长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年第二学期第一次模拟考试初三数学时间：120分钟总分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列实数中，最大的是（）A. B. C.0 D.答案：B解析：解：∵是负数，，，∴最大的数为．故选：B．2.围棋起于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；D、是轴对称图形，故选项符合题意；故选：D．3.下列各运算中，计算正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：A、原式，不符合题意；B、原式，不符合题意；C、原式，符合题意；D、原式，不符合题意．故选：C．4.第24届冬季奥林匹克运动会已经画上圆满句号，北京成为历史上首座“双奥之城”，再一次见证了竞技体育的荣耀与梦想，凝聚了人类社会的团结与友谊，2022年2月4日的北京冬奥会开幕式在全国44个上星频道播出，收看电视直播观众规模约为人，将用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：D解析：整数共计9位，采用表达，则有，，即：用科学记数法表示为，故选：D．5.下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A B.C. D.答案：B解析：解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；D、俯视图是圆，故本选项不合题意．故选：B．6.今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（）A. B. C. D.1答案：B解析：解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，故选到前两首的概率是，故选：B．7.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解：过作，∵，∴，，，，，，∵，，．故选：A．8.如图，在一艘小船A上测得海岸上高为的灯塔的顶部C处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于（）A. B. C. D.答案：A解析：解：根据题意可得：船离海岸线的距离为，故选：A．9.关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下 B.对称轴为直线C.与y轴交于点 D.与x轴有两个交点答案：D解析：解：∵二次函数，当时，解得，，故函数与x轴两个交点为，当时，解得，故函数与y轴的交点为，故函数与x轴有两个交点，∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意；与轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意；与轴有两个交点，故选项D正确，符合题意；故选：D．10.如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：根据题意，，∴弹簧秤的示数关于的函数解析式为，且该函数图像在第一象限，随的增大而减小，当时，可有，越大，弹簧秤的示数越小，而的最大值，∴若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11.分解因式：______．答案：解析：解：，故答案为：．12.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是_________．答案：丁解析：因为=0.56，=0.60，=0.50，=0.45所以<<<，由此可得成绩最稳定的为丁．故答案为丁．13.如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为__________．答案：8解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，又∵点E是边AB的中点，∴OE＝AE＝EBAB，∴BC＝AB＝2OE＝4×2＝8，故答案为：8．14.若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为________．答案：解析：解：关于的一元二次方程有实数根，，解得：，的最大值为，故答案为：．15.一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．答案：16.如图，已知是的直径，点E是上一点，F为的中点，过点F作E的垂线，垂足为C，交的延长线于点D，连接．若，，则的长为________．答案：解析：∵，∴．∵是的中点，∴．∴，∴，∴．∵，∴．，，即，解得．，，，，，即，，．故答案为：．三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）17.计算：．答案：2解析：解：．18先化简，再求值：，其中．答案：，解析：解：原式，当时，原式．19.如图，在中，，．（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；（2）在（1）所作的图中，求的度数．答案：（1）垂直平分线，角平分线；（2）25°解析：解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，故答案为：垂直平分线，角平分线；（2）∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，∴．∵射线是的平分线，∴．20.我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．请根据图中的信息，解决下列问题：（1）填空：；（2）补全频数直方图；（3）我校共有3000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则我校安全意识不强的学生约有多少人？答案：（1）75，54；（2）图见解析：（3）900人小问1解析：解：被调查的总人数为（人），，组人数为（人），则组人数为（人），，故答案为：75，54；小问2解析：解：补全直方图如下：小问3解析：解：（人），答：该校安全意识不强的学生约有900名．21.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为CD中点，F为AD中点，AE与BF交于点G．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）连结BE，记BE中点为H，求GH的长．答案：（1）证明见解析（2）小问1解析：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝4，∵E为CD中点，F为AD中点，∴AF＝DE＝2，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS）；小问2解析：解：∵BC＝4，EC＝2，∴BE＝＝＝2，∵△ABF≌△DAE，∴∠DAE＝∠ABF，∵∠DAE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠ABF，∴∠BGE＝90°，∵点H是BE的中点，∴GH＝BE＝．22.近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．（1）篮球、足球的单价各是多少元？（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．答案：（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元．（2）该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．小问1解析：解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，依题意得：，解得：．答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．小问2解析：解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用依题意得：，解不等式①得：．解不等式①得：．∴m的取值范围为：，∵购买篮球和足球的总费用，，∴y随m的增大而增大，∴当时，最省钱，∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．23.如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E．（1）求证：；（2）当时，求的长度．答案：（1）证明见解析（2）小问1解析：证明：∵，∴，∵，∴，，∴，∴；小问2解析：解：当时，，由（1），得，∴，∴，又∵，∴．24.定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”．（1）判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”；①有一个角为的直角三角形；（）②有一个角为的直角三角形；（）③有一个角为的三角形；（）（2）如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；（3）如图②，二次函数：顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示）答案：（1）×，×，√（2）点N的坐标为或（3），小问1解析：解：①∵有一个角为的直角三角形，三个内角分别为，，∴该三角形不是“美好三角形”．故答案为：×②有一个角为的直角三角形；三个内角分别为，，∴该三角形不是“美好三角形”．故答案为：×③有一个角为的三角形；其余两个内角的和为，∴该三角形是“美好三角形”．故答案为：√．小问2解析：联立与，解得，将代入得，∴点M坐标为；若是“美好三角形”，当时，过M作，则，∴，∴，∴；当时，过N作，则，∴，，，，，，，综上，点N的坐标为或；小问3解析：根据二次函数与x轴交于B，C两点，顶点为A，故，过点D作，当均为“美好三角形”时，，，，，∴．∴，∴，，∵的面积为，的面积为，的面积为，，；，，综上，，．25.如图，在中，弦于H，线段为直径，连接，过点B作交的延长线于E，连接并延长交于点F，且连接．（1）求证：四边形菱形；（2）求证：；（3）已知的外接圆