人教A版必修二高中数学第一章 1.3.2同步课堂导学案【含详细解析】

1．3.2球的体积和表面积[学习目标]1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．[知识链接]1．长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.2．棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3.3．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrh，表面积S＝2πrh＋2πr2，体积V＝πr2h.4．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2＋πrl，体积V＝eq\f(1,3)πr2h.[预习导引]球的体积公式与表面积公式(1)球的体积公式V＝eq\f(4,3)πR3(其中R为球的半径)．(2)球的表面积公式S＝4πR2.要点一球的表面积和体积例1(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为eq\f(500,3)π，求它的表面积．解(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·(4)3＝eq\f(256,3)π.(2)设球的半径为R，则eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.规律方法1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．跟踪演练1一个球的表面积是16π，则它的体积是()A．64πB.eq\f(64π,3)C．32πD.eq\f(32,3)π答案D解析设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.要点二球的截面问题例2平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π答案B解析如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).即球的半径为eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.规律方法有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．跟踪演练2已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．答案1或7解析若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.要点三球的组合体与三视图例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S＝eq\f(1,2)×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该几何体的体积为V＝23＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝8＋eq\f(2π,3).规律方法1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．2．求解表面积和体积时要避免重叠和交叉．跟踪演练3已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．答案12π解析由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3).∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.1．直径为6的球的表面积和体积分别是()A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36πD．144π，144π答案B解析球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的()A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍答案C解析设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝eq\f(4,3)πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．3．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．答案eq\r(3,2)解析设大球的半径为R，则有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．答案14π解析长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案3π解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．一、基础达标1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)πD．32eq\r(3)π答案C解析由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.2．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为()A．8B．8eq\r(2)C．8eq\r(3)D．4eq\r(2)答案A解析∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝eq\f(4,3).∴正方体的表面积为6a2＝6×eq\f(4,3)＝8.3．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________m3.答案9π＋18解析将三视图还原为实物图后求解．由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为eq\f(3,2)；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V＝eq\f(4,3)π×eq\f(27,8)×2＋1×3×6＝9π＋18.4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A．1∶eq\r(3)B．1∶3C．1∶3eq\r(3)D．1∶9答案C解析设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为eq\f(1,2)a，它的外接球的半径为eq\f(\r(3),2)a，故所求的比为1∶3eq\r(3).5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A．4π(r＋R)2B．4πr2R2C．4πRrD．π(R＋r)2答案C解析方法一如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面积为S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.方法二如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πRr.6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为eq\f(9π,2)，则正方体的棱长为________．答案eq\r(3)解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长．设正方体棱长为a，球半径为R，则eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，∴R＝eq\f(3,2)，∴eq\r(3)a＝3，∴a＝eq\r(3).7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V球＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3))＝eq\f(125π,3)(cm3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以eq\f(125π,3)＝π×52×h，所以h＝eq\f(5,3)，即若取出这两个小球，则水面将下降eq\f(5,3)cm.二、能力提升8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3答案A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．9．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1B．2C．3D．4答案B解析由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝eq\f(1,2)×(6＋8－10)＝2.因此选B.10.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.答案4解析设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由题意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．11．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．解∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．设O′C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，∴∠O′CO＝30°，∴eq\f(r,R)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，即R＝eq\f(2,\r(3))r，(*)又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10eq\r(3).∴球的表面积为S＝4πR2＝4π(10eq\r(3))2＝1200π.球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(10eq\r(3))3＝4000eq\r(3)π.三、探究与创新12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)解如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圆锥BO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×R＝eq\f(\r(3),2)πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝eq\f(11,2)πR2＋eq\f(\r(3),2)πR2＝eq\f(11＋\r(3),2)πR2.故旋转所得几何体的表面积为eq\f(11＋\r(3),2)πR2.13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解设圆锥形杯子的高为hcm