新高考数学三轮冲刺 押题卷练习第19题B 新定义压轴（解答题）（原卷版）

新定义压轴（解答题）（数列新定义、函数新定义、集合新定义、推理及其他新定义）2024年新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力；以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式、多角度的提问，考查学生的数学能力.新定义题型的特点是；通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.难度较难，可以预测2024年新高考大题压轴题命题方向将会以新定义类题型展开命题．一、数列新定义问题1.考察对定义的理解。2.考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.3.考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握.二、函数新定义问题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.关于新定义题的思路有：找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；将已知条件代入新定义的要素中；结合数学知识进行解答.三、集合新定义问题对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．数列新定义压轴（解答题）1．（2024·浙江·模拟预测）已知实数SKIPIF1<0，定义数列SKIPIF1<0如下：如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0表示）；(2)令SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，证明：对于任意正整数SKIPIF1<0，存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．2．（2024·江西南昌·一模）对于各项均不为零的数列SKIPIF1<0，我们定义：数列SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0比分数列”.已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0比分数列”与SKIPIF1<0的“2-比分数列”是同一个数列.(1)若SKIPIF1<0是公比为2的等比数列，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，求SKIPIF1<0.3．（2024·全国·模拟预测）给定数列SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的差数列（或一阶差数列），称数列SKIPIF1<0的差数列为SKIPIF1<0的二阶差数列……(1)求SKIPIF1<0的二阶差数列；(2)用含SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0的SKIPIF1<0阶差数列，并求其前SKIPIF1<0项和．4．（2024·浙江温州·二模）数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求集合SKIPIF1<0中所有元素的和；(3)对数列SKIPIF1<0，若存在互不相等的正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0也是数列SKIPIF1<0中的项，则称数列SKIPIF1<0是“和稳定数列”．试分别判断数列SKIPIF1<0是否是“和稳定数列”．若是，求出所有SKIPIF1<0的值；若不是，说明理由．5．（23-24高三上·湖北武汉·期末）若数列SKIPIF1<0满足：存在等比数列SKIPIF1<0，使得集合SKIPIF1<0元素个数不大于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0性质.如数列SKIPIF1<0，存在等比数列SKIPIF1<0，使得集合SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0性质.若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.证明：(1)数列SKIPIF1<0为等比数列；(2)数列SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0性质.6．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对SKIPIF1<0恒成立，则称数列SKIPIF1<0为“上凸数列”．(1)若SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若SKIPIF1<0为“上凸数列”，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（ⅰ）若数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，证明：SKIPIF1<0；（ⅱ）对于任意正整数序列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数且SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最小值．7．（2024·福建泉州·模拟预测）SKIPIF1<0表示正整数a，b的最大公约数，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则将k的最大值记为SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（i）求SKIPIF1<0；（ii）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.8．（2024·全国·二模）已知由SKIPIF1<0个数构成的有序数组SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0恒成立，则称有序数组SKIPIF1<0为“非严格差增数组”.(1)设有序数组SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0是否为“非严格差增数组”？并说明理由；(2)若有序数组SKIPIF1<0为“非严格差增数组”，求实数SKIPIF1<0的取值范围.9．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为SKIPIF1<0．(1)试求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与φ（p）和φ（q）的关系；(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数p，q；②计算SKIPIF1<0，欧拉函数SKIPIF1<0；③求正整数k，使得kq除以SKIPIF1<0的余数是1；④其中SKIPIF1<0称为公钥，SKIPIF1<0称为私钥．已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是SKIPIF1<0．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．10．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）由SKIPIF1<0个数排列成SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的数表称为SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的矩阵，简称SKIPIF1<0矩阵，也称为SKIPIF1<0阶方阵，记作：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0表示矩阵SKIPIF1<0中第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0列的数．已知三个SKIPIF1<0阶方阵分别为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分别表示SKIPIF1<0中第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0列的数．若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0生成的线性矩阵．(1)已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0生成的线性矩阵，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，矩阵SKIPIF1<0，矩阵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0生成的线性矩阵，且SKIPIF1<0．（i）求SKIPIF1<0；（ii）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0，是否存在正整数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立？若存在，求出所有的正整数对SKIPIF1<0；若不存在，请说明理由．11．（2024·福建厦门·二模）若SKIPIF1<0，都存在唯一的实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0存在“源数列”SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0存在源数列；(2)（ⅰ）若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围；（ⅱ）记SKIPIF1<0的源数列为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.12．（2024·山东泰安·一模）已知各项均不为0的递增数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）．(1)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“SKIPIF1<0-数列”．证明：①对任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，存在“SKIPIF1<0-数列”SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立；②当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，不存在“SKIPIF1<0-数列”SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0对任意正整数SKIPIF1<0成立．13．（2024·河南信阳·一模）定义：SKIPIF1<0已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立．探究：是否存在正整数p，使得SKIPIF1<0，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；(3)若数列SKIPIF1<0为正项数列，证明：不存在实数A，使得SKIPIF1<0．14．（2024·吉林白山·二模）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足：①数列SKIPIF1<0项数有限为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列SKIPIF1<0为“10阶可控摇摆数列”，求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若等差数列SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0阶可控摇摆数列”，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式；(3)已知数列SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0阶可控摇摆数列”，且存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，探究：数列SKIPIF1<0能否为“SKIPIF1<0阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.15．（2024·河南·一模）在正项无穷数列SKIPIF1<0中，若对任意的SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0阶等比数列．在无穷数列SKIPIF1<0中，若对任意的SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0阶等差数列．(1)若SKIPIF1<0为1阶等比数列，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式及前SKIPIF1<0项和；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0阶等比数列，求证：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0阶等差数列；(3)若SKIPIF1<0既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：SKIPIF1<0是等比数列．16．（2024·湖南·模拟预测）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph

Liouville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率SKIPIF1<0是超越数．回答下列问题：已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）只有一个正零点．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程SKIPIF1<0，证明：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为有理数当且仅当SKIPIF1<0．（ⅱ）数列SKIPIF1<0中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．17．（2024·湖南·一模）已知SKIPIF1<0为非零常数，SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列．(1)证明：SKIPIF1<0数列是递增数列，但不是等比数列；(2)设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列，证明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列，证明：SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．18．（2024·河南信阳·模拟预测）若数列SKIPIF1<0满足：存在等差数列SKIPIF1<0，使得集合SKIPIF1<0元素的个数为不大于SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0性质.(1)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：数列SKIPIF1<0是等差数列，且数列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0性质；(2)若数列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0性质，数列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0性质，证明：数列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0性质；(3)记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，若数列SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0性质，是否存在SKIPIF1<0，使得数列SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0性质？说明理由.19．（2024·广西南宁·一模）若无穷数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列，若SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0同时满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列．(1)若数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列，SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为递增数列的充要条件是SKIPIF1<0；(2)若数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．20．（2024·山东青岛·一模）记集合SKIPIF1<0无穷数列SKIPIF1<0中存在有限项不为零，SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0，设变换SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．定义运算SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．函数新定义压轴（解答题）1．（2024·辽宁大连·一模）已知函数SKIPIF1<0的定义域为区间SKIPIF1<0值域为区间SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的缩域函数.(1)若SKIPIF1<0是区间SKIPIF1<0的缩域函数，求a的取值范围；(2)设SKIPIF1<0为正数，且SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是区间SKIPIF1<0的缩域函数，证明：（i）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减;（ii）SKIPIF1<02．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设SKIPIF1<0，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0称为取整函数．另外也称SKIPIF1<0是x的整数部分，称SKIPIF1<0为x的小数部分．(1)直接写出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)设a，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为质数，SKIPIF1<0为整数，且对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，i，SKIPIF1<0，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为SKIPIF1<0．证明：在SKIPIF1<0的标准分解式中，质因数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的指数SKIPIF1<0．3．（2024·全国·模拟预测）如果有且仅有两条不同的直线与函数SKIPIF1<0的图象均相切，那么称这两个函数SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0函数组”．(1)判断函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否为“SKIPIF1<0函数组”，其中SKIPIF1<0为自然对数的底数，并说明理由；(2)已知函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0函数组”，求实数SKIPIF1<0的取值范围．4．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数SKIPIF1<0在约束条件SKIPIF1<0的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为拉格朗日系数．分别对SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：SKIPIF1<0，解此方程组，得出解SKIPIF1<0，就是二元函数SKIPIF1<0在约束条件SKIPIF1<0的可能极值点．SKIPIF1<0的值代入到SKIPIF1<0中即为极值．补充说明：【例】求函数SKIPIF1<0关于变量SKIPIF1<0的导数．即：将变量SKIPIF1<0当做常数，即：SKIPIF1<0，下标加上SKIPIF1<0，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的SKIPIF1<0表示分别对SKIPIF1<0进行求导．(1)求函数SKIPIF1<0关于变量SKIPIF1<0的导数并求当SKIPIF1<0处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．(3)①若SKIPIF1<0为实数，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．②设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．5．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0.以上公式称为泰勒公式.设SKIPIF1<0，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；(3)设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.6．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数SKIPIF1<0满足在闭区间SKIPIF1<0连续，在开区间SKIPIF1<0内可导，且SKIPIF1<0，那么在区间SKIPIF1<0内至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．(1)运用罗尔定理证明：若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0连续，在区间SKIPIF1<0上可导，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．(2)已知函数SKIPIF1<0，若对于区间SKIPIF1<0内任意两个不相等的实数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．(3)证明：当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．7．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的SKIPIF1<0阶导数都存在时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．注：SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的2阶导数，即为SKIPIF1<0的导数，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的SKIPIF1<0阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算SKIPIF1<0的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，并给出证明；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．8．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量SKIPIF1<0，其模定义为SKIPIF1<0.类似地，对于SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的矩阵SKIPIF1<0，其模可由向量模拓展为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为矩阵中第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0列的数，SKIPIF1<0为求和符号），记作SKIPIF1<0，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵SKIPIF1<0，其矩阵模SKIPIF1<0.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，矩阵SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最小值.(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，矩阵SKIPIF1<0SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.(3)矩阵SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.9．（2024·山东·模拟预测）如图①，将SKIPIF1<0个完全一样质量均匀长为SKIPIF1<0的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里拉斜塔问题”．解决方案如下：如图②，若SKIPIF1<0，则当积木与桌缘垂直且积木重心SKIPIF1<0恰与桌缘齐平时，其伸出桌外部分最长为SKIPIF1<0，如图③，若SKIPIF1<0，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为SKIPIF1<0，将最下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力SKIPIF1<0乘以力臂SKIPIF1<0，等于最下方积木的重力SKIPIF1<0乘以力臂SKIPIF1<0，得出方程SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0．所以当叠放两个积木时，伸出桌外最远为SKIPIF1<0，此时将两个积木看成整体，其重心SKIPIF1<0恰与桌缘齐平．如图④，使前两块积木的中心SKIPIF1<0与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出SKIPIF1<0时积木伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出4个、5个直至SKIPIF1<0个积木堆叠伸出桌外的最远距离．（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然常数）(1)分别求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，积木伸出桌外的最远距离．（用SKIPIF1<0表示）；(2)证明：当SKIPIF1<0时，积木伸出桌外最远超过SKIPIF1<0；(3)证明：当SKIPIF1<0时，积木伸出桌外最远不超过SKIPIF1<0．10．（2024·浙江金华·模拟预测）设全集为SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0是关于x的函数“函数组”，当n取SKIPIF1<0中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0若存在非空集合SKIPIF1<0满足当且仅当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在零点，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“跳跃函数”．(1)设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“跳跃函数”，求集合SKIPIF1<0;(2)设SKIPIF1<0，若不存在集合SKIPIF1<0使SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合SKIPIF1<0的并集；(3)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的“跳跃函数”，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，且对任意正整数n，均有SKIPIF1<0．（i）证明：SKIPIF1<0;（ii）求实数SKIPIF1<0的最大值，使得对于任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0的零点SKIPIF1<0．11．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的导函数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.②设SKIPIF1<0，k是大于1的正整数，若函数SKIPIF1<0满足：对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，且SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为区间SKIPIF1<0上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断SKIPIF1<0是否为区间SKIPIF1<0上的2阶无穷递降函数；(2)计算：SKIPIF1<0；(3)证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.12．（2024·湖北·一模）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线SKIPIF1<0可以表示为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0可以表示为SKIPIF1<0，那么阴影区域的面积SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)如图，连续函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的值；(2)在曲线SKIPIF1<0上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为SKIPIF1<0，求切线方程；(3)正项数列SKIPIF1<0是以公差为d（d为常数，SKIPIF1<0）的等差数列，SKIPIF1<0，两条抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0记它们交点的横坐标的绝对值为SKIPIF1<0，两条抛物线围成的封闭图形的面积为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．13．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列SKIPIF1<0，我们称SKIPIF1<0（规定SKIPIF1<0）为无穷数列SKIPIF1<0的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为SKIPIF1<0，它具有性质SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)记SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0（其中i为虚数单位）；(3)以函数SKIPIF1<0为指数型母函数生成数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0称为伯努利数．证明：SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0．14．（2024·福建·模拟预测）对于函数SKIPIF1<0，若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的不动点.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的不动点的集合为SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别表示集合SKIPIF1<0中的最小元素和最大元素.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的元素个数及SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0恰有一个元素时，SKIPIF1<0的取值集合记为SKIPIF1<0.（i）求SKIPIF1<0；（ii）若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.15．（2024·黑龙江吉林·二模）设定义在SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0满足下列条件：①对于SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②对于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0；(3)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.16．（2024·安徽池州·二模）已知集合SKIPIF1<0是满足下列性质的函数SKIPIF1<0的全体：存在实数SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.(1)试问函数SKIPIF1<0是否属于集合SKIPIF1<0？并说明理由；(2)若函数SKIPIF1<0，求正数SKIPIF1<0的取值集合；(3)若函数SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.17．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数SKIPIF1<0的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①SKIPIF1<0，②和角公式：SKIPIF1<0，③导数：SKIPIF1<0定义双曲正弦函数SKIPIF1<0．(1)直接写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数a的取值范围；(3)求SKIPIF1<0的最小值．18．（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图像连续不断，从几何上看，定积分SKIPIF1<0便是由直线SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0所围成的区域（称为曲边梯形SKIPIF1<0）的面积，根据微积分基本定理可得SKIPIF1<0，因为曲边梯形SKIPIF1<0的面积小于梯形SKIPIF1<0的面积，即SKIPIF1<0，代入数据，进一步可以推导出不等式：SKIPIF1<0．(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：SKIPIF1<0；(2)已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．①证明：对任意两个不相等的正数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0处的切线均不重合；②当SKIPIF1<0时，若不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．19．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0时，有不等式SKIPIF1<0成立；在SKIPIF1<0时，有不等式SKIPIF1<0成立．(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；(2)当SKIPIF1<0时，对伯努利不等式进行证明；(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知SKIPIF1<0是大于SKIPIF1<0的实数（全部同号），证明SKIPIF1<020．（2024·广西·二模）设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过x的最大整数，则SKIPIF1<0称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：①SKIPIF1<0的定义域为R，值域为Z；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为x的整数部分，SKIPIF1<0为x的小数部分；③SKIPIF1<0；④若整数a，b满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.(1)解方程SKIPIF1<0；(2)已知实数r满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)证明：对于任意的正整数n，均有SKIPIF1<0．集合新定义、推理及其他新定义压轴（解答题）1．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0．设有序四元数集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为SKIPIF1<0，按映射f，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，写出Y，并求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求所有SKIPIF1<0的总和；(3)对于给定的SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，求所有SKIPIF1<0的总和（用含m的式子表示）．2．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组SKIPIF1<0表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组SKIPIF1<0表示，一般地在SKIPIF1<0维空间中点A的坐标可用n个有序数组SKIPIF1<0表示，并定义n维空间中两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0间的“距离”SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)设集合SKIPIF1<0．元素个数为2的集合M为SKIPIF1<0的子集，且满足对于任意SKIPIF1<0，都存在唯一的SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则称M为“SKIPIF1<0的优集”．证明：“SKIPIF1<0的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．3．（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数SKIPIF1<0都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的质因数个数，SKIPIF1<0为质数，SKIPIF1<0），例如：SKIPIF1<0，对应SKIPIF1<0．现对任意SKIPIF1<0，定义莫比乌斯函数SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)若正整数SKIPIF1<0互质，证明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的所有真因数（除了1和SKIPIF1<0以外的因数）依次为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．4．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射SKIPIF1<0．定义：对任意SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时的SKIPIF1<0为单射．(1)试在SKIPIF1<0上给出一个非单射的映射；(2)证明：SKIPIF1<0是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合SKIPIF1<0与映射SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；(3)证明：SKIPIF1<0是单射的充分必要条件是：存在映射SKIPIF1<0，使对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．5．（2023高三上·全国·竞赛）给定素数SKIPIF1<0，定义集合SKIPIF1<0．对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0如下：当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0．对于SKIPIF1<0的一个子集SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0．若集合SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且对任意SKIPIF1<0有SKIPIF1<0则称集合SKIPIF1<0为好集合．求最大正整数SKIPIF1<0，使得可以找到SKIPIF1<0个互不相同的好集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满