2024年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务(1-5)试题与答案解析

#2020年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务（1-5）试题与答案解析（红色标注为正确答案）工程数学作业（第一次）（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）1.设 ，则(D)．A.4 B.－4 C.6 D.－6.若 ，贝U （A）A. B.－1 C. D.1.乘积矩阵 中元素 （C）.A.1 B.7 C.10 D.8.设 均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）.A. B.C. D..设 均为阶方阵， 且 ，则下列等式正确的是(D)．A. B.C. D..下列结论正确的是（A）.若是正交矩阵，则也是正交矩阵若 均为 阶对称矩阵，则 也是对称矩阵若 均为 阶非零矩阵，则 也是非零矩阵若 均为 阶非零矩阵，则.矩阵 的伴随矩阵为（C）.A. B.C. D.

8•方阵A.9设8•方阵A.9设A.C.10.设A.C.B. C. D.均为阶可逆矩阵，则 （D）．B.D.均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）.B.D.（二）填空题（每小题2分，共20分）.. 是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2.若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为5X有意义，则为5X4矩阵.5设 ，则.设 均为3阶矩阵，且.设 均为3阶矩阵，且，则 -72 .，贝I -3TOC\o"1-5"\h\z.若 为正交矩阵，则 —0.矩阵 的秩为2 .X0-o.设 是两个可逆矩阵，则 L0 A~l--.（三）解答题（每小题8分，共48分）1.设 ，求⑴ ：⑵ ：⑶⑷） ；（5） ；（6）解:⑴=⑶24+3。=2(4"+5£=，求3.已知，求满足方程中的4.写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．06=-(12-12)=0,35.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:TOC\o"1-5"\h\z2 29 91_£9 ~92£

?512 3 423121I1-I10-2-600014-1-550001 4 -1-5J■..I200-124 14-9100022-6-26170100-17 5 20-IB0100-17 5 20--13T,0010-1 0 2 -10010-1 0 2-10001 4 -1-5 30001 4 -1-5300000010001000I10Q01000100-1100110-1010111-10011D00-11000-11000-tI6.求矩阵的秩．（四）证明题（每小题4分，共12分）7.对任意方阵，试证 是对称矩阵.证：:（X+ay=乂『十（/T=4+月=a+二a是对称降8.若是阶方阵，且，试证或.证：♦.・IM=同, ⑷/[=L Id=L或:恸二1-19.若是正交矩阵，试证也是正交矩阵.证工因为/是正交阵,故d/=L因而乂可逆EJT=/所以有（，）[，=（J-1yH=（"y=『=『即，国是.正无阵。工程数学作业（第二次）（满分100分）第3章线性方程组（一）单项选择题（每小题2分，共16分）L用消元法得《3+X=0的解3—x=23X1x2X3」为（C）.,+3,+3x23—x3=6(B).A.[1,0,—2]'C.[—11,2,—2]'x+2x12.线性方程组<x1

B.[—7,2,—2]'D.[—11,—2,—2]'=2A.有无穷多解3.向量组A.34.设向量组为a1a.a1，a2B.—3x+3x=42 3b.有唯一解c.无解B.2「1D.只有零解,a2的秩为(A)C.4a,a,ac.a,a,aD.51D.则（B）是极大无关组..A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，贝（（D）.A.秩(A)=秩(A)C.A.秩(A)=秩(A)C.秩(A)>秩(A)D.秩(A)=秩(A)-1.若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）.A.可能无解 B.有唯一解C.有无穷多解D.无解.以下结论正确的是（D）.A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B,方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D.齐次线性方程组一定有解8.若向量组a1,a28.若向量组a1,a2,…，a线性相关则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出.A.至少有一个向量C.至多有一个向量B.D.没有一个向量任何一个向量（二）填空题（每小题2分共16分）Ix+x=01当九二时，齐次线性方程组上xIx+x=01当九二时，齐次线性方程组上x1+x2=0有非零解.2.向量组a=10,0,0],a=L,1,1]线性1相关.向量组11,2,3],11,2,0]，,11,0,01,10,0,01的秩是3.设齐次线性方程组a1x1+a2x2+a3x3=0的系数行列式I程组有无穷多 解，且系数列向量a,a,a是线性相关1 2 3.向量组a=I1,0],a=[0,1],a=[0,0]的极大线性无关组是1 2 3r.向量组a,a，…,a的秩与矩阵故,a,…,a」的秩相同1212=0，则这个方—的.।,（X2』.设线性方程组AX=0中有5个未知量，且秩（A）=3，则其基础解系中线性无关的解向量有2个..设线性方程组AX=b有解，X是它的一个特解，且AX=0的基础解系为X,X则AX=b的通解为（三）解答题（第1小题9分，其余每小题11分）1.设有线性方程组方程组有唯一解?或有无穷多解?Z（方程组有唯一解?或有无穷多解?Z（1—A.）入为何值时，当工王[旦义w-2时.式（团=演才=3方程组有唯一解肖工工】时.用出=无（力=1.方程组有无穷多解.判断向量P能否由向量组叱，a2,a3线性表出，若能，写出一种表出方式•其中

一8-23-5一37一5-6,a=,a=,a=7112033-103-21p.计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。这里A—[iif),用⑷工式｛⑷..方程期.尤解/. /?不诙巾向量的这里A—[iif),用⑷工式｛⑷..方程期.尤解/. /?不诙巾向量的42，码线性去出13-11-1-7-392,a=8,a=0,a=623439-33413-36ai.求齐次线性方程组x一3x+x-2x=0TOC\o"1-5"\h\z12 3 4一5x+x-2x+3x=0\o"CurrentDocument"12 3 4一x-11x+2x-5x=01 2 3 43x+5x +4x=012 4的一个基础解系.二一14的一个基础解系.二一14_2~-77F+4->!01-1-10414-3100001Q_2-[-0A01_}Iq。142(J01Q001口0(}0005．求下列线性方程组的全部解．x一3x-2x一x=612343x一8x+x+5x=01234一2x+x-4x+x=-121234一x+4x一x-3x=21234（四）证明题（本题4分）8.试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明:设AX=B为含n个未知量的线性方程组该力程组有解,即RA=R（A）=n从而AX=B行唯一解当且仅当R（4）=n相应齐次线性方程AX=0只有零解的充分必要条件是RCA）=MAX=B有唯一解的充必要条件是:相应的齐次线性方程组AX=0只有零解工程数学作业（第三次）（满分100分）第4章随机事件与概率

(一)单项选择题(每小题2分，共16分)A,B为两个事件，则(B)成立.A.(A+B)—B=A B.(A+B)—BuAC.(A—B)+B=A D.(A—B)+BuA2.如果(C)成立，则事件A与B互为对立事件.ABAB=0C.AB=0且AB=UAB=UD.A与B互为对立事件3.袋中有3.袋中有5个黑球，3个白球一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为(A).5A.——C5A.——C4835B.(8)38c.C^)35888D.4.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为(D).A.C3x0.72x0.3b,0.3C,0.72x0.3d.3x0.72x0.3105.同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为(D).A.0.5 B.0.256.A.0.5 B.0.256.已知P(B)>0,AA=0,12A.P(AIB)>0i1C.P(AA|B)中0127.对于事件A,B，命题(D)0.125则(B)成立.B.P[(A+1D.0.375A2)|B]=P(AjB)+P(A2|B)P(AAIB)=112是正确的．A.如果A,B互不相容，则A,B互不相容B.如果AuB，则AuBC.如果A,B对立，则A,B对立D.如果A,B相容，则A,B相容8.某随机试验每次试验的成功率为p(0<p<1)，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(B).A.(1—p)3 B.1—p3C.3(1-p) D.(1-p)3+p(1-p)2+p2(1-p)(二)填空题(每小题2分，共18分)1从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2..从n个数字中有返回地任取r个数(r<n，且n个数字互不相同)，则取到的r个数字中有重复数字的概率为..有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则三个人TOC\o"1-5"\h\z分配在同一间房间的概率为1/16，三个人分配在不同房间的概率为3/8 .\o"CurrentDocument".已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，则当事件A,B互不相容时，P(A+B)= 0.8 ,P(AB)= 0.3 .A,B为两个事件，且BuA,则P(A+B)= P(A)..已知P(AB)=P(AB),P(A)=p,则P(B)= 1-P ..若事件A,B相互独立，且P(A)=p,P(B)=q，则P(A+B)= da叫..若A,B互不相容，且P(A)>0，则P(BA)=0,若A,B相互独立，且P(A)>0,则P(BA)=P(B)..已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，则当事件A,B相互独立时，P(A+B)=—0.65 ,P(AB)= 0.3.(三)解答题(第1、2、3小题各6分，其余题目各8分，共66分)设A,B为两个事件，试用文字表示下列各个事件的含义：⑴A+B； ⑵AB； ⑶A-B；⑷A一AB； ⑸AB； ⑹AB+AB.解：⑴AB表示事件A与事件B至少有一个发生；⑵AB表示事件A与事件B同时发生；⑶AB表示事件A发生但事件B不发生；⑷AAB=AB表示事件A发生同时事件B不发生；⑸AB=AB表示事件A不发生同时事件B也不发生；⑹ABABABAB表示事件A发生或事件B发生，但两事件不同时发生.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示下列事件：⑴A,B,C中至少有一个发生；⑵A,B,C中只有一个发生；⑶A,B,C中至多有一个发生；⑷A,B,C中至少有两个发生；⑸A,B,C中不多于两个发生；⑹A,B,C中只有C发生.⑴ABC中至少有一个发生；ABC⑵ABC中只有一个发生；ABCABCABC⑶ABC中至多有一个发生；ABBCCAU；⑷ABC中至少有两个发生；ABBCACU⑸ABC中不多于两个发生；ABC⑹ABC中只有C发生.ABC袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：⑴2球恰好同色；⑵2球中至少有1红球．0.40.90.4一批产品共50件，其中46件合格品，4件次品，从中任取3件，其中有次品的概率是多少？次品不超过2件的概率是多少？解：有次品的概率［匚’弓为 「强汕产m次品不超过2件的概率;重为-C设有100个圆柱圆柱形零件，其中95个长度合格，92个直径合格，87个长度直径都合格，现从中任取一件该产品，求：⑴该产品是合格品的概率；⑵若已知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；⑶若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率.解！⑴该产品是合格品的概率为0.875⑵已知该产品直径合格，则该产品是合格品的概率为强7'92⑶已知该产品长度合格，则该产品是合格品的概率为“厂95加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．解：加工出来的零件是正品的概率为0.970.980.9506市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：买到一个热水瓶是合格品的概率为0.90.50.850.30.80.20.865=一批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共抽得5件样品，分别计算这5件样品中恰有3件次品和至多有3件次品的概率.=3)=C^ :解：X-杵样品中恰有3件状品的概率{x为 02 0.8=0.0512尸土三 PX=尸 0^00672.5件样品中至多有M件次品的概率为(3)1 { 4}-{

加工某种零件需要三道工序，假设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%,并假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.1解：加工出来的零件的次.品率/1工程数学作业(第四次)(满分100分)第5章随机变量及其数字特征(一)单项选择题(每小题2分，共14分).设随机变量X~B(n,P)，且E(X)=4.8,D(X)=0.96,则参数n与p分别是().A.6,0.8 B.8,0.6 C.12,0.4D.14,0.2A,「"xf(x)dx B.Jbxf(x)dx-^ aC.Jbf(x)dx D.p°f(x)dxa -83.在下列函数中可以作为分布密度函数的是().[ n 3nA,「"xf(x)dx B.Jbxf(x)dx-^ aC.Jbf(x)dx D.p°f(x)dxa -83.在下列函数中可以作为分布密度函数的是().[ n 3nsinx,--<x<——A.f(x)={ 2 2 B,f(x)=-0, 其它[nsinx,0<x<—2|。， 其它sinx,0<x<一 [sinx,0<x<nC.f(x)=J 2 D,f(x)=J)0,其它 10， ?4.设连续型随机变量X的密度函数为f(x),分布函数为F(x)则P(a<X<b)=().A.F(a)-F(b) B.JbF(x)dx它则对任意的区间(a,b),aC.f(a)—f(b) D」bf(x)dxa5.设X为随机变量，则D(2X—3)=().A.2D(X)+3 B.2D(X)C.2D(X)-3 D.4D(X).设X为随机变量，E(X)=N,D(X)=o2，当()时，有E(Y)=0,D(Y)=1.Y=oXY=oX+NC.Y-x-NY-oX-NX-ND.Y o2).(A)ao2+b(C)ao2.设X是随机变量，D(X)-o2，设Y-aX).(A)ao2+b(C)ao2(B)a2o2(D)a2o2+b(二)填空题(每小题2分，共14分).已知连续型随机变量X的分布函数F(x),且密度函数f(x)连续，则f(x)-..设随机变量X~U(0,1)，则X的分布函数F(x)-..若X~B(20,0.3),则E(X)-..若X~N⑴,o2)，则P(|X-N|<3o)-..若二维随机变量(X,Y)的相关系数P-0，则称X,Y .X,YE[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为二维随机变量(X,Y)的..设连续型随机变量X的密度函数是f(x),则P(a<X<b)-.(三)解答题(每小题8分,共72分).某射手连续向一目标射击，直到命中为止.已知他每发命中的概率是P，求所需设计次数X的概率分布..设随机变量X的概率分布为-0 1 2 3 4 5 6一0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03试求P(X<4),P(2<X<5),P(X丰3).3.设随机变跳具有概率密度f(x)-2x,0<f(x)-0,其它试求P(X<1),P(1<X<2).4已知随机变量X的概率分布为P(X-k)-10(k-2,4,6,…，18,20)求E(X),D(X).[2x,0<x<15.设X~f(x)-〈廿、，求E(X),D(X).10, 其它

.已知100个产品中有5个次品，现从中任取1个，有放回地取3次，求在所取的3个产品中恰有2个次品的概率．.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8,该运动员投篮4次，求⑴投中篮框不少于3次的概率；⑵至少投中篮框1次的概率..设X~N（20,0.22）,计算⑴尸（0.2<X<1.8）；⑵P（X>0）..设X,X，…，X是独立同分布的随机变量，已如（X）=日，D（X）=o2,设12 n 1 1X=11X,求E（X）,D（X）.nii=1工程数学作业（第五次）（满分100分）第6章统计推断（一）单项选择题（每小题2分,共6分）TOC\o"1-5"\h\z.设x,x，…,x是来自正态总体N⑴，o2）（日，o2均未知）的样本，则（）是统12 n计量．x2A.x B.x+日 C.q D.日x11 O2 12.设x,x,x是来自正态总体N⑴,O2）（日,O2均未知）的样本，则统计量（）不123是N的无偏估计.Amax{x,x,x} B—（x+x）1 2 3 2 1 22x-x123.2x-x123.对正态总体方差的检验用的是（D）.x-x1-x23（A）U检验法(B)T检验法（C）X2检验法 （D）F检验法（二）填空题（每小题2分,共14分）.统计量就是 是一组独立同分布的随机变量的函数..参数估计的两种方法是点估计和区间估计.常用的参数点估计有最大似然估计法和最小二乘估计法两种方法..比较估计量好坏的两个重要标准是 相合估计 ，一致估计..设x,x，…,x是来自正态总体N（日,O2）（O2已知）的样本值，按给定的显著性12 n水平a检验H:N=N；H:日。日，需选取统计量 ^0 0