体积法导出的离散方程

可以保证流动具有守恒特性，而且离散方程中的系数物理意义明确，其计算量也相对较小。

但有限体积法的关键是在于其导出离散方程的过程，即在推导过程中需要先对界面上的被求

函数本身及其导数的分布作出某种形式的假定。1980年，S.V.Patanker在其专著《Numerical

HeatTransferandFluidFlow^中对有限体积法作了全面的阐述。此后，该方法得到了广泛

应用，是目前CFD软件中应用得最为普遍的一种方法。当然，对这种方法的研究和扩展也

在不断地进行着，如P.Chow提出了适用于任意多边形非结构网格的扩展有限体积法。

目前大多数CFD商用软件都是采用有限体积法编制的。

第二节流体机械内部流动数值计算概述

何为流动的数值计算？

所谓流动的数值计算，就是通过数值计算中的各种离散化的方法，把描述连续流体介质

运动的控制方程（数学模型）离散成代数方程组，从而建立起各种数值计算的数学模型，再

根据具体问题，给定初始条件和边界条件；然后通过计算机进行数值计算或数值试验，得到

定量描述该流动的流场数值解。这就是流动的数值计算。或者直观地说，就是通过各种离散

化的方法，把描述连续流体运动的偏微分控制方程离散成代数方程组，以此建立起该运动的

数值模型，并通过计算机进行数值计算，从而获得描述流场的运动参数的定量数值解。

对流体机械内部流动进行数值计算的目的和意义：了解和掌握所计算的工况下其内部流

动的状况和流态，为进一步改进设计和改善与提高其性能提供依据。

所谓CFD,从实质上讲就是对流体运动状态的一种分析方法；可以被看作是对在流动

基本方程（质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程）控制下的流动进行数值模拟描述的

一种方法。通过这种数值模拟，我们可以获得复杂流场内各个位置上的基本物理量（如速度、

压力、温度、浓度等）的分布及其随时间的变化情况。据此可以描述出其流动的特征，如旋

涡分布、空化特性及脱流区等；还可以计算出其它相关的物理量，如对于旋转流体机械的转

矩、水力损失、效率和空蚀系数等。此外，结合CAD还可以进行结构上的优化和可靠性设

计等。

一、流体机械内部流动数值计算的基本出发点

由于流动的复杂性和直接求解三维流动的困难性，流体机械内部流动数值计算的基本出

发点是：

1、将复杂和难于计算的三维流动降维

所谓降维即是将三维的问题降为二维的来计算或将二维的问题降为一维的来计算。

如对叶（转）轮内部流动的数值计算，就是将其内部复杂的三维流动化为Si（回转）流

面和S2（子午）流面内的两个二维流动来求解的；由于这两个二维流动共同描述的是同一个

复杂的三维流动，是人为地将其分解为两个二维流动，所以这两个流面上的二维流动是相互

关联的。如回转面Si的形状、位置和流层的厚度将由子午面S2上的流动计算来确定（在子

午面上常采用势流计算来确定S1流面的位置）；而子午面上流动计算所需的速度Wo、Wm

和液流角B等值又需要在回转面的流动计算中来求得和提供（在回转的Si流面上一般采用

湍流计算来确定出S2流面计算所需要的参数。）。因此，计算中须将这两个二维流动相互迭

代计算，不断相互修正、调整进行，才能达到收敛，得到其准三维解。如采用边界元法，可

直接进行降维计算，这是它的最大优点。边界元法是将全计算域的计算化为了只在区域边界

上的计算，这就使得计算的维数减少了一维。

2、简化描述流动的基本控制方程；

所谓简化流动的基本控制方程，即依据某一具体流动，从流体运动连续方程、欧拉（Euler）

运动微分方程、纳维一斯托克司（Navier-Stokes）方程出发，推导出描述该流动的更直接、

更简明和便于求解的实用控制方程。

二、流体机械内部流场数值计算中常用的主要方法

目前对湍流的瞬时运动控制方程（N-S方程）的求解，有直接求解的数值模拟方法以

及非直接数值模拟法的雷诺平均法和大涡模拟法等。

所谓直接解法。就是直接求解瞬时湍流控制方程。其优点是：无需对湍流运动作任何近

似或简化，可以得到理论上的准确解或计算结果；但目前其只能求解一些简单流动；对于稍

复杂的湍流流动（存在两方面的困难）就无能为力了。

而非直接模拟，就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对流动做出某种程度的近似

和简化处理后再进行数值计算。并且依据所采用的近似和简化方法的不同，非直接的数值模

拟又分为大涡模拟法和统计平均法与雷诺（Reynolds）平均法。

雷诺（Reynolds）平均法

雷诺（Reynolds）平均法的核心不是直接求解瞬时的Navier-Stokes方程，而是设法将其

瞬态的脉动量通过某种表达式（模型）在时均化的Navier-Stokes方程中表现出来，从而求解

时均化的Reynolds方程。这样，不仅可以避免DNS方法的计算困难和计算工作量大的问题；

而且完全可以满足工程实际的精度要求，并可以取得良好的效果。

在N—S方程的雷诺(Reynolds)平均解法中，脉动部分对平均运动的贡献(影响)是

通过雷诺应力项来模化的；依据对雷诺应力模化方式的不同，模化又分为雷诺应力模式和涡

粘模式两类。由于雷诺应力模式计算量很大，受到计算条件的约束和限制，应用范围较窄。

因此，目前在湍流工程中得到广泛应用的是涡粘模式。

大涡模拟法(LES)

我们知道，湍流包含有一系列大大小小的涡团，涡的尺度范围相当宽广。为了模拟湍流

流动，我们总是希望计算网格的尺度小到足以分辨最小涡的运动；然而，就目前的计算机能

力来讲，能够采用的计算网格的最小尺度仍比最小涡的尺度大许多。

由于流动系统中的质量、动量、能量和其它物理量的输运，主要是由与所求解问题密切

相关的大尺度涡来实现的；而小尺度涡趋向于各向同性，其运动具有共性，又小尺度涡不像

大尺度涡那样与所求解的特定问题密切相关，且几乎不受几何及边界条件的影响；又包括脉

动在内的湍流瞬时运动也必须遵循动量守恒的规律，即流动的描述也服从N—S方程；而N

—S方程本身本来就是封闭的，就其本身求解而言，本来就不需要补充方程或再建立什么模

型。由此产生一种想法，即是否可以在不引入任何湍流模型的情况下，把包括脉动运动在内

的湍流瞬时运动通过某种滤波方法分解成大尺度涡的运动和小尺度涡运动两部分；然后，对

大尺度涡的运动通过数值求解其运动微分方程的方法直接计算出来；对于小尺度涡的运动对

大尺度涡运动的影响将以类似于雷诺Reynolds平均法中的Reynolds应力的应力(称为亚格

子尺度应力)项在大尺度涡的瞬时运动方程中体现出来，并通过建立近似模型来模拟和求解。

这就是大涡模拟理论与方法的基本思想。

大涡模拟是介于直接数值模拟(DNS)与Reynolds平均法(RANS)之间的一种湍流数值模

拟的方法。但要实现大涡模拟，首先必须要完成两项重要的工作环节：一是要建立一种数学

滤波函数，可从湍流瞬时运动方程中将尺度比滤波函数的尺度小的涡滤掉，从而分解出描述

大涡流场的运动方程；而这时被滤掉的小涡对大涡运动的影响，则通过在大涡流场中的瞬时

运动方程中引入附加应力项来体现；二螺建立小涡影响的应力项数学模型(这一数学模型

称为亚格子尺度模型(SubGrid-Scalymodel),简称SGS微)。

大涡模拟法的优点在于：

(1)、方程本身是精确的，计算结果的误差只是由于采用的计算方法及数值计算本身所

带来的误差；

(2)、数值模拟可以提供每一瞬间流场中的全部信息，而且特别有重要意义的是能提供

很多在实验上目前还无法测量的量，这就使得可以用直接数值模拟所得到的计算结果来检验

各种湍流模型的正确性和实用性，并为新的湍流模型开发提供基础数据；

(3)、在数值模拟中，流动条件可以得到精确的控制，可以对各种因素单独的或交互作

用的影响进行系统的研究，这在实验中是难以做到的；

(4)、在某些情况下，，物理实验模拟非常昂贵和危险，而且有时由于实验条件的要求

达不到，甚至是不可能实现对真实流动条件的完全相似，于是，直接大涡的数值模拟就成了

提供预测的唯一手段；

(5)、计算结果对建立的小涡计算模型的可靠性不敏感，即小涡影响的计算结果对总体

计算结果影响不大。

大涡模拟法的缺点在于：

计算工作量巨大，要求计算机硬件配置较高、计算速度快(但要低于DNS方法的要求);

而且目前只能进行低雷诺数和简单几何边界条件的湍流直接模拟。

这是因为：湍流脉动运动中包含着大大小小不同尺度的涡运动，湍流统计理论已证明，

这种湍流运动中的最大涡尺度L可与平均运动特征长度相比较，而其中最小尺度的涡运动则

取决于粘性耗散速度，即为柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)定义的内尺度〃=(/为/。而且

这大小尺度的比值随着雷诺数的增高而迅速增大，即U”瞰0

由此，为了模拟湍流流动，一方面要求计算域的尺度应达到足以包含最大尺度的涡；另

一方面又要要求计算网格的尺度应小到足以分辨最小尺度的涡运动。这样一来，计算域就得

很大，而且在计算域的范围内网格结点数至少应为与N~R24同一量级；而且计算模拟的时

间长度又要大于大涡的时间长度〃而计算的时间步长又应小于小涡的时间长度77/。。故

总的计算量正比于因此，就目前世界上现有计算速度最快的计算机计算速度水平，用

直接数值模拟的方法求解工程中的复杂湍流问题与要求的速度还差3个数量级。

总之，在一定意义上讲，大涡模拟是介于直接数值模拟与采用湍流模型模拟之间的一种

折衷方法。

上述所提到的计算方法的具体计算过程与计算实例，请参见有关书籍或文章。

在非直接模拟的统计平均法中，由于对描述流动控制方程所采取的离散方法的不同，因

而也就出现了许多不同的流动数值计算方法。其中在流体机械内部流场的数值计算中，常用

的主要方法有：

有限差分法、有限元法、边界元法、有限分析法和有限体积法，等。

有限差分法

该方法是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点(即离散点)代替连续的求解域,

然后将控制流动的微分方程中的所有微分项均用相应的差商来代替，从而将偏微分方程转化

为代数形式的差分方程，即导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组；求解这个差分方

程组，所得到的解就作为该流动问题的数值近似解，也就是得到了该流动在网格节点处流动

变量的数值解。它是一种直接将微分问题转化为代数问题的近似数值解法。这种近似的数值

解法关键在于针对所研究的流动问题选择合适的差商来代替微商。

优点：①这种方法出现与发展的较早、成熟；适用于求解非定常流动问题（抛物型、双

曲型问题）。

②有限差分法只须构造偏导数的离散方法，这使得它比较容易推广到高阶精度；

对于多维问题也是如此。

③对于网格拓扑奇点，有限差分法更容易取得高的精度。

缺点：①在曲线坐标系中，有限差分法要对几何量和物理量给出确定的组合关系才能进

行差分离散，这样做的后果之一是有限差分法可能产生所谓几何诱导误差（geometryinduced

error）o

②不善于表现复杂的边界；用它来求解椭圆型问题时，不如有限元法方便。

有限元法

有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的若干个单元，并于各单元分片构造

插值函数，然后根据极值原理（伽辽金Galerkin法），由流动问题的控制微分方程构造积分

方程，对各单元积分得到离散了的单元有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即

将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各结点

上待求的函数值，从而求得该流动问题的数值解。有限元法是将微分方程转化为积分方程来

求解的，其实质是分段（或分片、分块）逼近，即将整个求解区域划分为有限个子区域，构

造分区插值函数，以逼近真解。

与有限差分法相比，其

优点：适用于求解几何、物理条件比较复杂的流动问题，且便于程序标准化，也适于求

解椭圆型的流动问题。

缺点：由于求解非定常流动问题时，每一时步都要解大型代数方程组，故其计算工作量

大、占用计算机内存大。

有限边界元法

所谓有限边界元法，是先将流体运动控制微分方程化为边界积分方程，再用有限元的基

本思想与方法、步骤（在求解域的边界上划分有限单元）来处理边界积分方程。与有限差分

法和有限元法不同，它在域内满足微分方程，而在边界上近似满足边界条件。

优点：它是将全域的计算化为了在区域边界上的计算，使计算域的维数减少了一个，使

三维问题化为二维问题，二维问题化为一维问题，给计算带来一系列的简化和方便。由于边

界元法的近似范围仅在区域的边界上，与有限元法相比，其精度较高。

缺点；由于边界元法要采用解析函数的基本解，因而目前还只适用于线性问题以及基本

解已知的问题；对于非线性问题、半无限域问题，以及区域的角点处理等，边界元法还不成

熟。

有限体积法

有限体积法又称控制体积法，其理论依据是基于物理守恒原理。对于N-S方程采用有

线体积法离散，其基本思路是：首先根据高斯散度理论，将计算域划分为一系列不重叠且不

随时间而变的网格，并使每个网格节点周围有一个控制体积；将待求解的微分方程对每一个

控制体积进行积分，得出一组积分形式的离散方程。其中未知数是网格节点的因变量。的数

值。为了求出控制体积的积分，必须先假定。值在网格节点之间的变化规律，即设定。值的

分段分布剖面。

优点：①这种方法对任意一组控制体积都满足积分守恒；当网格尺度有限时（粗网格的

情况下），它也可以比有限差分法更好地、且准确地满足质量、动量和能量的守恒；对拟一

维或轴对称流动，守恒性更容易实现。

②在复杂区域上容易实现。

缺点：①对多维问题，高精度（高于二阶）有限体积法的构造和实施比较困难。

②与有限元法类似，计算工作量大。

有限分析法

有限分析法是一种改进了的有限元法。其基本思路是：离散单元上的解不再用插值函数

来表达，而是用方程局部线性化后的解析解。它首先将待求问题的总体区域划分为许多小的

子区域，在这些子区域中求局部解析解；然后从局部解析解中导出一个代数方程，使子区域

上的内结点值与相邻的结点值联系起来；再把所有的局部解析解汇集在一起，就得到了所要

求解问题的有限分析的数值解。

优点：它比较好地保持了原有问题的物理特性，能准确地模拟流动的对流效应，同时不

存在数值扩散现象，计算稳定、收敛快，计算所需机时与差分法相当。

缺点：对于不同的问题子区域的划分须依靠经验。

在流体机械内部流动或流场的计算中主要采用的是有限差分法和有限体积法。两者的异

同点在于：

有限差分法是微分类的离散方法；有限体积法是积分类的离散方法；但二者是密切相关

的。已经证明，在几何度量系数处理适当的条件下，在一般曲线坐标系中的守恒型流动方程

的有限差分法等价于物理空间的有限体积法或通量和类方法。也就是说，在对几何度量系数

的处理适当的条件下，进行曲线坐标变换后的计算空间里的有限差分法，同不进行变换的物

理空间里的有限体积法或通量和类的方法是等价的。事实上，在矩形网格上，二者可以做到

完全等价。

Vinokur的研究证明：微分类的有限差分法和积分类的有限体积法由于两类方法的不同，

导致了对几何项处理上的不同；但这只会对计算精度和效率产生影响，而不会对计算产生本

质上的影响的。也就是说，有限差分法和有限体积法的不同主要是对网格的几何处理方法不

同，而两者没有本质的区别。

一般来说，有限差分法和有限体积法有如下不同之处：

①有限体积法中对几何量（度量系数）和物理量的计算式是独立的；而有限差分法是要

对几何量（度量系数）和物理量必须有的确定组合才能进行差分运算。所以，在有限差分法

中采用不同的差分格式，其几何量对计算结果的影响是不同的。

②用有限差分法计算得到的是网格节点上的物理量，而用有限体积法计算得到的是单元

的平均值。

有限体积法的特点是：

①当网格尺度有限时，它可以比有限差分法更好地保证对质量守恒、动量守恒和能量守

恒定律的满足；对拟一维或轴对称流动，守恒性更容易实现。

②在复杂区域上容易实现。

③对多维问题，高精度（高于二阶）有限体积法的构造和实施比较困难。

有限差分法的特点是：

①有限差分法只须构造偏导数的离散方法，这使得它比较容易推广到高阶精度；对于多

维问题也是如此。

②对于网格拓扑奇点，有限差分法更容易取得高的精度。

③在曲线坐标系中，有限差分法要对几何量和物理量给出确定的组合关系才能进行差分

离散，这样做的后果之一是有限差分法可能产生所谓几何诱导误差。

T7

例如，考虑一流动是定常的无界均匀流场，则Vi,j,上q=0。在由一般曲线坐标构

dt

成的网格（求解域可以是有界的，也可以是无界的，计算边界条件是给定的均匀流动参数）

TT

上采用有限差分方法计算此流动，可能有而采用有限体积法，则恒有Vi,j,

dt

‘""=0；这就是几何诱导误差所引起的现象之一。

dt

第三节转（叶）轮内流动的降维计算

对于转（叶）轮内流动的降维在加和52流面上的数值计算，可分为粘性和非粘性的两

种方法计算。

一、非粘性计算

在S1流面内的数值计算方法有：

流线曲率法、有限差分法、奇点分布法、有限元法，以及有限差分和松弛法相结合的方

法等。

采用流线曲率法计算时，由于在叶片上下游没有固定的边界，因而必须对叶片进出口前

后缘区域内的流动作一些假设。这就影响了这种计算方法解的精度和可靠性，其计算精度在

某种程度上取决于计算者对边界条件处理及前后缘处流动假定条件给定的经验；另外，由于

流线曲率法计算所用的坐标系在每次流线迭代时都要随流线的不同而改变，因而使用中很不

方便，故现在多采用准正交曲线坐标系。再者，由于流线是由对很多离散点进行曲线拟合而

拟合出来的，因此很难保证拟合的曲线完全光滑，尤其是在流速变化较大处，流线曲率的计

算精度将急剧下降，从而导致计算不稳定。

但流线曲率法具有物理概念清晰,所需数学知识及程序较简单，计算所占计算机内存少等

优点。

在有限差分法中，一般采用Katsanis的在叶片前缘附近加密计算网格，用松弛法求解；

该方法可适用于叶（转）轮形状复杂的内部流动计算。

Senoo的奇点分布法是先将S1流面保角地影射成平面环列叶栅，然后用奇点分布法求

解。由于这种方法中的奇点是分布在翼型的骨线上，所以这种方法原则上只适用于薄翼；对

于厚翼，则在平均流动中用考虑厚度排挤的方法来进行修正。

在S2流面上的数值计算方法有：

流线曲率法、有限差分法、有限元法，以及流线曲率法和松弛法相结合的方法等。

二、考虑粘性影响的粘性计算

1、死水区的非粘性计算方法

这种计算是将叶片背（负压）面出U处的边界层分离区定义为死水区，该部分的计算仍

然用无粘性的计算方法进行，然后用修正叶片出口部分形状的方法来考虑粘性的影响。这种

计算方法的缺点是不能给出明确的边界层分离点的判别标准。

2、主流一边界层组合计算的方法

这种计算方法是把流体机械内的液流分成四个流动区域，即主流区、顶部与底部壁面边

界层区（离心泵的前、后盖板，水轮机的上冠、下环）、侧壁面（叶片表面）边界层区和叶

片表面与盖板间的转角区。主流区采用非粘性计算，边界层区采用Moses的条形积分法进行

旋转边界的三维计算。

这种计算方法的主要优点是可以顾及到回转流道内的二次流对边界层发展的影响。

3、粘性方程的直接解法

这种计算方法目前只有Moore的混合长度模型部分抛物线方程的解法和Fraser的用k-

£模型的湍流计算法，以及Hah的用代数模型对N—S方程进行压力修正后得到椭圆型方程

的直接求解方法。

目前在工程上较成熟和实用的粘性计算方法是主流一边界层的组合算法（详见《现代水

泵设计方法》P204~256）o

总括起来说，在流体机械内部流动的准三维数值计算中，尤其是对旋转的转（叶）轮内

部的流动计算，采用了回转的S1流面和平均的子午面S2流面的分解，使其相互迭代求得解

的精度受到了一定影响；其计算精度不如采用前述粘性方程的三种直接计算方法。

按描述流体运动的控制方程数学性质的不同，在流体力学中将其分为三种类型，分别为:

一种是双曲线方程：如一维对流方程，—+a—=0,其中a为常数；

dtdx

一种是抛物形方程：如一维对流扩散方程，M嗯=嘤,其中a、4为常数；

再一种是椭圆形方程：如不可压有势流动的控制方程一拉普拉斯（Laplace）方程，

三、数值计算中必须注意的问题

误差分析在数值计算中是--个既重要而又复杂的问题，因每步计算中都可能产生误差，

而一个问题的解决往往要经过成千上万次运算，不可能（也没必要）对每一步都加以分析。

这里只提出在数值计算中应该注意的几个问题，以避免某些误差危害现象的产生。

1、要避免两相近数值的相减

两相近数值的相减会使有效数字严重损失。例如，x*=4.312,y*=4.308都具有四位有效数

字，但x*-y*=0.004,却就只有一位有效数字了。有效数字的数目严重损失，减少了3位；这

说明应尽量避免出现相近数值的相减。其办法是改变计算方法。如在下面的情况中，用

如果难于改变算式的形式，也可采用增加有效数位的办法。右端算式代替左端算式，有

效数字就不会损失。

当x〉0很大时，

Jx+1-Vx=-；——1~广,

X+1+y/X

111

--------------,

xx+1x(x+l)

arctg(x+1)-arctgx=arctg---!----

l+x(x+l)

当w很小时，

l-cosx=2(sin92,

23

xx

ex-l=(l+x+—+-+•••)-!

2!3!

112,、

—X(Z14--XH--X+,■,),

26

当x,y很接近且都为正时，

x

Inx-Iny=ln—.

y

2、要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法

在计算过程中，如计算工若0<|y|«|x|时，即用绝对值很小的数作除数，会使商的数量

y

级增加，从而舍入误差会增大，给计算结果带来严重的影响或失真；故应尽量避免。

3、要防止大数“吃掉”小数

为了说明这一点，下面举个例子

例1、计算二次方程/-(1()9+l)x+1()9=0的根。

解：显然方程的二个根为

X1—10,犬2=1。

但如果我们用求根公式

_-b+y]b2-4ac

在能将规格化的数表达到小数后八位的计算机上进行运算，则

-fe=109+l=0.1xl09+0.0000000001X1o10.

由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故在上机运算时(用A表示)

△

一6=0.1X10'°+0.00000000X1O10=o.lxio10=109

类似地分析有

b2-4ac«b2,yb2-4ac«网，

x_-bjb?-4ac上直+杨_】

故*—2a-T~

-/>-7/?2-4acM09-109,、

x,=------------=-------=0.

2a2

显然根严重失真。产生这种错误的主要原因是在计算机上进行加减运算要对阶，-匕的

第二项00000000001x109在第八位,计算机中表示为机器0,则小数1被大数109“吃掉”

了，结果当然就不可靠。为防止大数“吃掉”小数，对于该类问题可采取的措施是利用根与

系数的关系

C

xx=—

v2a

来计算乙，这时有

C△1()9

4、要尽量简化计算步骤以减少运算次数

对一个计算问题，如能减少运算次数，不但能节省计算所用的时间，还能使计算中的

误差积累减小；这也是数值计算方法中应充分要注意的问题。

1001

例如要计算和式，一」的值，如果直接逐项求和，不但其运算次数多，而且误差

„=|+1)

积累严重。但若把和式简化为

11.1(11)11

占〃(〃+1)£nn+l100f

则整个计算就变成了只要求一次倒数和一次减法了。

又如计算多项式

n

/(x)=aax+%x"T+…+anlx+an

的值。若直接计算a/"'再逐项相加，总共需做

,八八n(n+1)

/?+(n—1)H-----1-2+1f=--—

次乘法和n次加法。但若将前n项提出x,则有

f(x)=(aox"~'+%x"2+…+a“_])x+%.

于是括号内是nT次多项式，对它再施行同样的手续，又有

n-2

/*)=l(aox+%x"-3+...+an2)x+an_t]x+a,,.

这样内层括号为一n-2次多项式，这样每做一步，最内层的多项式降低一次，最终可将多项

式表示为如下嵌套形式

/(%)=(•••(aQx+^)x4-a2)xH---an_^x+an.

利用此式结构上的特点从里往外一层一层地计算。设

仇=h()x+a],

b2

***9

b„=%x+4=/(x),

得递推公式

b。=do，

hj=«+xb-i,1</<n.

{b„=f(x),

按递推式求/(x)的值只需作n次乘法和n次加法，计算量节约了一半，且逻辑结构简

单。多项式求值的这种算法称为秦九韶方法，它是我国宋代一位数学家秦九韶最先提出的。

它的特点在于通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，这种化繁为简的处理方法

在数值计算方法中是常见的。

例2、用秦九韶方法求多项式

/(x)=4x3+2x2-5x+7

在%=3的值。

解：把〃x)的系数按降塞排成一列，按下表计算：

a。环=鱼4b0=4

%力=用+瓦以24二14

“二37

aib：=ai+xl)bi.]-5

4二U8=/⑶

%b„=a„+xQbn-i=f(xii)7

本数=左数+x0X上一数

第四节相对圆柱坐标系中流体参数及其运动的描述

我们在进行旋转流体机械转（叶）轮内的三维流动数值计算时，为了方便和简化计算，

一般都选用相对圆柱坐标系，并II坐标轴固定在转（叶）轮上；艇个坐标轴分别为小。（或

9）、z；转（叶）轮转动的角速度3由于坐标系的改变，则描述流体运动的参数、

控制方程或表达式必然要改变；所以我们在采用旋转的相对坐标系进行转（叶D轮中流体运

动的计算时，必须要知道描述流体在相对圆柱坐标系中的运动参数、控制方程或表达式。为

此，分别简介于下。

一、单位质量流体的能量

1.单位质量流体的势能

单位质量流体的势能以与表示之，它等于

，=gZ+"……（1）

P

求上式的微分，对于不可压缩流体有：

dY=gdz+—dp...（2）

P

在流体力学中，符号▽称为微分算于，它表示为

.d.d,d

▽w二。Flg--FI-~~

dr"d（p'dz

一个量的微分d（）可以写成这个量的梯度▽（）与力?="公+%/9+，/2的点乘积（标量积）,

即

d（）=（三dr+鸟d。+三dz.）（）=（i,.dr+id。+i,dz）・

dro（pdz

.d.d.d

应k+"。丁+"卞）（）=〃・▽（）

orro（pdz

于是公式(6-2)就可写成

dr,(yY-^Vz-—V/2)=0

P

因为力•可任意给定，与小括号中所表示的向量不垂直，得

vyVp=o..⑶

p

2、单位质量流体的能量—比能Y

vpuvu...(4)

y=gz+-+-=y„+-⑷

3、相对比能九

我们把相对运动伯努利(Bernoulli)方程中的四项之和称之为相对比能：

J(w)2...(5)

vy=gz+—+-----3

wp22

下面推导相对比能?与比能y之间的关系。根据余弦定理，从叶轮的速度三角形可得到

u2-arr~+W2-2a)r(a)r-)

从上式可得

gz+4,即得

上式等号两边均加

p)

Yw=Y-covur...(6)

二、旋转坐标系中与数值计算有关的流体运动表达式

1、相对运动中的随流导数

我们在推导式(6-3)的过程中曾得到

d()=JR-V()...(7)

对于相对定常运动，我们可把上式写成

9=坐”()

dtdt

如果取而为相对运动的流线方向，则得到

^=W«V()...(8)

dt

2、方向导数

公式（6-7）中的向量东可以写成它的模欧与它的单位向量器的乘积'故得

W）=W（）

*>

3、相对圆柱坐标系中流体的运动方程

如果流体是理想流体，相对运动是定常运动，而且忽略流体的质量力，则运动方程为:

dwr5_1dp

dtrpdr

=_1dp(10)

dtpd(p

—==--1--d-p

dtpdz.

上述这些在相对圆柱坐标系中描述流体运动的表达式，在我们进行三维流动计算中推导

计算公式时都将要用到。

第五节流动控制方程组的数学性质及分类

流体力学中的流动控制方程都是拟线性偏微分方程，其时间导数项是线性的，而空间导

数项往往是非线性的；因此，在绝大多数情况下无法求得这些偏微分方程的精确解。为此，

为求得流动或流场的近似解，只有采用各种计算方法，通过CFD的手段求得满足一定精度的

这些偏微分方程的数值解。流动的数值解法即是偏微分方程数值解法的一部分，因而，必须

清楚所要求解的控制方程的数学性质，它是属于哪种类型的方程。不同类型的离散方程，其

数值处理方法各异，这些相异点包括解的适定性、稳定性、收敛性、物理性质及差分格式的

适用性等。

那么，何为微分方程的适定性，差分方程（格式）的稳定性和收敛性，以及差分方程与

其微分源方程的相容性呢？

微分方程的适定性是指：该微分问题的解存在，并且唯一。

差分方程的稳定性是指：在利用推进（递推）法数值求解差分方程的过程中，如果初始

误差的增长有界，即这些误差在传播过程中逐渐减小或只控制在某一个有限的范围内，贝।麻

差分方程或差分格式是稳定的；否则即使不稳定的。差分方程或差分格式的稳定性是适定的

线性初值问题及与它相容的差分方程收敛的充分必要条件。

差分方程（格式）的收敛性是指：当时间步长和网格间距4-0,AxfO时-，差分方

程的解趋近源微分方程的解，则称差分方程（格式）是收敛的。

其定义为：设微分源方程的解为〃（X,f）淇