图形与变换的复习方法与策略

图形与变换的复习方法与策略宝坻三中王和近几年天津中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的图形与变换试题涌现出来，其中一类以平移、轴对称、旋转、相似、图形与坐标、视图与投影等图形变换为解题思路的题目更是成为压轴大戏的主角。不过这些传说中的主角，并没有大家想象的那么神秘，只是我们需要找出这些题目的切入点。搞好中考复习，把图形与变换的知识点全面、细致、透彻让学生掌握并消化、吸收，中考时解决这类问题也就不成问题了。在图形与变换中较易试题和大部分中等试题都考察学生的基础知识和基本技能，所以在复习中应重视基本概念、基本图形、基本思想方法的教学和基本运算及运用等能力的培养。抓好双基就要回归课本，多以课本的例题，习题为素材深入浅出，举一反三地加以推敲，延伸和适当变形，培养学生的创造能力，以期达到新课标的要求。同时我们还必须特别关爱对数学学习有困难的学生，通过学习兴趣的培养和学习方法的指导，使学生达到学习的基本要求。让不同的学生得到不同的发展。在第一轮复习中应配备适当的练习，习题难度要加以控制。主要掌握图形与变换的定理定义和知识点，为以后打好基础提高能力做准备。在第二轮复习中，针对热点，抓住弱点，开展专项训练。近年中考涌现了大批形式活跃有益，启迪智慧的好题目，我们在复习中应加以借鉴。在第三轮中全面练习，备课组老师集体创新新题和改编真题来提升学生对知识的深入理解。对于图形与变换复习，我们主要从以下几个方面去做：一、注重双基抓好知识点；二、针对热点专项训练；三、模拟训练提升解决问题的能力。一、注重双基抓好知识点教师就应为学生梳理知识点，图形与变换包括平移、轴对称、旋转、相似、图形与坐标、今年总复习又把视图与投影包括进来，使图形与变换知识更加丰富。初三复习时间紧、任务重，在较短的时间内，如何提高复习的效率和质量，是每位初三学生所关心的首要问题。1．重视课本，系统复习。初中数学基础包括基础知识和基本技能两方面。现在中考命题仍然以基础知识题为主，有些基础题是课本上的原题或原题改编的题，后面的大题虽是“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题式习题，如中考25题2008年扇形的旋转、2009年三角形翻折、2010年平移、2011年旋转和轴对称是教材中例题或“课题学习”中的题目的引申、变形或组合，复习时应以课本为主。我们的做法是：引领学生复习课本中的探究和典型例题，再结合与此知识点对应的中考真题及模拟题进行对比讲解，使学生巩固基础的同时，也得到了知识的拓广与延伸。如七年级下册数学课本p31页拓广探索第七题（造桥选址问题），有A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析：本题是一个对平移知识的综合运用问题。我们学习过“两点之间线段最短”，平移形成平行四边形“平行且相等”，本题也利用这些知识，不过本题还有一个条件，即修建的桥必须是与河岸垂直的。此时我们就应该想到，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”了。造桥选址问题是书上的一道题目，通过此题，引导同学们“你们学了哪些知识呢？想知道造桥选址问题中蕴涵的数学道理吗?”探究与反思作法：（1）测量出桥的宽度；（2）将点A沿与桥平行的方向，向下平移桥的宽度个单位到A1；（3）连接A1、B交桥的一侧于N；（4）过N作河岸的垂线，交河的另一侧于M；（5）连接AM、MN、NB，则此时从A到B的路径AMNB最短。说明：在本题中，桥必须与河岸垂直是一个需要突破的问题，我们将桥先平移到AA1，然后再作出A1、B之间的最短路径，这样问题就得以转化。本例充分应用了平移知识，解决了生活中的常见问题，是一个利用数学知识解决生活中的问题的很成功的事例。在复习中让学生分组画出设计图形，找出相关定理。又如八年级上册数学课本P32，探究一个小木条L垂直平分另一个小木棒AB，得到线段垂直平分线的性质定理；和P34例题做出线段AB的垂直平分线，书上给出了结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，做出对应所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。书上的例题就是让学生掌握轴对称图形的特点，绘画出已知图形的轴对称图形，复习时应加强练习。与此相联系的中考题——天津2009年25题就考查了这部分内容。LLMNABABL天津（2009）已知一个直角三角形纸片，其中。如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点。（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．xyBOxyBOAxyBOADC图①xyBOB′DC图②xyBOB′DC图③xyBOAxyBOA天津2010年中考25题“周长最短”母题就是上述例题的综合题，讲完上题后马上投影打出这道中考题。【问题】在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；yyyBOyyyBODCAxEGFyBODCAxE第第（25）题BODCAxEBODCAx【命题意图】它着重考查平移、轴对称性质、图形与坐标、图形中线段和极值问题。本题涉及平移性质、轴对称的概念、三角形三边关系、矩形的性质、平行四边形的性质、直角三角形全等与相似等初中数学中的核心内容，渗透几何变换与数形结合的数学思想，将推理论证与计算紧密结合起来，凸现了几何基本图形在学习中的重要性．让学生在原有的知识上解决新的问题。可见，现在中考命题仍然以课本基础知识题为主，它们来源于课本，有些基础题是课本上的原题或改造。如九年级上册57页的探究旋转的性质和下面的例题的作图是复习的重点。还有P59页复习巩固第一题的作图都要带领学生分析研究透彻。（2011年天津25题的母题就涵盖了这两页的知识内容）因此，我们应精心准备这方面的练习，帮助学生了解数学问题延伸与拓宽的来龙去脉，提升学生对知识的把握与探究能力。2．夯实基础，学会思考图形与变换包括平移、轴对称、旋转、相似、图形与坐标。如学生已把定理定义掌握熟练，这样才能在应用基础知识时做到熟练、正确、迅速。复习教学中，我是这样做的：（1）训练学生熟记定理定义，理解定理的推导过程。在复习中加强记忆非常重要，老师在讲题时要适时的提问定理定义，要求学生做到准确无误。（2）训练学生认真阅读题干，读全，读懂，读透，让学生在复习训练中有意识的积累。例题：如图所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为．（3）训练学生认真阅读图形，把图形语言翻译成几何语言。平时老师应加强图中所含定理的训练。训练学生根据题干和图形追踪定理定义的能力，从而进一步得到解题思路。如图3用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______度。（4）训练学生快速正确地画出理论草图。如学生听课不留心，老师应很快把图形画完，讲清楚是根据定理和定义画的。尤其是平移、旋转、轴对称的图形。如2009年天津市中考数学试卷25题，三问都要自行画草图，所以平时学生就要打好用定义画图的基础。（5）训练学生在考试中有科学的心理活动。考试时要清楚不同档次的题要不同对待，例如简单但计算复杂的题就要暗示自己放慢节奏一定要做对。从这五方面入手，让学生学会思考问题，提高答题技能并自觉形成数学思想方法。3．重视基础知识的理解和方法的学习基础知识就是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等。掌握基础知识之间的联系，要做到理清知识结构，形成整体知识，并能综合运用。例如：中考涉及图形与变换包括平移、轴对称、旋转、相似、图形与坐标与其它章节知识的链接等等。（图5）（1）旋转与全等链接（图5）如图5，直角梯形中，，，，，，将腰以点为中心逆时针旋转至，连结，则的面积是．考点：旋转的性质；等腰三角形及轴对称的性质；全等判定；梯形的性质；勾股定理等。分析：主要利用旋转和三角形全等求解，本题要求学生有较高的数学理论知识。OyxB（2）OyxB如图，把抛物线与直线围成的图形绕原点顺时针旋转后，再沿轴向右平移1个单位得到图形则下列结论错误的是（）A．点的坐标是B．点的坐标是C．四边形是矩形D．若连接则梯形的面积是3考点：旋转的性质；图形与坐标；二次函数的对称性；等腰三角形及轴对称的性质。分析：本题要求学生能抽象出等腰三角形，进一步利用等腰三角形旋转和平移解题。此题对提炼图形语言能力提出了较高要求。（3）轴对称与正方形链接如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D(2，0)在OA上，P是OB上一动点，则PA＋PD的最小值为（

）A．2

B．

C．4

D．6考点：正方形的性质；轴对称的性质；两点之间线段最短；勾股定理等。分析：根据正方形的对称性，连接CP，当点P移动到CD与OB的交点处时PA+PD最小，即求CD的长。

二、针对热点专项训练中考热点问题也离不开图形与变换要考察的知识点。给学生举出近几年其它城市的相关中考题，在老师的带领下让学生研究此类问题考察了哪些知识。例1．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是OOOOOl2．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．BBMBCNCNMCNM图1图2BBMBCNCNMCNM图1图2图3AAADDD2012年将继续考查图形的轴对称、图形的平移，旋转并按要求画出轴对称、平移、旋转后的图形是考查的重点。图形的轴对称，图形的平移，旋转性质，联系四边形性质和相似、三角函数、勾股定理的综合应用是考试的难点。2011年天津市中考数学试卷第2题考察中心对称3分，第5题考察轴对称（翻折）3分，第7题考察三视图3分，第18题考察平移作图3分，第25题为综合题考察旋转、轴对称、相似10分。直接考察的就22分。其它利用相似的还不算。热点问题的解决就是深挖定理的过程，复习中应适时地加强训练。解决中考相似热点问题需要在思维上切入到位，准确。切入点一：构造定理所需的图形或基本图形在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于天津中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。如图，平等四边行ABCD中，E是AD上一点，连接CE交BD与F。BCEADF（1）当E是BCEADF（2）当DE=AD时，=；当DE=AD时，=；（3）当DE=AD时，求出的值。此题就是构造平行，形成A或X型相似，利用转化思想进一步解决上述问题。切入点二：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．此题紧扣不变量∠ADE＝45°，问题迎刃而解。切入点三：在题目中寻找多解的信息，图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。如图所示，在平面直角坐标系xOy内已知点A和点B的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△ABO相似?在题目中满足条件的情形不止一种，寻找多解的信息，图形在运动变化，相似的对应就不只一种，如果学生思考到这里，多解自然就被发现。总之，问题的切入点很多，考试时也不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做。有些同学往往想想觉得不行就放弃了，其实绝大多数的题目只要想到上述切入点，认真做下去，问题基本都可以得到解决。我们教师应在练习时多渗透给学生，让他们在练习中逐步消化吸收，增长其本领。三、模拟训练提升解决问题的能力模拟训练综合运用知识，提高自身各种能力1．初中数学基本能力有运算能力、思维能力、空间想像能力以及体现数学与生产、生活相关学科相联系的能力等等。提高综合运用数学知识解题的能力，要求同学们必须做到能把各个章节中的知识联系起来，并能综合运用，做到触类旁通，查漏补缺，做好知识归纳、解题方法的归纳。纵观中考中图形与变换能力的考查，大致可分成两个阶段：一是考查读图、作图能力、空间想像能力、逻辑思维能力及解决知识链接能力；二是强调阅读能力、创新探索能力和数学应用能力。平时做题时应做到：（1）深刻理解知识本质，平时加强自己审题能力的锻炼，才能做到变更命题的表达形式后不慌不忙，得心应手。（2）寻求不同的解题途径与变通思维方式，注重自己思维的广阔性。对于同一题目，寻找