专题03 排列组合（考点串讲+9热考题型）（高教版2021·拓展模块下册）（解析版）

专题03排列组合考点串讲考点串讲考点一、计数原理（1）分类加法计数原理与分步乘法计数原理基本形式一般形式分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．（2）应用两个原理解题的一般思路注意：明白要完成的事情是什么；分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；有无特殊条件的限制；检验是否有重复或遗漏．考点二、排列与组合（1）排列与排列数排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Peq\o\al(m,n)表示．排列数公式的两种形式：Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.Peq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Peq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.（2）组合及组合数组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Peq\o\al(m,n)间存在的关系:Peq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Peq\o\al(m,m)组合数公式组合数公式乘积形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n阶乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.组合数的性质性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).考点三、二项式定理（1）二项式定理定义：一般地，对于任意正整数，都有：.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数二项式的展开式的特点：项数：共有项，比二项式的次数大1；二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；二项展开式的通顶公式：公式特点：它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；字母的次数和组合数的上标相同.（2）二顶式系数及其性质的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．各二项式系数之和为，即：；二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即：．二项式系数与展开式的系数的区别：二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．热考题型热考题型类型一、分类加法计数原理【例1】有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（

）A．3种 B．12种 C．60种 D．不同于以上的答案【答案】B【解析】依题意，计算不同取法种数有3类办法：取一本中文书有5种方法，取一本数学书有4种方法，取一本英语书有3种方法，由分类加法计数原理得：每次取一本，不同的取法有（种）.故选：B.【变式1】从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（

）A．18 B．20 C．26 D．1080【答案】C【解析】由题意，从甲地到乙地，一天中这些交通工具的每一班都能到达，根据分类加法原理知共有5+12+3+6=26种不同走法.故选：C.【变式2】家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（

）A．240种 B．180种 C．120种 D．90种【答案】D【解析】根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90.故选：D.类型二、分步乘法计数原理【例1】用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（

）A．16 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】先从4个数中选1个排在百位，有4种；然后从剩下的3个数中选1个排在十位，有3种；最后从剩下的2个数中选1个排在个位，有2种；根据分步乘法计数原理可得组成无重复数字的三位数的个数为4×故选：B.【变式1】学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（

）A．8 B．28 C．20 D．15【答案】D【解析】由题意可知不同选法有3×故选：D.【变式2】某商店共有A，B，C三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是A品牌，乙买的不是C品牌，则这三人买水杯的情况共有（

）A．3种 B．7种 C．12种 D．24种【答案】C【解析】由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有2×故选：C.类型三、分类加法和分布乘法的结合【例1】李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有()A．24种 B．10种 C．9种 D．14种【答案】D【解析】分两类：第一类：选衬衣加裙子，共有4×3=12第二类：选连衣裙，共有2种选法，根据分类加法计数原理共有14种选法.故选：D.【变式1】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（

）A．90种 B．80种 C．60种 D．50种【答案】D【解析】根据题意，分2种情况讨论：①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有2×②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有3×则共有20+30=50种选法.故选：D.【变式2】如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从M处到N处接通时，不同的线路可以有（

）A．5条 B．6条 C．7条 D．8条【答案】D【解析】由题意知可以按上、下两条线路分为两类，上线路中有2条，下线路中有2×根据分类计数原理，不同的线路可以有2+6=8条.故选：D.类型四、排列数的计算【例1】若Pn2=nP【答案】7【解析】由题意知，Pn2=n由n∈N*故答案为：7.【变式1】已知Px2=30，则【答案】6【解析】因为Px2=30，所以xx-解得x=6或x=-故答案为：6.【变式2】计算3!=（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】由阶乘公式计算，3!=3×故选：C.类型五、排列【例1】下列问题是排列问题的是（

）A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？【答案】B【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，因而不是排列问题，不合题意；选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，适合题意；选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点即可确定1条直线，这2个点不分顺序.因而不是排列问题，不合题意；选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.故选：B．【例2】从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，不同方法的种数是（

）A．C73 BC．37 D．【答案】B【解析】根据排列数的定义，可得从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，不同方法的种数是P7故选：B.【变式1】A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（

）A．3种 B．4种C．6种 D．12种【答案】C【解析】由题意所有排列的方法种数为P3故答案为：C.【变式2】2024年4月26日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安排甲、乙等5人到球场的四个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个区域，则甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为（

）A．18 B．24 C．60 D．120【答案】B【解析】将甲乙捆绑在一起与其他人一起进行全排列，共有P4所以将甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为24种.故选：B.类型六、组合数的计算【例1】计算C3A．34 B．35 C．36 D．37【答案】A【解析】由题意C3故选：A.【变式1】C53+A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】由C5故选：C.【变式2】已知C12x+2=C12A．4 B．5 C．6或7 D．5或7【答案】D【解析】因为C12x+2=C122x-5，则故选：D.类型七、组合【例1】下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B．从1、2、3、4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长【答案】C【解析】对于A选项，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从1、2、3、4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选：C.【例2】从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（

）A．1440 B．120 C．60 D．24【答案】B【解析】从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生，所以抽取的女生人数为2，男生人数为3，共有抽取方法为：C4故选：B.【变式1】从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有种.【答案】70【解析】若选出的1男2女，此时选法有C4若选出的2男1女，此时选法有C4故男女生都要有的选法有40+30=70种.故答案为：70.【变式2】某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（

）A．12 B．18 C．21 D．24【答案】B【解析】可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有C3第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C4根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为12+6=18种.故选：B.类型八、排列和组合的结合【例1】五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（

）A．360 B．240 C．216 D．168【答案】B【解析】这6辆旅游大巴，A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有C4故选：B.【变式1】2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有种.【答案】80【解析】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，再从剩