2024-2025学年新教材高中数学课时检测42总体离散程度的估计含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE7总体离散程度的估计[A级基础巩固]1．(多选)甲、乙两班实行电脑汉字录入竞赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参与人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135下列结论中，正确的是()A．甲、乙两班学生成果的平均水平相同B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)C．甲班的成果波动状况比乙班的成果波动大D．甲班成果的众数小于乙班成果的众数解析：选ABC甲、乙两班成果的平均数都是135，故两班成果的平均水平相同，∴A正确；seq\o\al(2,甲)＝191>110＝seq\o\al(2,乙)，∴甲班成果不如乙班稳定，即甲班成果波动较大，∴C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成果的中位数为149，乙班成果的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，∴B正确；由题表看不出两班学生成果的众数，D错误．2．若某组数据的方差s2＝eq\f(1,6)[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2＋…＋(x6－3)2]，则x1＋x2＋x3＋…＋x6＝()A．3 B．6C．18 D．36解析：选C由方差公式可知，6个数据的平均数是3，∴x1＋x2＋x3＋…＋x6＝6×3＝18.3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2解析：选D由题可知样本的平均数为1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D.4．已知样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是()解析：选D选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大．5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成果统计如下表：班级人数平均分数方差甲20eq\x\to(x)甲2乙30eq\x\to(x)乙3其中eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，则两个班数学成果的方差为()A．3 B．2C．2.6 D．2.5解析：选C由题意可知两个班的数学成果平均数为eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，则两个班数学成果的方差为s2＝eq\f(20,20＋30)[2＋(eq\x\to(x)甲－eq\x\to(x))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\x\to(x)乙－eq\x\to(x))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.6．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．解析：这组数据的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，故s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.17．已知一组数据按从小到大的依次排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位数为5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，∴x＝6.∴这组数据的平均数是eq\f(－1＋0＋4＋6＋7＋14,6)＝5，这组数据的方差是eq\f(1,6)×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝eq\f(74,3).答案：5eq\f(74,3)8．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2024年8月份调查得知该省二、三、四线全部城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(2.4－1.2)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)[10＋(1.8－1.2)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)[8＋(0.7－1.2)2]，解得s2＝117.98，即二线城市的房价的方差为117.98.答案：117.989．对甲、乙两名同学的学习成果进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：甲6080709070乙8060708075(1)甲、乙的平均成果谁最好？(2)谁的各门功课发展较平衡？解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，故甲的平均成果较好．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，由seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，知乙的各门功课发展较平衡．10．某教化集团为了办好让人民满足的教化，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满足度的民主测评(满足度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满足度越高，分数越低说明人民满足度越低)．去年测评的数据如下：甲校：96,112,97,108,100,103,86,98；乙校：108,101,94,105,96,93,97,106.(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满足度测评数据的平均数、中位数；(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满足度测评数据的方差；(3)依据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满足度比较好？解：(1)甲学校人民满足度测评数据的平均数为eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位数为eq\f(100＋98,2)＝99，乙学校人民满足度测评数据的平均数为eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位数为eq\f(101＋97,2)＝99.(2)甲学校人民满足度测评数据的方差：seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(96－100)2＋(112－100)2＋…＋(98－100)2]＝55.25，乙学校人民满足度测评数据的方差：seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(108－100)2＋(101－100)2＋…＋(106－100)2]＝29.5.(3)由(1)(2)可知甲、乙两学校人民满足度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满足度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满足度比较好．[B级综合运用]11．(多选)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项实力(每项实力的指标值满分均为5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维实力雷达图，图中点A表示甲的创建实力指标值为4，点B表示乙的空间实力指标值为3，则下列叙述正确的是()A．乙的记忆实力优于甲B．乙的视察实力优于创建实力C．甲的六大实力整体水平优于乙D．甲的六大实力比乙较均衡解析：选BCD由六维实力雷达图，知乙的记忆实力指标值是4，甲的记忆实力指标值是5，故甲的记忆实力优于乙的记忆实力，故A错误；乙的创建实力指标值是3，视察实力指标值是4，故乙的视察实力优于创建实力，故B正确；甲的六大实力之和为25，乙的六大实力之和为24，所以甲的六大实力整体水平优于乙，故C正确；甲的六大实力指标值的方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(17,36)，乙的六大实力指标值的方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(2,3)，所以seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，即甲的六大实力比乙较均衡，D正确．12．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的状况)不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．依据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断肯定是尖子生的是()A．甲同学：平均数为2，众数为1B．乙同学：平均数为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2D．丁同学：众数为2，方差大于1解析：选B甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故解除A；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝eq\f(1,3)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]＜1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＜3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不符合题意；丁同学：众数为2，方差大于1，有可能是2，2，6，不符合题意．故选B.13．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发觉有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是________，________．解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变．设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.答案：705014．某学校统计老师职称及年龄，中级职称老师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的老师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称老师年龄的平均数和方差．解：由已知条件可知高级职称老师的平均年龄为eq\x\to(x)高＝eq\f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45(岁)，年龄的方差为seq\o\al(2,高)＝eq\f(1,10)[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称老师的平均年龄为eq\x\to(x)＝eq\f(50,50＋10)×38＋eq\f(10,50＋10)×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称老师的年龄的方差是s2＝eq\f(50,50＋10)[2＋(38－39.2)2]＋eq\f(10,50＋10)[73＋(45－39.2)2]＝20.64.[C级拓展探究]15．从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]频数62638228(1)依据上表补全所示的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)依据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)补全后的频率分布直方图如图所示