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文档简介

重庆市九龙坡区育才中学2025届高三年级5月统测模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数的最大值为()A.7 B.15 C.31 D.632.如图所示的程序框图,若输入,,则输出的结果是()A. B. C. D.3.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为()A. B.2 C. D.4.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或75.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.6.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A. B. C. D.7.已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,则()A. B. C. D.8.()A. B. C. D.9.已知l,m是两条不同的直线,m⊥平面α,则“”是“l⊥m”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为,大圆柱底面半径为,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为,则()A. B. C. D.11.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为2,则输出的值为A. B. C. D.12.己知函数的图象与直线恰有四个公共点,其中,则()A. B.0 C.1 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,,,,则________,的面积为________.14.已知数列为正项等比数列,,则的最小值为________.15.利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,利用等体积法进行推导,在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值,则这个定值是______16.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入2个球,丙、丁盒子均最多可放入1个球,且不同颜色的球不能放入同一个盒子里,共有________种不同的放法.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过度的部分按元/度收费,超过度但不超过度的部分按元/度收费,超过度的部分按元/度收费.(I)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;(Ⅱ)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这户居民中,今年1月份用电费用不超过元的占,求,的值;(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点代替,记为该居民用户1月份的用电费用,求的分布列和数学期望.18.(12分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:.19.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最大值为,若,证明:.20.(12分)已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足,,,求.21.(12分)已知函数.(1)若曲线在处的切线为,试求实数,的值;(2)当时,若有两个极值点,,且,,若不等式恒成立,试求实数m的取值范围.22.(10分)设函数,其中.(Ⅰ)当为偶函数时,求函数的极值;(Ⅱ)若函数在区间上有两个零点,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】试题分析:由程序框图可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后输出,此时,则的最大值为15,故选B.考点:程序框图.2.B【解析】

列举出循环的每一步,可得出输出结果.【详解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,输出的值为.故选:B.本题考查利用程序框图计算输出结果,一般要将算法的每一步列举出来,考查计算能力,属于基础题.3.D【解析】

将多项式的乘法式展开,结合二项式定理展开式通项,即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为,∴解得.故选:D.本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题.4.C【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.5.B【解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知:定义域为,,为偶函数,当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.6.A【解析】

基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.【详解】解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,基本事件总数,其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,其和等于的概率.故选:.本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.7.A【解析】

画出函数的图像,函数对称轴方程为,由图可得与关于对称,即得解.【详解】函数的图像如图,对称轴方程为,,又,由图可得与关于对称,故选:A本题考查了正弦型函数的对称性,考查了学生综合分析,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.8.B【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】.故选B.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.9.A【解析】

根据充分条件和必要条件的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m⊥平面α时,若l∥α”则“l⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,则l∥α或l⊂α,即必要性不成立,则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件,故选:A.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大,属于基础题10.B【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中,液面以上空余部分的体积为;在图2中,液面以上空余部分的体积为.因为,所以.故选:B本题考查圆柱的体积,属于基础题.11.C【解析】

由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值.【详解】解:初始值,,程序运行过程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循环,输出的值为其中①②①—②得.故选:.本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到,的值是解题的关键,属于基础题.12.A【解析】

先将函数解析式化简为,结合题意可求得切点及其范围,根据导数几何意义,即可求得的值.【详解】函数即直线与函数图象恰有四个公共点,结合图象知直线与函数相切于,,因为,故,所以.故选:A.本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用,由交点及导数的几何意义求函数值,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

利用余弦定理可求得的值,进而可得出的值,最后利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】由余弦定理得,则,因此,的面积为.故答案为:;.本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积的计算,考查计算能力,属于基础题.14.27【解析】

利用等比数列的性质求得,结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.【详解】由等比数列的性质可知,则,.当且仅当时取得最小值.故答案为:.本题考查等比数列的下标和性质,涉及均值不等式求和的最小值,属综合基础题.15.【解析】

计算正四面体的高,并计算该正四面体的体积,利用等体积法,可得结果.【详解】作平面,为的重心如图则,所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为:本题考查类比推理的应用,还考查等体积法,考验理解能力以及计算能力,属基础题.16.【解析】

讨论装球盒子的个数,计算得到答案.【详解】当四个盒子有球时:种;当三个盒子有球时:种;当两个盒子有球时:种.故共有种,故答案为:.本题考查了排列组合的综合应用,意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2),;(3)见解析.【解析】试题分析:(1)根据题意分段表示出函数解析式;(2)将代入(1)中函数解析式可得,即,根据频率分布直方图可分别得到关于的方程,即可得;(3)取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.试题解析:(1)当时,;当当时,;当当时,,所以与之间的函数解析式为.(2)由(1)可知,当时,,则,结合频率分布直方图可知,∴,(3)由题意可知可取50,150,250,350,450,550,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,故的概率分布列为25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以随机变量的数学期望18.(Ⅰ)函数在上单调递减,在单调递增;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,通过解关于导数的不等式,从而求出函数的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax,先求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调性,从而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出数列是以为首项,1为公差的等差数列,,,问题转化为证明:,通过换元法或数学归纳法进行证明即可.【详解】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣1,+∞),,当时,f′(x)<2,当时,f′(x)>2,所以函数f(x)在上单调递减,在单调递增.(Ⅱ)设,则,因为x≥2,故,(ⅰ)当a≥1时,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)单调递减,而g(2)=2,所以对所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)当1<a<1时,2<1﹣a<1,若,则g′(x)>2,g(x)单调递增,而g(2)=2,所以当时,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)当a≤1时,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)单调递增,而g(2)=2,所以对所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;综上,a的最小值为1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an•an+1,由a1=1得,an≠2,所以,数列是以为首项,1为公差的等差数列,故,,,⇔,由(Ⅱ)知a=1时,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因为,所以,故.法二:⇔下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假设n=k(k∈N*,k≥1)时,不等式成立,即,则n=k+1时,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式对任何n∈N*都成立.故.考点:1利用导数研究函数的单调性;1、利用导数研究函数的最值;3、数列的通项公式;4、数列的前项和;5、不等式的证明.19.(1);(2)证明见解析【解析】

(1)将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可;(2)先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】(1)①当时,恒成立,;②当时,,即,;③当时,显然不成立,不合题意;综上所述,不等式的解集为.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)上述三式相加可得(当且仅当时取等号),,故得证.本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用,解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20.(1);(2)【解析】

(1)化简得到,取,解得答案.(2),解得,根据余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【详解】(1).取,解得.(2),因为,故,.根据余弦定理:,..本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,余弦定理,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.21.(1);(2).【解析】

(1)根据题意,求得的值,根据切点在切线上以及斜率等于,构造方程组求得的值;(2)函数有两个极值点,等价于方程的两个正根,,不等式恒成立,等价于恒成立,,令,求出导数,判断单调性,即可得到的范围,即的范围.【详解】(1)由题可知,,,联立可得.(2)当时,,,有两个极值点,,且,,是方程的两个正根,,,不等式恒成立,即恒成立,,由,,得,,令,,在上是减函数,,故.该题考查的是有关导数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,函数的极值点的个数,构造新函数,应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围,属于较难题目.22.(Ⅰ)极小值,极大值;(Ⅱ)或【解析】

(Ⅰ)根据偶函数定义

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