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文档简介
云南省大理、丽江、怒江2024-2025学年高三毕业班第一次摸底考试数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数为偶函数,则的值为()A. B. C. D.2.设,均为非零的平面向量,则“存在负数,使得”是“”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是()A.1 B.2 C.3 D.44.已知,,由程序框图输出的为()A.1 B.0 C. D.5.已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.6.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}7.函数()的图象的大致形状是()A. B. C. D.8.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.9.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为()A. B. C.2 D.10.已知数列中,,(),则等于()A. B. C. D.211.若实数x,y满足条件,目标函数,则z的最大值为()A. B.1 C.2 D.012.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示,图中网格是边长为1的正方形,粗线部分是某二十四等边体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.电影《厉害了,我的国》于2018年3月正式登陆全国院线,网友纷纷表示,看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲,我为我是中国人骄傲!”《厉害了,我的国》正在召唤我们每一个人,不忘初心,用奋斗书写无悔人生,小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了,我的国》,并把标识为的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同的盒子里,让四位好朋友进行猜测:甲说:第1个盒子里放的是,第3个盒子里放的是乙说:第2个盒子里放的是,第3个盒子里放的是丙说:第4个盒子里放的是,第2个盒子里放的是丁说:第4个盒子里放的是,第3个盒子里放的是小明说:“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测,第4个盒子里放的电影票为_________14.已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________.15.已知函数,且,,使得,则实数m的取值范围是______.16.在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则_______,项的系数等于________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如:该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置.记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为.(1)分别求、、的值;(2)求的表达式.18.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.19.(12分)设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由.20.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分别是AB,A1C的中点.(1)求证:直线MN⊥平面ACB1;(2)求点C1到平面B1MC的距离.21.(12分)已知关于的不等式解集为().(1)求正数的值;(2)设,且,求证:.22.(10分)(1)求曲线和曲线围成图形的面积;(2)化简求值:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数又由函数为偶函数,所以,解得,因为,当时,,故选D.本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2.B【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.【详解】因为,均为非零的平面向量,存在负数,使得,所以向量,共线且方向相反,所以,即充分性成立;反之,当向量,的夹角为钝角时,满足,但此时,不共线且反向,所以必要性不成立.所以“存在负数,使得”是“”的充分不必要条件.故选B.判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法,解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.3.C【解析】
由图象变换的原则可得,由可求得值域;利用代入检验法判断②③;对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误;当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确;当时,,所以的一个对称中心是,③正确;,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.4.D【解析】试题分析:,,所以,所以由程序框图输出的为.故选D.考点:1、程序框图;2、定积分.5.B【解析】
由题意可知函数为上为减函数,可知函数为减函数,且,由此可解得实数的取值范围.【详解】由题意知函数是上的减函数,于是有,解得,因此,实数的取值范围是.故选:B.本题考查利用分段函数的单调性求参数,一般要分析每支函数的单调性,同时还要考虑分段点处函数值的大小关系,考查运算求解能力,属于中等题.6.C【解析】
根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.7.C【解析】
对x分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象.【详解】故选C.识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.8.B【解析】
求出导函数,确定函数的单调性,确定函数的最值,根据零点存在定理可确定参数范围.【详解】,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上只有一个极大值也是最大值,显然时,,时,,因此要使函数有两个零点,则,∴.故选:B.本题考查函数的零点,考查用导数研究函数的最值,根据零点存在定理确定参数范围.9.C【解析】
建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为:故得到故得到,故最大值为:2.故答案为C.这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.10.A【解析】
分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的周期数列,问题得以解决.【详解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴数列是以3为周期的周期数列,
,
,
故选:A.本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.11.C【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最大值.【详解】若实数x,y满足条件,目标函数如图:当时函数取最大值为故答案选C求线性目标函数的最值:当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最大,在轴截距最小时,z值最小;当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最小,在轴上截距最小时,值最大.12.D【解析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示,求出该几何体的棱长,可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的,可求出其体积.【详解】如下图所示,将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中,由三视图可知,该几何体的棱长为,它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的,该几何体的体积为,故选:D.本题考查三视图,几何体的体积,对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.A或D【解析】
分别假设每一个人一半是对的,然后分别进行验证即可.【详解】解:假设甲说:第1个盒子里面放的是是对的,则乙说:第3个盒子里面放的是是对的,丙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第4个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是;假设甲说:第3个盒子里面放的是是对的,则丙说:第4个盒子里面放的是是对的,乙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第3个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是.故第4个盒子里面放的电影票为或.故答案为:或本题考查简单的合情推理,考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力,属于中档题.14.【解析】
首先解不等式,再由在区间上恒成立,即得到不等组,解得即可.【详解】解:且,即解得,即因为在区间上恒成立,解得即故答案为:本题考查一元二次不等式及函数的综合问题,属于基础题.15.【解析】
根据条件转化为函数在上的值域是函数在上的值域的子集;分别求值域即可得到结论.【详解】解:依题意,,即函数在上的值域是函数在上的值域的子集.因为在上的值域为()或(),在上的值域为,故或,解得故答案为:.本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围,属于中档题.16.81【解析】
根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可.【详解】由于所有项的二项式系数之和为,,故的二项展开式的通项公式为,令,求得,可得含x项的系数等于,故答案为:8;1.本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),,,(2)【解析】
(1)根据机器人的进行规律可确定、、的值;(2)首先根据机器人行进规则知机器人沿轴行进步,必须沿轴负方向行进相同的步数,而余下的每一步行进方向都有两个选择(向上或向下),由此结合组合知识确定机器人的每一种走法关于的表达式,并得到的表达式,然后结合二项式定理及展开式的通项公式进行求解.【详解】解:(1),,(2)设为沿轴正方向走的步数(每一步长度为1),则反方向也需要走步才能回到轴上,所以,1,2,……,,(其中为不超过的最大整数)总共走步,首先任选步沿轴正方向走,再在剩下的步中选步沿轴负方向走,最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下),即等价于求中含项的系数,为其中含项的系数为故.本题考查组合数、二项式定理,考查学生的逻辑推理能力,推理论证能力以及分类讨论的思想.18.(1),(2)最大值,最小值【解析】
(1)由曲线的参数方程,得两式平方相加求解,根据直线的极坐标方程,展开有,再根据求解.(2)因为曲线C是一个半圆,利用数形结合,圆心到直线的距离减半径即为最小值,最大值点由图可知.【详解】(1)因为曲线的参数方程为所以两式平方相加得:因为直线的极坐标方程为.所以所以即(2)如图所示:圆心C到直线的距离为:所以圆上的点到直线的最小值为:则点M(2,0)到直线的距离为最大值:本题主要考查参数方程,普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.19.(1)(2)【解析】试题分析:(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.考点:本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,圆与椭圆的位置关系.点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理.存在性问题,往往从假设存在出发,运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备.(2)小题解答中,集合韦达定理,应用平面向量知识证明了圆的存在性.20.(1)证明见解析.(2)【解析】
(1)连接AC1,BC1,结合中位线定理可证MN∥BC1,再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求证直线MN⊥平面ACB1;(2)作交于点,通过等体积法,设C1到平面B1CM的距离为h,则有,结合几何关系即可求解【详解】(1)证明:连接AC1,BC1,则N∈AC1且N为AC1的中点;∵M是AB的中点.所以:MN∥BC1;∵A1A⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1A⊥AC,在三
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