提高初中数学作业有效性的策略研究

提高初中数学作业有效性的策略研究内容提要数学作业是课堂教学的延续和补充，是学生独立完成学习任务的活动形式，是数学教学的重要环节．初中数学作业有效性问题，关系着教学目标的准确实现，影响着课堂信息、考试信息以及教材资料的科学利用．本课题针对课程标准下的数学作业的有效性，主要探索提高数学作业有效性的实施途径．通过研究，探索出影响作业有效的因素，初中数学作业的目标与类型，数学目标设置的原则，促进数学作业有效的方法与策略，从而确保作业的有效性．切实减轻教师的工作负担，提高学生学习数学的兴趣，提升数学素质，把学习主动权交给学生自己，提高学生数学素养，提高教育教学质量．关键词：初中数学作业有效性策略一、课题提出的背景数学是有趣的；数学是有用的；数学的方法是美妙的；数学的思想是浅显的．二期课改要求在数学教学中使学生理解数学的社会价值；领略数学文化的内涵；体验数学的思维方式；形成良好的思维品质．然而，面对基础比较薄弱的学生，教师往往将大量时间放在了基础的落实上，如何更好地安排数学教学，提高基础教学的效率，从而能够体现二期课改理念，加强学生能力的培养，成为我现在面临的问题．在我校多年的教育教学实践中，我发现我校的学生具有如下特点：1．我校整体生源较差，学生基础比较薄弱，学生的学习自主性不够；2．接触社会比较多的城镇学生间差异增大，群体分化，需求多样；3．学生对所学的数学知识遗忘率较高，数学知识巩固率不尽如人意；4．学生完成作业的态度不够端正，正常的作业量成为负担，学习效果较差；学优生的整体学习效果也不理想．怎样进行数学知识的巩固练习而又不流于题海战术？能否整合规律重新安排课堂教学中的练习与作业？在何时安排总结与检测更合适？什么样的作业学生比较喜欢等等一系列问题出现在我的脑海里，希望通过研究得到改善，真正提高学习效能．二、课题研究的意义本课题希望通过研究减轻学生过重的作业负担、找到增强作业实效的途径．提高数学教学质量，增强学生把握知识能力、培养学生良好思维能力．因此我们认为:本课题的研究，是全面贯彻新课标，实施课程标准的需要；本课题的研究，是提高学生数学素养、把握知识能力的需要；本课题的研究，是提高教师数学教学质量的需要；本课题的研究，是教师减负，学生减负的需要．三、课题研究的理论依据1、关于记忆的相关概念界定：“记忆是智慧之母”．培根说：“一切知识，只不过是记忆”．记忆的重要性如何表述也不为过，记忆在很大程度上决定了学习的成败．人类对记忆机理的研究和探索由来已久．记忆记：知识的存储过程，其实就是编码和加工，化陌生为熟悉，化抽象为形象；忆：知识的再现和运用，其实就是信息的提取．所谓记忆，就是人们对经验的识记、保持和应用过程，是对信息的选择、编码、储存和提取过程．艾宾浩斯遗忘曲线人的遗忘是由快而慢发生的，即，刚开始很容易忘，以后逐渐印象深刻，最后达到永久记忆效果，实现永久记忆的最佳复习频率是：5分钟后20分钟后2小时后8小时后两天后4天后1周后30天后6个月后再复习一次，这时永久记忆形成．现代记忆心理学研究的三条最关键的基本原理：①最佳时间原理：每次复习要在刚刚临近忘记的那个时刻进行，这样总体效率最高．换句话说，每一次复习的时刻，应当不早不晚，太早复习过一会儿还是会忘记，太晚复习则已经忘掉．②极小信息原理：由于大脑工作的固有方式，简单性是必须的，应当将复杂的记忆项分解成简单的子项，逐条记忆．③极大效益原理：就是要求在单位时间内的记忆收益最大．在记忆活动的微观过程中（对每一个项目的每一次复习）应当“秒秒必争”，不要有任何可能浪费时间的思维活动（哪怕几秒钟），有些耗时的思维活动，不仅谈不上收益，而且有可能产生负面作用．“最佳时间原理”是记忆的一条时间原理，“极小信息原理”是记忆的一条空间原理．而“极大效益原理”则是同时涉及时-空的原理．2、有效教学有效的教学指教师遵循教学活动的客观规律，以尽可能少的时间、精力和物力投入，实现教学目标和学生的个性培养与全面发展，取得尽可能多的教学效果．具体说，教学的有效性包括如下三重意蕴：（1）有效果——指对教学活动结果与预期教学目标的吻合程度；（2）有效率——即以少量的投入换得较多的回报，教学效率=或教学效率=；（3）有效益——指教学活动的收益、教学活动价值的实现．具体是指教学目标与特定的社会和个人的教育需求是否吻合及吻合程度．有效教学有五个特点:（1）引起学习者学习的动机；（2）明晰学习目标和学习内容；（3）基于学生的接受方式授课；（4）引导学习者投入学习过程；（5）指向学习者的自主学习．3、最近发展区“最近发展区”概念是由前苏联心理学家维果斯基在20世纪30年代初，研究如何正确解决儿童发展与教学关系的问题时提出的．维果斯基认为，为了确定儿童发展进程与教学可能性之间的正确关系，儿童在教学中的发展至少分为两种水平：一种是最初表现出来的外部活动的心理发展水平，称为现有发展水平，是指“由一定的已经完成的发展系统的结果而形成的儿童心理机能的发展水平”，在教学中表现为学生能够独立地、自如地完成教师提出的智力任务；另一种则是第二次表现出来的内心活动的心理发展水平，即儿童在成年人指导和帮助下演算的习题的水平，称为“潜在发展水平”，在教学中表现为学生在教师的启发、帮助下所达到的理解材料、解决问题的水平．“儿童在成年人的指导和帮助下演算的习题的水平与他在独立活动中便能演算的习题的水平，二者之间存在着差距，这个差距就是儿童的最近发展区.”“最近发展区”就是介于学生现有发展水平和潜在发展水平之间的正处于形成状态的心理机能，是学生经过努力后所能达到的较高一层的智能发展区．4、数学习题理论问题是数学的心脏，数学的真正的组成部分是问题和解．掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题．使学生熟悉和掌握教学计划、教学大纲的要求，发展学生的智能的问题系统称为习题．以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学知识或数学思想方法才能解决的习题称为数学习题．如数学课中教师提问的题、例题、练习题和测验题，数学课堂外教师要求学生演练、研究的题和在实际生活中调查、探索的题，都是数学习题．解数学习题就是要找到一种一般的数学原理用于习题的条件或条件的推论（中间结果），通过一定的程序得到习题所要求的答案．刘远图队解数学习题的程序进行了系统分析，他提出了解数学题的基本模式，如图所示．问题情境问题情境信息处理（分析、综合、…）数学信息库逻辑整理检验和评价问题情境：条件与结论所提供的信息．数学信息库：主体已有的数学概念、法则、定理、由基本题型形成的“知识块”、解题基本方法等．信息处理：是解题过程的中心环节，即解题者根据问题情境所提供的信息，不断地从信息库中提取有用的信息，经过分析、综合、抽象、概括和对比等思维操作，找出问题的解题思路．逻辑整理：使解题思路具体化，也要不断地提取有关信息，经过归纳和演绎，运用数学语言表达解题过程．检验和评价：检验解题过程的正确性，评价解法的优劣，进而把问题特殊化（或普遍化），并选出需要记忆的基本内容（包括思路和方法），存入数学信息库．5、二期课改课程标准四．研究目标：理论目标：进行记忆原理、有效教学与数学作业布置的联系分析，找到提高数学作业有效性的策略；实践目标：依据课程标准和教材，结合我校学生的实际情况，以新课程理念为指导，根据学生学习规律和数学作业特征，设计符合素质教育、适合学生发展的新型作业形式，努力提高教育教学质量．并在教学实践中总结经验，构建具体实施的操作框架，提高数学学习效果．培养学生良好的学习习惯，提高学生的整体素质．五、课题研究的内容（1）教师布置作业有效性与学生完成作业有效性的现状调查．（2）影响学生作业有效因素的调查分析．（3）促进数学教学有效的方法的设想与实验．（4）数学作业的目标、类型与设置原则．（5）促进数学作业有效的方法与策略．六、研究的主要方法：（1）调查法；①调查研究前学生的数学学习水平以及相关信息资料的收集；②调查整理研究前教师采取的作业布置方法、复习总结方法，提炼研究实施过程中教师改变的方法与学生的学习水平与效果；③研究前与研究后的相关变化资料调查整理．（2）比较法：对研究前与研究后的相关数据资料进行对比，分析．（3）实验法：根据记忆原理与习题理论对数学作业的布置提出设想，在实践中实验，总结经验教训，并再次提出设想——实验——总结，不断完善，从而找到提高数学作业有效性的策略与方法．七、研究的实施步骤：1．准备阶段（2008年5月——2008年9月）课题设计与理论学习（1）收集整理并学习记忆原理、习题理论、最近发展区的相关资料，研读二期可改课程标准；（2）调查数学作业布置和复习总结现状；2．实施阶段（2008年10月——2010年9月）（1）研究数学教材、课程标准结合记忆原理设计作业，在教学实践中实施、修正并总结；（2）学生错误补救法的设想与实践；（3）数学竞赛与提升数学兴趣与知识巩固率的实践．3．总结阶段（2010年10月——2010年12月）（1）汇总各资料，进行全面信息分析、处理；（2）完成课题研究报告，做好结题工作；（3）开展课题总结研讨活动进行教研组推广．八、课题研究的主要过程（一）调查数学作业现状1、作业布置情况在进行本课题研究之前，我的作业布置与大多数数学教师一样，今天学了什么，许多相关练习就布置下去，生怕漏掉什么，最好多布置一点，最好学生一下子全部掌握，批下来错误多了，好再做再练，仅仅把作业当作巩固知识、强化技的手段，而没有思考作业的难度是否合适，形式是否单一，量是否适中，学生是否喜欢等，教师陷入不停地布置作业、批改作业、又布置作业、批改作业的重复劳动，虽然有时也关注不同程度的学生，补充综合性问题，启发学生思维，学生成绩也有一定的提高，但离高效还有很大的距离．2、学生做作业情况通过对学生做作业情况的调查发现，学生对数学作业的重视程度不够，数学作业完成普遍存在马马虎虎、拖拖拉拉的现象，课堂上没弄懂的知识课后不花时间去弄懂，课堂上学到的知识也因为没有及时复习巩固也很快忘掉了，甚至有同学懒于做作业，抄袭了事．而这样的作业无疑是低效的，给教师的作业反馈是不够真实的，一到考试就会原形毕露，教师只好以更多的作业去巩固，学生做地很辛苦，可效果却不怎么尽如人意．3、作业评价情况作为一名数学教师，我的理性思维比较突出，说话做事认真、简洁，批改作业对是对，错是错，比较单一，不像文科老师那样鼓励、表扬多，评价方式多样．（二）分析影响数学作业有效性的因素通过研究，我认为，影响数学作业有效性的因素要从三个方面进行分析．1、数学作业的性质．数学作业的性质是影响数学作业有效性的首要因素．它包括数学作业的形式、难度、可接受量、趣味性、针对性与层次性．（1）作业形式．对于机械的、重复的练习，或纯粹概念的记忆，学生在完成这类作业时往往是十分被动的过程，所以这类作业常常成为无效作业，或者低效作业．而实际上在很长一段时间内数学作业的形式都局限于单一的做题，而且是许多重复的题．（2）作业难度．难度是指作业对于学生现有实际能力水平的难易程度．作业的难度是一个相对的概念，它会随着学生的年龄和能力水平的变化而发生相应的变化．而且，对于不同的学生，同一个问题的难易程度也是不一样的．如果作业的难度过大，学生往往感到望而却步，缺乏积极性．因此，教师应结合学生布置作业当时的实际基础．考虑学生的潜力，将作业的难度控制在适当的水平上，让学生能积极参与并取得比较高的成功率．（3）作业的可接受量．近几年，虽然减负增效的呼声不断，但学生的作业量并没有减少多少．特别是到了章节复习与期中期末复习阶段，总想着既要练基础，又要让学生见识不同的题型，因此收集了很多试卷，教师又由于太忙而不加选择，拿来就做，量大且重复劳动多，学生疲于应付，作业质量可想而知．另外，不同的学生，感觉作业负担的标准也是不一样的．因此，教师要在布置作业时精心设计、精挑细选，充分考虑学生的习惯与能力，思维与认知特点后，科学合理地安排学生的必做作业的量．（4）趣味性．作业的趣味性是指作业的内容和形式是否有趣．兴趣是最好的老师，特别是低年级的学生，作业的有趣与枯燥对学生的积极性的影响是很大的．（5）针对性．作业的针对性是指作业任务与课堂教学内容、期望的教学目标之间的联系程度．教师在布置作业时，应充分考虑它们的内在联系，作业要为特定的知识、技能的学习提供适当的运用和练习的机会，有助于教学目标的达成．如果课后布置的作业与课堂教学的内容之间的联系不密切，偏离教学内容与教学目标，则学生无法明确作业的目的，大大降低作业的有效性．（6）层次性．数学学习中学生的差异是普遍存在的，有的学生能很快地接受教师教学内容并完成作业，还有很多时间剩余，即我们经常说的“吃不饱”；大部分学生与教学保持一致；也有小部分学生无法完成正常的教学任务，即我们所说的“落后生”．针对这样的情况，一刀切的作业显然是不能满足学生的需要的，也无法产生高的学习效果．因此，教师应根据班级学生实际情况，布置层次性作业，让每一个学生都能吃饱吃好．2、教师的课堂教学和课后指导．（1）教师课堂教学的高效与否．特别是在学习新知识时，教师对新知教学的安排是否合理，对学生的掌握情况是否关注，对接受能力较差的学生或学习习惯差的学生如何促进等，都会对数学作业的有效性产生很大的影响．如果学生上课没有听懂，盲目乱做，不仅不能产生巩固新知的作用，相反的还会产生错误认知，阻碍学习．（2）教师对作业的要求与督促监控．当学生理解了作业完成以及订正的书写标准、时间要求时，他们的专注度与紧张度会大大提高，同时若教师能通过不断地强调让学生习惯这种要求，特别是起始年级的时候就养成习惯，并注意督促与监控，关注落后学生，那么学生的学习效果将会有很大的提升．3、学生的因素．（1）学生的参与度．学生的作业参与度是指学生在作业任务上的专注和积极参与的程度．良好的兴趣是积极参与的前提，特别是低年级学生，他是否愿意做这个作业，是不得不做还是我一定要做，所产生的差异是非常巨大的．（2）成功体验率．作业成功体验率是指学生在作业中所获得的正确答案平均数的百分比．高的成功体验率能够激发学生的兴趣，增强信心，激励学生努力完成作业．（3）自然的遗忘．人一生都在跟遗忘作斗争，特别是对基础比较薄弱的学生，他对知识的认识比较浅，更容易遗忘，而且现在的学生因为接触的东西多而杂，更需要教师根据规律安排巩固，提高掌握率．（三）具体实施与经验总结1、研究教材，上好每一节课，提高课堂教学效率．只有课堂上学生都听懂了，学会了，作业才能更好地完成，因此，我首先立足课本，按章、节、课研究基础知识，分析查找典型问题，分清主次，并进行知识点的细致罗列．然后结合本课知识点、例题与课后练习、练习册习题合理安排课堂教学与巩固，关注学生的掌握程度反馈，及时调节课堂教学，在课堂这片40分钟的主阵地上充分引导学生掌握基础知识，发展思维能力．2、精心设计作业的设想与实践．记忆原理表明，实现永久记忆的最佳复习频率是：5分钟后、20分钟后、2小时后、8小时后、两天后、4天后、1周后、30天后、6个月后再复习一次，这时永久记忆形成．其中5分钟后，20分钟后是属于课堂的，2小时后在校内，8小时后是在家的，这些时间的复习是新课学习后的巩固，其余为复习旧知．据此，设想如下：（1）抓住课堂上的时间及时巩固．这就要求教师首先要对本节课的重点难点进行仔细分析，在此基础上明确本节课最需要学生掌握的知识内容、方法、书写格式等，然后在安排课堂教学时充分考虑记忆规律，做到对这个知识5分钟后复习，20分钟后又能复习一次．（2）课后在校时的简单巩固．教师根据当天学习内容精选典型作业留给学生课后完成，但此类作业必须少，只需再次唤醒学生的知识储备，让他的脑子过一遍，并及时上交，教师根据错误情况有选择地面批，纠正错误记忆，加深新知记忆．（3）回家作业重点巩固．设计切合本课重点的基础作业，具有一定探索性的分层作业等．（4）后续作业的反复巩固．通过在后续作业中复习旧知，设计周练与章节测试巩固旧知，不断弥补学生的自然遗忘，逐渐形成知识块，存入信息库．（5）章节复习、学期复习与体系复习形成永久记忆．实践：分段与循环往复法推进新教材方程体系的教学初二第二学期，方程体系全部结束，要在约4周的时间里学完带字母系数的一元一次与二次方程、高次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组并应用其中的高次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组列方程解决实际问题．对学生来说，这么多的内容放在一起难以消化，特别是对学习困难学生，一个知识还没学会它就已经成为旧知识了，几种方程放在一起就不认识了，也不知道用什么方法了，这在学了分式方程的换元法以及分式方程组后就非常突出了，到进入无理方程与二元二次方程组的学习时更加混淆严重了，而列方程（组）解应用题本身是一个难点，又何况还要列无理方程及二元二次方程组就更加困难了，并且应用题列出的方程数字相对比较大，更不利于学生的成功体验，因此，在教学中我做了一个尝试：在应用题的教学中重点安排学习分析题意与列方程，暂时不进行求解，同时在课后辅导与作业中穿插解各类方程的巩固练习，意图如下：1、目的明确，重点突出，增加课堂分析理解的时间，提高学生的分析理解能力；2、减少学生解复杂方程错误率，避免学生对解方程失去信心；3、边学新课边复习，增加学习解方程的时间，降低难度并巩固基本方程．在这样的教学设计下，学生的学习积极性得到了保护，对应用题的理解加深了，不再畏惧了，也有不少的中等学生也踏上了钻研的道路．同时，学习困难学生的方程也得到了一定的锻炼与提高，也不再看见方程连基本方法也不知道了．此时，我结束解方程的教学，进行检测，学生的掌握率明显增多了．然后，重点对应用题进行巩固与提高，并学习求实际问题的解，在已经巩固了解方程的基础上，应用题的解决效率提高了，达到了预期的目标．针对学生容易遗忘的特点，在期中复习时又对方程与应用题进行循环往复地复习，并在此基础上进行提升，使学生的基本计算与分析理解能力得到了同步提高．新教材对数学知识体系进行了重组，既有它优越的地方，但同时也对教师的教提出了挑战，教师应根据学生实际情况，整体设计教学，明确分段又注意联系，边学习新知边复习旧知，循环往复法能起到很好的巩固作用．3、进行学生作业错误的记录与补救的实践与总结；实践一：最差的学生没有了（2009年12月——2010年1月）在数学教学中，经常存在学习落后学生，他们是老师比较头疼的一部分，由于各种各样的原因，他们没有跟上班级整体，并且由于长时间的落后，造成思维缺欠、想象片面，又加上态度与意志不够，与别人的差距越来越大．在我的教学班中同样存在这样的学生，特别是进入初二以后，知识的深入使他们对数学的学习兴趣越来越缺乏，成绩也越来越低，到了不及格就是低分的地步，成了老师的一块心病．（见下表几位学生的数学考试成绩）学生（八年级）第一学期期中第二学期期末第二学期期中第二学期期末A23433137B40442646C21333545D32354140如何让她们在初三的学习中增强信心，跟上大部队，达到合格的成绩，成了我思考的问题．由于她们与别人的差距不断增大，初三的内容综合性明显增强，他们平时的作业都不大会做了，针对大部分同学的作业已经不能对她们的学习产生帮助，怎样能让她们对基础知识的掌握能够好一点呢？能否通过教师作业布置的方法与内容调整来促进她们提高从而增强她们的信心呢？我想到了错误补救法，并开始进行尝试．具体做法如下：（1）记录他们在基础知识掌握上的错误题目；（2）出三道相同类型的题目对这个知识点进行补救，错了什么做什么．以某次测试为例，测试完毕后在基础部分学生A错了第8、10、11、13题，学生B错了第5题，学生C错了第1、4、5、8、10、13题，学生D错了第8、10题，通过错误记录后，针对每个人的错误题型进行补救．具体题目如下：学生A：8、（1）已知点是线段的黄金分割点，AB=6厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）（2）已知点是线段的黄金分割点，AB=2厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）（3）已知点是线段的黄金分割点，AB=1厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）10．（1）已知二次函数的图像开口向上，且与轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．（2）已知二次函数的图像开口向下，且与轴的负半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．（3）已知二次函数的图像开口向下，且与轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．11、（1）如果两个相似三角形的相似比是，则它们周长比是____．（2）如果两个相似三角形的相似比是3：4，则它们的对应高的比是．（3）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们的相似比是．13、（1）如图，在中，，,,则_______．（2）如图，，AD=4，BD=2，AC=3，则EC=．（3）如图，，AB=15，BD=6，AE=10，则EC=．学生B：5、（1）对于抛物线，下列说法中正确的是（）A．抛物线的开口向上 ；B．顶点是抛物线的最低点； C．顶点是抛物线的最高点；D．抛物线在直线右侧的部分上升的．（2）对于抛物线，下列说法中正确的是（）A．抛物线的开口向下；B．顶点是（2，-5）； C．顶点是抛物线的最高点；D．抛物线在直线左侧的部分下降的．（3）对于抛物线，下列说法中正确的是（）A．顶点（0，－4）是抛物线的最高点；B．顶点（0，－4）是抛物线的最低点；C．抛物线的开口向上；D．抛物线在直线右侧的部分下降的．学生C：1、（1）已知，且是锐角，则的度数是（）A．；B．；C．；D．不确定．（2）已知，且是锐角，则的度数是．（3）ctg45°=_______.（4）下列各式正确的是（）（A）（B）（C）（D）（为锐角），则4、（1）下列函数中，是二次函数的为（）A．；B．；C．；D．．（2）下列函数中，是二次函数的为（）A．；B．；C．；D．．（3）下列函数中，是二次函数的是（）A．；B．；C．；D．．5、（1）对于抛物线，下列说法中正确的是（）A．抛物线的开口向上 ； B．顶点是抛物线的最低点； C．顶点是抛物线的最高点；D．抛物线在直线右侧的部分上升的．（2）对于抛物线，下列说法中正确的是（）A．抛物线的开口向下 ；B．顶点是（2，-5）； C．顶点是抛物线的最高点；D．抛物线在直线左侧的部分下降的．（3）对于抛物线，下列说法中正确的是（）A．顶点（0，－4）是抛物线的最高点；B．顶点（0，－4）是抛物线的最低点；C．抛物线的开口向上；D．抛物线在直线右侧的部分下降的．8、（1）已知点是线段的黄金分割点，AB=6厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）（2）已知点是线段的黄金分割点，AB=2厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）（3）已知点是线段的黄金分割点，AB=1厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）10．（1）已知二次函数的图像开口向上，且与轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．（2）已知二次函数的图像开口向下，且与轴的负半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．（3）已知二次函数的图像开口向下，且与轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．13、（1）如图，在中，，,,则_______．（2）如图，，AD=4，BD=2，AC=3，则EC=．（3）如图，，AB=15，BD=6，AE=10，则EC=．学生D：8、（1）已知点是线段的黄金分割点，AB=6厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）（2）已知点是线段的黄金分割点，AB=2厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）（3）已知点是线段的黄金分割点，AB=1厘米,则较长线段的长是_________厘米．（结果保留根号）10．（1）已知二次函数的图像开口向上，且与轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．（2）已知二次函数的图像开口向下，且与轴的负半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．（3）已知二次函数的图像开口向下，且与轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．练完之后，在后续的作业中进行跟进，并进行适当的条件与结论的变化，让他们逐渐适应简单变式，并逐步从填空选择到简答题推进．部分补救题之二：学生A：1．（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么=（2）已知在中，、、所对边的长分别为、、，①的值是②的值是③的值是．（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=15，那么=．14．（1）在△ABC中，AB=AC，如果中线BM与高AD相交于点G，那么=．（2）在△ABC中，AB=AC，如果中线BM与高AD相交于点G，那么=．（3）在△ABC中，AB=AC，如果中线CF与高AD相交于点G，那么=．19．①已知二次函数图像过点、点,求此函数的解析式及顶点坐标.②已知二次函数图像过点、点和点,求此函数的解析式及顶点坐标.③已知二次函数图像过点、点和点,求此函数的解析式及顶点坐标.20．已知：如图，两个不平行的向量和．先化简，再求作：（1）．（2）（3）ABCDEF21．（1）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=12，ABCDEF（2）如图，DE∥BC，EF∥AB，AB=10，AC=15，AE：EC=3：2，求四边形BDEF的周长．DABC22．（1）如图，已知在梯形ABCD中，AB//CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，CD=4，．求梯形DABC（2）如图，已知，且，求证：∽．几天的基础知识补救作业做下来，由于学生的积极性明显增高，对数学的学习兴趣也逐渐开始加强，出现了教师当天的作业还没有给他们而过来要作业“老师，我今天的题目呢？”这样的情况，令人欣喜．经过将近一个月的实践，几个同学的成绩有了明显的进步，在期末考试中基础知识的准确率明显提高，每个同学都超过了六十（见下表），最差的学生没有了．学生九年级第一学期期末A64B64C85D61实践二：基础知识得分率的提高（2010年10月）初步的实践获得成功后，我决定进行推广实践．2010年下半年接手中预后，在期中复习中再次使用错误登记补救作业，由于人数比较多，不再是集中几个人的实验，因此采用部分题目个别补救（错误人数较少的题），部分题目（错误人数较多的题）课堂集体补救的方法，同时对分数的计算采用了自主补救的方法，因为分数的计算是这个学期上半学期的重点，但中预的学生容易粗心算错，因此我预先准备好几组补救题（每组三题），含有加减运算、乘除运算、方程计算不同类型，每当有学生算错分数计算，就进行自主补救．在进行了多次这样的补救作业后，学生的基础知识得分率明显提高，超出了未进行补救的同等班级．（见下表）题型各班得分率填空题89%93%87%86%选择题72%83%74%74%解答题90%91%90%88%4、进行数学竞赛，提升数学学习兴趣与知识巩固率的研究．实践一：挑战二十四点数学竞赛活动目的：计算能力是数学学习中学生必须具有的一种重要运算能力，而心算是计算能力的一个重要组成部分，心算不借助任何工具，只凭思维和语言进行计算，具有快速、灵活的特点，在日常生活及学习中有着极为广泛的应用，对发展学生的注意、记忆、思维能力均有直接的作用．算二十四点这个简单易操作的游戏对于提高学生的心算速度效果明显，同时对提高学生的思维品质也有一定的帮助．从丰富学生的校园生活，激发学生学习数学的兴趣出发，结合数学学科的特点，设计本次竞赛，通过这次竞赛，希望能增强学生学习数学的愿望，培养学生应用数学的才能，提高学生计算能力．同时增强学生的竞争意识，以此为契机掀起努力学习、争取期末取得优异成绩的学习热潮．活动对象：六、七年级活动时间：12月10日——12月14日：策划筹备并各班初赛六年级组复赛七年级组复赛：12月18日中午12：30决赛：12月22日中午12:30活动地点：初赛：201教室与301教室复赛：阶梯教室决赛：阶梯教室活动安排：1、人员确定：在自愿报名的基础上进行班级内初赛，每班决出3人组成团体组参加年级组复赛．2、比赛规则：（1）计算方法：任取四张纸牌(除大、小王、J、Q、K以外)，将这四个数进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．（在这里规定：A=1）（2）答题方法：竞赛全部为抢答题，主持人宣布开始后才能举牌抢答，第一个举牌者获得回答权利，经主持人同意方能回答，答对加十分，答错倒扣十分，答错后此题不再抢答．（3）评奖方法：复赛评出团体一、二等奖，参加决赛，决赛取团体一、二等奖表彰并颁奖；同时在竞赛中由记录员纪录每个参赛同学的答题情况，对个人一、二、三名进行表彰并颁奖．（4）工作人员：主持人一名，记录员2名，出题员2名．（5）评委：数学教研组成员．活动后续对一个得奖学生的采访问：请问你在二十四点竞赛中获得了什么奖项？答：团体一等奖，个人三等奖．问：你觉得这次获奖对你的数学学习有帮助吗？答：有的．问：对你的数学学习方面呢？答：肯定有的．问：你能说说你的获奖感言吗？答：24点速算竞赛可以说是一种游戏，也可以说是对自己数学口算能力的提升．一些学生对于数学都觉得是一门很无聊的课程，这只是学生的兴趣爱好所影响，也许当你玩过24点之后，会感到一种解出题目后的自豪感和骄傲感，我很喜欢体验这种感觉．所以我觉得大家空闲时多玩玩24点，不但有乐趣，而且又能提高口算能力，不是一举两得吗？实践二：初一数学速算竞赛初一同学们：这学期我们学了实数，完成了初中数的体系的学习，数是数学学习的基础，为了更好的学习数学，同时培养同学们的数感，提高简单计算的速度与正确率，现决定举行初一数学速算竞赛，具体如下：竞赛时间：四十分钟6月26日下午竞赛形式：书面计算竞赛内容：实数简单计算（整数、分数、有理数、无理数的加、减、乘、除、乘方、开方以及幂的相关计算）题目形式参考复习中的几张计算练习．注意：题目量比较多，要求既快又准确．奖项设置：本次竞赛分A、B、C三组，A组、B组每班各可参加5人以内，其余参加C组．A组取一等奖一名、二等奖一名B组取一等奖一名、二等奖一名C组取一等奖一名、二等奖二名、三等奖三名活动后续：由于本次竞赛考虑了学生的实际情况，分组参加，既激励了优秀学生的积极性与竞争力，也对落后学生鼓励很大，特别是对A组B组中获奖的人，产生了极大的数学兴趣激励，他们在后续的数学学习中的认真程度明显增强．九、课题研究成果（一）数学作业的目标二期课改课程标准的核心理念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展和可持续发展．我们不仅要关注学生的知识与技能的掌握程度，更要关注每一个学生的情感、态度和价值观，让学生学会发展，获得终身学习的能力和水平．学生通过数学的学习，掌握数学的基础知识，基本技能和思想方法，学会有条理地思考和简明清晰地表达思考过程，并运用数学的思想方法分析问题和解决问题，这对培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力，培育学生认识世界的积极态度和思想方法、求真求实和锲而不舍的精神具有深远的影响．为了达到这样的学科目标，数学教师应转变数学作业的观念，从单一的注重巩固知识形成技能转变为在基础知识巩固的基础上发展知识的应用能力、探究能力，要设计适合学生发展的数学作业．因此，我确定了以下初中数学作业要达成的目标：（1）使学生扎实、牢固地掌握数学基础知识，形成熟练的技能技巧．这是数学作业的基本目标，也是数学教学的基本目标．（2）使学生对数学产生浓厚的兴趣，提高数学作业的参与度与成功体验率，把完成数学作业变成愉快的活动．（3）养成良好的数学作业习惯．（4）培养学生的实践能力与创新意识，让数学知识来源于实践又应用于实践．（5）进行思维训练，使学生到初中毕业时具有良好的独立思维品质和合作思考能力．（二）数学作业的类型根据以上目标，我将数学作业的类型定为：（1）巩固知识型．完全针对基础知识点进行设计，让学生巩固对基础知识的掌握．这样的作业几乎天天在做，而且要及时关注反馈，出成效，不让学生落后，产生错误记忆．同时要在作业中加强习惯培养．（2）运用知识发展能力型．这是实践性作业，在基础知识掌握比较好的基础上进行知识的综合应用．这样的作用每章都有，要合理设计穿插于平时的课堂与作业，也要关注学生掌握情况．（3）激趣型作业．主要目的是让学生对数学感兴趣，主要在低年级中开展，间断性地布置，提高对数学感兴趣的学生人数．（4）锻炼优化思维型．这是跟数学作业的长期目标相联系的，这样的作业不能看到短期效果，往往被教师忽视，但从长期看，对学生的发展、对中考的成绩是有利的，教师应从低年级起就持续地设计此类作业，刺激学生的兴趣与思维，提高信息处理与逻辑整理的能力．（三）数学作业设置的原则1、内容精练化．设计数学作业时要注意的是：既要注意量的优化，又要注意质的优化．首先在作业量上，应结合课堂所讲内容精心筛选，尽量兼顾作业的典型性、系统性和全面性．要做到精选习题，每天作业都要挑选后再布置，不能“拿来主义”，能布置十道题就达到巩固新知目的的，绝不布置十一道，尤其是上复习课时，又要注意体现启发性、巩固性的原则，面对题海，可以只挑选学生容易错的题和一些学生没接触过的题型作为作业，减少不必要的重复练习，精心为学生布置高质量的，具有典型性的作业题，达到练题而通类的效果，充分发挥数学作业应有的效能．2、频率频繁化．除了在课堂上的巩固外，在每节课后布置5-10分钟的作业，在校内完成，及时巩固的效果明显．然后再配合回家作业，再次巩固，再次与遗忘做斗争，这样的回家作业的准确率增高了很多．再通过小结与章节复习、期末复习等多次复习巩固，学生的遗忘率减少了很多，最后在知识体系完成教学后按体系巩固一次，对大部分学生来说都能形成永久记忆．3、形式多样化．传统数学中布置的作业均为笔答题型作业，单调的作业让学生感到乏味，降低了学生做做业的积极性，也不利于锻炼和培养学生多方而的技能．因此，在作业形式上要注意变化，实现作业形式的多样化，让学生从多种作业的过程中，体会到数学的趣味性，感觉到快乐，从而培养学生对数学作业的兴趣，进而培养数学兴趣．例如：教材中“读一读”、“想一想”、“做一做”的形式．增加学生的知识而，培养学生探索问题的能力，对学生进行爱国主义教育，同时增加对数学史的了解．再补充诸如观察、制作、实验、读课外书这类实践性的作业．4、整体安排性．教师对思维训练和拓展型的作业要根据知识体系整体安排，为长远目标服务．（四）提高数学作业有效性的策略与方法1、问课堂要效率——提高数学作业有效性的前提．学习是对外界一切事物的感知、认识，获得经验的过程．作业是脑力劳动、体力劳动的结合，是再一次的学习．两者的关系是：学习是作业的基础，为作业的引导，作业完成的过程获得了经验，是再一次的学习，两者密不可分，共同促进人的发展．在一节成功课堂教学之后，学生思维活跃，情绪高昂，作业思路清晰，兴趣十足，能够积极主动地去完成作业，而一节失败的课堂则反之，为什么？因为有了完成作业的“能力”，也就产生了快点完成作业获取成功的欲望，也就是说，通过课堂的学习后，现有发展区提高了，作业的设置完全在他的最近发展区甚至现有发展区内，做作业自然就驾轻就熟了．提升课堂教学效率的做法：（1）课前研究：①研究知识体系，理清课程脉络；②研究章节知识，整体把握框架；③研究各个小节，明确相互关系；④研究本课重难，安排例题练习；④根据记忆原理，确定先后顺序；⑤联系学生实际，思考可能情况．（2）课中观察与调整．（3）课后关注．2、设计优化数学作业——提高数学作业有效性的关键．突破过去形式单调、结构封闭、缺乏应用、以个人模仿为主的传统作业模式，确立需要自主探究、合作交流等多种形式完成的贴近生活，新颖有趣、富于思考的开放的作业形式，促进学生发展．（1）根据学生年龄特点，设计激趣性作业．特别是六、七年级此类作业的比重要增大，一方面学生的年龄特点决定了他们容易被调起积极性，另一方面，六、七年级的数学知识的内容和特点使这样的作业更容易设计编制．如在学习数的整除章节时可以布置算二十四点的作业，学生的积极性很高，且思维非常活跃，六年级的学生决不比七年级的差．在第一章复习时可以将教师的电话号码编制成题目：⑴既不是素数又不是合数的正整数；⑵6和9的最大公因数；⑶最小的自然数；⑷最小的合数；⑸能同时被2和5整除的数的个位数；⑹7的最大因数；⑺最小的素数；⑻10以内最大的素数；⑼素偶数；⑽5的最小倍数；⑾2和3的最小公倍数．计算完后请拨打这个电话，当学生完成作业后拨打，发现对方是老师时，其兴趣的激励是巨大的，做对的幸福感是强烈的．（2）设计生活化作业，让学生动起来．实践活动是学生获取感性认识，发现数学知识的重要途径．有价值的实践活动能激发学生探索的兴趣，他们可在活动中亲身体验数学知识的形成过程，获取技能，而且自己亲手动手做过的事情是不容易遗忘的．但是书上与练习册上这类的题目比较少，教师要根据教学内容，联系生活实际进行设计，让学生学会运用所学知识，体验数学的价值．这样的作业包括生活观察、生活调查、生活实验、生活探究等．①生活观察．可在轴对称与中心对称图形的教学时让学生观察生活中的对称图形，甚至尝试画与设计这样的图形，也可在下雪时观察雪的几何形状等；②生活调查．如在学习有关单价、数量、总价问题的应用题时让学生去调查某些物品的价格，然后编制题目；又如在百分比应用中学习存款问题时可让学生到银行去调查实际存款利率等；③生活实验．如在百分比中学到浓度时可让学生回家按教师的要求配出盐水与糖水；④生活探究．如在第一章数的整除的教学中可进行铺地砖的实际问题探究，运用所学知识计算房间的面积，比较各种不同地砖的大小、价格，根据计算结果与个人喜好进行决策．（3）设计层次性作业，让不同的人在数学上得到不同的发展．六、七年级的学生可塑性还比较强，很多东西还没有定型，因此层次不宜分的太多，哪怕是落后学生也应让他不断跟上，因此在六、七年级时分为两个层次：基础题与拓展题，基础题是大家都要掌握的基础型问题，拓展题供学有余力的学生挑战拓展．到高年级时可以分为三个层次：基础题、中等题和拓展题，根据学生实际完成，且要根据学生不同阶段的情况进行调整．（4）设计开放性作业，培养创新精神．凡是具有完备的条件和固定的答案的习题，我们称为封闭题，而答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题．封闭题多用于巩固知识，起到了同化的作用，开放题在解题过程中要建立新的认知结构，起到了顺应的作用．封闭题的数量关系是一一对应的，即“一个萝卜一个坑”，条件既不多，也不少，长期坐封闭题，容易束缚学生的思维的发展，形成定势，缺乏创新精神，而且生活实际中条件完备、答案固定的问题反而很少，不实用，因此在作业设计中必须增加开放性的题目，提供学生多角度考虑问题的机会．如在打折问题的学习中可以让学生对两种不同的方案进行比较与取舍，又如前面举到的铺地砖的问题等．（5）设计知识体系性作业，循环往复的复习知识体系．针对二期课改编排的知识体系，七年级第二学期学完实数，初中阶段的数的体系就学完了，此时对所有学过的数进行复习，在数的拆分中再次体会因数与倍数，对常用数进行必要的记忆，培养数感；在分数的通分约分中明白公因数与公倍数的学以致用，体会知识之间的联系；在有理数的运算中熟练符号的处理，整数、分数、小数间的互化；在乘方与开方的互逆运算中体会无理数的计算．经过一轮的体系复习，学生对实数的理解与运算的准