湖南省衡阳市2025届高三数学下学期3月联考一模试题一

PAGEPAGE15湖南省衡阳市2025届高三数学下学期3月联考（一模）试题（一）留意事项：1.本试题卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.请将答案正确填写在答题卡上。4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满意，则A.B.C.1D.52.已知、为的子集，若，，则满意题意的的个数为A.3B.4C.7D.83.衡阳创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣扬.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为A.B.C.D.4.二项式的绽开式中常数项为，则含项的系数为A.B.C.6D.155.设，，则，，的大小关系为A.B.C.D.6.非零向量，，满意，，的夹角为，，则在上的投影为A.2B.C.3D.47.设，是双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，若上存在点，使得，且，则此双曲线的离心率为A.B.C.2D.8.已知函数（），将的图像向右平移个单位得到函数的图像，点，，是与图像的连续相邻三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围为A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美妙！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：月份2024年6月2024年7月2024年8月2024年9月2024年10月月份编号12345销量/部5295185227若与线性相关，由上表数据求得线性回来方程为，则下列说法正确的是A.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台B.C.与正相关D.预料12月份该手机商城的5G手机销量约为318部10.设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“祥瑞数列”.则下列数列为“祥瑞数列”的有A.B.C.D.11.已知抛物线：（），过其准线上的点作的两条切线，切点分别为、，下列说法正确的是A.B.C.直线的斜率为D.线段中点的横坐标为112.已知函数，以下结论正确的是A.是偶函数B.最小值为2C.在区间上单调递减D.的零点个数为5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.使得“”成立的一个充分条件是.14.定义在上的函数满意，的导函数，则.15.设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于，），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为.16.阿波罗尼期（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为4，动点满意，则动点的轨迹所围成的图形的面积为；最大值是.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）中，角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列.（1）若，求；（2）求的取值范围.18.（本小题满分12分）已知数列满意，.（1）证明：数列为等差数列.（2）求数列的前项和.19.（本小题满分12分）槟榔芋又名香芋，衡阳市境内主要产于祁东县.槟榔芋富含淀粉、蛋白质、脂肪和多种维生素，可加工成芋兰片，芋丝等副食品，深受广阔消费者宠爱.衡阳市某超市购进一批祁东槟榔芋，并随机抽取了50个统计其质量，得到的结果如下表所示：质量/克数量/个25122263（1）若购进这批槟榔芋100千克，同一组数据用该区间扣点值作代表，试估计这批槟榔芋的数量（所得结果四舍五入保留整数）；（2）以频率估计概率，若在购进的这批槟榔芋中，随机选择3个，记3个槟榔芋中质量在间的槟榔芋数量为随机变量，求的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图，直四棱柱，底面是边长为2的菱形，，，点在平面上，且平面.（1）求的长；（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知圆：与圆：的公共点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设点为圆：上随意点，且圆在点处的切线与交于，两点.试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数，，其中，.（1）当时，求函数的最小值；（2）是否存在实数，使得只有唯一的，当时，恒成立，若存在，试求出，的值；若不存在，请说明理由.2025届中学毕业班联考（一）参考答案1．【答案】C【简析】【法一】两边取模可得：.【法二】求得，.2．【答案】D【简析】如图可知，，故的子集有个.3．【答案】D【简析】3袋垃圾中恰有1袋投放正确的状况有种情形，由古典概型计算公式得三袋恰投对一袋垃圾的概率为，选D.4．【答案】A【简析】依题：，含项的系数.5．【答案】C【简析】易知：，，，明显成立.6．【答案】B【简析】【法一】，如图，，直线交于，，则在上的投影为.【法二】.7．【答案】A【简析】设，，在中，由，得，故，，，故.∴，所以离心率.8．【答案】B【简析】由条件可得，，作出两个函数图像，如图：，，为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性，则是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，得，则，所以，要使为钝角三角形，只须即可，由，所以，选B.9．【答案】BCD【简析】由表中数据可知，代入回来方程知，于是，B正确；将代入回来方程得，D正确，故本题答案是BCD.10．【答案】BC【简析】若是等差数列，据等差数列求和公式知需，，则为“祥瑞数列”，检验AC，可知C正确．是摇摆数列，由并项法知：，，，故B正确，依据等比数列求和公式知D错误.11．【答案】BCD【简析】易知准线方程为，∴，：.设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，故：，故.由，得，即中点横坐标为1.12．【答案】ABD【简析】∵，，∴是偶函数，A正确；，由函数的奇偶性与周期性,只须探讨在上图像改变状况.，当，，则在上单调递增，在上单调递减，此时；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，此时，故当时，，B正确.因在上单调递减，又是偶函数，故在上单调递增，故C错误.对于D，转化为根的个数问题.因在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当时，，，无实根.时，，无实根，，明显为方程之根.，，，单独就这段图像，，在上改变趋势为先快扣慢，故在内有1个零点，由图像知在内有3个零点，又，结合图像，知D正确.13．【答案】（答案不唯一，请阅卷老师依据题意自行把握）.【简析】，依题有：，.14．【答案】0【简析】，两边同时求导可得：，.15.【答案】或【简析】∵，面，∴三棱锥的外接球球心在上，且，∴，，∴或∴或.16.【答案】【简析】以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图，则，，设，，∴，得：，点的轨迹为圆（如图），其面积为.【法一】，如图当位于点时，最大，最大值为，故最大值是.【法二】由极化恒等式知：，以下同法一.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（1），，成等差数列，∴∴当时，，即∴而，∴，∴，∴（2）由余弦定理及，，当时取等号.结合余弦函数的单调性可知：.18．【解析】（1）依题，在两边同时除以，得：，故数列为等差数列.（2）由上易得：，可得【法一裂项相消】由可得：则数列的前项和【法二乘比错位】则数列的前项和两式相减得：19.【解析】（1）设40个槟榔芋中，每个槟榔芋的平均质量为，则（克）所以这批槟榔芋的数量约为（个）（2）全部可能取值为0，1，2，3.由表中数据可知，随意选择一个槟榔芋，质量在的概率为所以故的分布列为：01230.7290.2430.0270.00120．【解析】【法一】(等积法)（1）即求点到平面之距.，，，如图，，∴∴.【法二】如图，连，取中点，在正方形中，易证：，有①，又面②，由①②可得：面，在中，.【法三】如图建系，各点坐标如图，面的法向量为，，取，，，∴可为.（2）如图建系，各点坐标如图，面的法向量为，，，取，，，∴可为，同理可求面的法向量为，.21.【解析】（1）设公共点为，则，，即公共点的轨迹为椭圆.且，∴，又，∴，故曲线：.（2）当直线斜率不存在时，：，代入得，易知：；当直线斜率存在，设：，与圆相切，将方程代入，得，∴，，将代入，得，即综上，恒有，.【法二】当直线斜率不存在时，：，代入得，；当直线斜率存在，设：，∵与圆相切，∴，即.将方程代入，得，∴，，，同理可得，故将，，及代入，可得.综上.（注：本题也可联想射影定理思索）22.【解析】（1）当时，，由则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，（2）【法一】记（，），则①当，在上单调递增，，由，可得②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由，可得，令1.若时，对于①，，此时不唯一（舍去）2.若时，对于①，，即对于②，，由，所以当时，，当时，为减函数，，此时不唯一（舍去）3.若时，对于①，无解，对于②，转化为在内仅有唯一解的问题.，在上单调递增，在上单调递减，，；，，要使唯一，只须，即