机械优化设计作业

机械优化设计作业1

要求根据目标函数和约束条件采用适合的MATLAB优化函数求解优化

问题，即线性规划问题、无约束非线性规划、约束非线性规划问题、二次

规划问题。

问答题要求：(1)对该问题进行分析，写出该问题的优化模型(包括

设计变量、目标函数、约束条件)；

(2)将优化模型转化为matlab程序(m文件)；

(3)利用matlab软件求解该优化问题，写出最优解。

题目一：

minf?xl?x2?x3?xl?2x2?3x3?15?s?t?2xl?x2?5x3?20

?xlzx2?0?

分析：目标函数：minf=xl+x2+x3

此为线性规划问题，有一个等式约束，一个不等式约束；

采用命令：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)

1,编写M文件如下：

c=[Hl]；

A=[-l-2-3];

b=[-15];

Aeq=[215];

beq=[20];

lb=[O;O;O;];

ub=[];

[x,fval,exitflag]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

2,运行结果；

Optimizationterminated.

>>x=

0.0000

2.1429

3.5714

>>fval=5.7143

>>exitflag=1

题目二

1

minf?0.5xl?x2?xlx2?2xl?6x2

22

?xl?x2?2?

??xl?2x2?2s?t?

?2xl?x2?3?x,x?0

12?

分析：目标函数：minf=0.5xlA2+x2A2-xlx2-2xl-6x2

此为二次规划问题，并为线性约束；

采用命令[x,fval,exitflag,output,grad7hessian]=

fmincon(@fun,xO,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub/Nic',options,Pl,P2…)1.先编写

M文件fun。m定义目标函数：

functionf=fun(x);

f=0.5*x(l)*x(l)+x(2)*x(2)-x(l)*x(2)-2*x(l)-6*x(2);

2.再在M文件命令窗口里编写主程序；

clear;cic;

A=[l1;-12;21];b=[2;2;3];Aeq=[];beq=[];lb=[0;0];ub=[];

[x,fval]=fmincon(@fun,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

运行结果：

x=0.66671.333fval=

-8.2222

题目三：

minf?e(4x?2x?4xlx2?2x2?l)

xl

21

22

?xlx2?xl?x2?1.5?0s?t?

?xx?10?012?

分析：目标函数：minf=exp(x(l))

*(4*x(l)A2+2*x(2)A2+4*x(l)*x(2)+2*x(2)+l);此为非线性规划问题，并

为非线性约束；采用命令[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]:

fmincon(@fun,xO,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,'Nic',options,Pl,P2…)1,.先编写

M文件funl。m定义目标函数:

functionf=funl(x);

2

f=exp(x(l))*(4*x(l)*x(l)+2*x(2)*x(2)+4*x(l)*x(2)+2*x(2)+l);2,在建立M

文件mycon。m定义非线性约束；

function[c7cep]=mycon(x)

c=[x(l)*x(2)-x(l)-x(2)+1.5;-x(l)*x(2)-10];

cep=[];

3.再在M文件命令窗口里编写主程序；

clear;

cic;

xO=[-l;l];

A=[];

b=口;

Aeq=[];

beq=[];

lb=[]；

ub=[];

运算

[x,fval/extiflag]=fmincon(@funl/xO,A,b,Aeq/beqJb/ub,@mycon)4,

结果：

x=

-9.5474

1.0474

fval=

0.0236

extiflag=

1

题目四：

计算下面函数在区间(0,1)内的最小值。

f(x)?x?cosx?xlogx

ex3

分析：目标函数：minf(x)?x?cosx?xlogx

ex3

此为无约束问题；是解单变量问题，f目标函数为连续函数，对于简

单优化问题采用fminbnd函数，其格式

^J;[xopt/fopt]=fminbnd(fun,xl/x2,options)

1”先编写M文件fun2。m定义目标函数：

functionf=fun2(x);

f=((xA3+cos(x)+x*log(x))/exp(x))

2.再在M文件命令窗口里编写主程序；

3

clear;

cic;

[x,fval,exitflag]=fminbnd(@fun2,0,l)

3,运算结果：

x=

0.5223

fval=

0.3974

题目五：

某厂生产甲、乙两种产品，已知制成一吨产品甲需用A资源3吨，B

资源4m3；制成一吨产品乙需用A资源2吨，B资源6m3,C资源7个单

位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限

制量分别为90吨、200m3和210个单位。试应生产这两种产品各多少吨

才能使创造的总经济价值最高？

1.确定变量：

设生产产品甲的数量为XL生产产品乙的数量为X2,所以决策变量：

X=[xl,x2]T

2.建立目标函数：

根据两种产品的经济价值情况，按照实现总的利润最大化，建立关于

决策变量的函数：MAXZ=7xl+5x2

3.确定约束条件：

根据三种资源数量限制，建立三个线性不等式约束条件

3xl+2x2<=90

4xl+6x2<=200

7x2<=210

xl>=O,x2>=0

该模型中要求目标函数最大化而Matlab是求最小值的，所以应先转化,

即得

目标函数为：

MINZ=-7xl-5x2就这样建立为线性规划的数学模型

4.在m文件的命令窗口输入如下的命令：

clear;

cic;

c=[-7-5];

A=[32;46;07];

b=[90;200;210];

Aeq=[];

beq=[];

lb=[O;O;];

4

ub=[];

[x,fval/exitflag]=linprog(c/A,b,Aeq/beqJb/ub);

5.运行结果：

Optimizationterminated.

x=

14.0000

24.0000

fval=

-218.0000

题目六：

已知：制造一体积为100m3,长度不小于5m,不带上盖的箱盒，试

确定箱盒的长X1,宽x2,高x3,使箱盒用料最省。

1确定变量：

设该箱盒的长，宽，高分别为XI,X2,X3,所以决策变量：

X=[xl,X2,X3]T

2建立目标函数：

根据题目要求不带上盖的箱盒而使箱盒用料最省，建立关于决策变量

的函数：

MinZ=x(l)A2+2x(2)x(3)+2x(l)x(3)

3.确定约束条件：

根据要求建立约束条件

xlX2X3=100；

xl>=5；

x2>=0,x3>=0

此数学模型中有非线性的等式约束.

先建立m文件编写mycon2。m建立非线性等式约束

function[c,cep]=mycon2(x)

c=[]；

cep=[100-x(l)*x(2)*x(3)];

再建立m文件编写fun3。m

functionf=fun3(x);

f=x(l)*x(2)+2*x(2)*x(3)+2*x(l)*x(3);

最后在M文件命令窗口里编写主程序

x0=[5;l;l]

A=[-l00];

b=[-5];

Aeq=[];

beq=[];

5

lb=[0;0;0];

ub=[];

运行结

[x,fval/extiflag]=fmincon(@fun3,xO,A,b,Aeq,beq/lb,ub,@mycon2)

果：

x=

5.8480

5.8480

2.9240

fval=

102.5986

extiflag=

5

题目七：

机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便

于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的

等截面轴。在设计时有两个重要因素需要考虑，即主轴的自重和伸出端C

点的挠度。图1所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标，

对该主轴进行优化设计。已知条件：主轴材料为45#,内径d=30mm,外

力F=15000N,许用挠度yO=O.O5mm,材料的弹性模量E=210GPa,许用应

力[o]=180MPa,材料的密度为？?7800kg/m3。300<l<650,60<D<

110,90<a<150ol>D、a的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自

重最轻为目标的优化设计数学模型。其中，C点的挠度：y?Fa2?l?a?

3EI；I??

64?D4?d4?0

1确定变量：

设该空心阶梯轴的长I,外径D,伸出的轴长a分别为XI,X2,X3,

所以决策变量：X=[l,D,a]T=[xl,X2,X3]T

2建立目标函数：

根据题目要求机床主轴以主轴自重最轻，建立关于决策变量的函数:

Minf=0.25??(l+a)(DA2-dA2)

6

带入数值??7800kg/m3,d=30mm

计算为f=6126.10567(x(l)+x(3))(x(2)A2-0.0009)

3.确定约束条件:

此应满足两个条件，一是端点c处的扰度最大值应小于0.05mm,二

是此轴的强度应满足要求。

对于最大扰度：Ymax?

?

64Fa2?l?a?3EI<=0.05mmI?

进行化简得(其中?D

M4?d4?,E=210GPa,F=15000N)(x(3)A3*(x(l)+x(3))/(x(2)A4

-0.00000081))-103.083<=0;对于强度条件：？max?maxWZ?Mmax3?D????

32

其中Mmax=F?l?a?

进行化简得(x⑶/(x(2)〃3-0.000027))-1178.0972<=0;

这便建立了一个非线性规划的数学模型。

先建