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文档简介
重庆市主城区七校2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测试题数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,则等于().A. B. C. D.2.已知定义在上的奇函数满足,且当时,,则()A.1 B.-1 C.2 D.-23.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.4.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.5.下列说法正确的是()A.命题“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,满足,则C.随机变量服从正态分布(),若,则D.设是实数,“”是“”的充分不必要条件6.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.若复数满足,则的虚部为()A.5 B. C. D.-58.已知函数在上可导且恒成立,则下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长棱长为()A. B. C. D.10.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}时,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.∅11.已知实数满足线性约束条件,则的取值范围为()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]12.若复数满足(为虚数单位),则其共轭复数的虚部为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和,并将两弧各五等分,分点依次为、、、、、以及、、、、、.一只蚂蚁欲从点出发,沿正方体的表面爬行至,则其爬行的最短距离为________.参考数据:;;)14.已知实数,满足约束条件,则的最小值为______.15.已知为椭圆上的一个动点,,,设直线和分别与直线交于,两点,若与的面积相等,则线段的长为______.16.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)△的内角的对边分别为,且.(1)求角的大小(2)若,△的面积,求△的周长.18.(12分)已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点,点,直线的斜率为1.(1)求椭圆的方程;(1)若过点的直线与椭圆交于两点,线段的中点为,是否存在直线使得?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知函数,.(1)若不等式对恒成立,求的最小值;(2)证明:.(3)设方程的实根为.令若存在,,,使得,证明:.20.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)对及,不等式恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)在多面体中,四边形是正方形,平面,,,为的中点.(1)求证:;(2)求平面与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知矩形纸片中,,将矩形纸片的右下角沿线段折叠,使矩形的顶点B落在矩形的边上,记该点为E,且折痕的两端点M,N分别在边上.设,的面积为S.(1)将l表示成θ的函数,并确定θ的取值范围;(2)求l的最小值及此时的值;(3)问当θ为何值时,的面积S取得最小值?并求出这个最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
由已知条件利用诱导公式得,再利用三角函数的平方关系和象限角的符号,即可得到答案.【详解】由题意得,又,所以,结合解得,所以,故选B.本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系,属于基础题.2.B【解析】
根据f(x)是R上的奇函数,并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,而由x∈[0,1]时,f(x)=2x-m及f(x)是奇函数,即可得出f(0)=1-m=0,从而求得m=1,这样便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【详解】∵是定义在R上的奇函数,且;∴;∴;∴的周期为4;∵时,;∴由奇函数性质可得;∴;∴时,;∴.故选:B.本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值,此类问题一般根据条件先推导出周期,利用函数的周期变换来求解,考查理解能力和计算能力,属于中等题.3.C【解析】
根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.4.D【解析】
设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.5.D【解析】
由特称命题的否定是全称命题可判断选项A;可能相交,可判断B选项;利用正态分布的性质可判断选项C;或,利用集合间的包含关系可判断选项D.【详解】命题“,”的否定形式是“,”,故A错误;,,则可能相交,故B错误;若,则,所以,故,所以C错误;由,得或,故“”是“”的充分不必要条件,D正确.故选:D.本题考查命题的真假判断,涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等,是一道容易题.6.B【解析】
根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.【详解】当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,当时,,令当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减,所以当时,取得最大值,因为在上有3个零点,所以当时,有2个零点,如图所示:所以实数的取值范围为综上可得实数的取值范围为,故选:B本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.7.C【解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虚部为.故选C.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.8.A【解析】
设,利用导数和题设条件,得到,得出函数在R上单调递增,得到,进而变形即可求解.【详解】由题意,设,则,又由,所以,即函数在R上单调递增,则,即,变形可得.故选:A.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用,以及利用单调性比较大小,其中解答中根据题意合理构造新函数,利用新函数的单调性求解是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与计算能力,属于中档试题.9.C【解析】
根据三视图,可得该几何体是一个三棱锥,并且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,,再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示:由三视图得:该几何体是一个三棱锥,且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,则,所以,,,,该几何体中的最长棱长为.故选:C本题主要考查三视图还原几何体,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.10.B【解析】试题分析:由集合A中的函数y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函数考点:交集及其运算.11.B【解析】
作出可行域,表示可行域内点与定点连线斜率,观察可行域可得最小值.【详解】作出可行域,如图阴影部分(含边界),表示可行域内点与定点连线斜率,,,过与直线平行的直线斜率为-1,∴.故选:B.本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义,本题表示动点与定点连线斜率,由直线与可行域的关系可得结论.12.D【解析】
由已知等式求出z,再由共轭复数的概念求得,即可得虚部.【详解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共轭复数=-1+,虚部为1故选D.本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据空间位置关系,将平面旋转后使得各点在同一平面内,结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;将平面绕旋转至与平面共面的位置,将绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;因为,且由诱导公式可得,所以最短距离为,故答案为:.本题考查了空间几何体中最短距离的求法,注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法,三角函数诱导公式的应用,综合性强,属于难题.14.【解析】
作出满足约束条件的可行域,将目标函数视为可行解与点的斜率,观察图形斜率最小在点B处,联立,解得点B坐标,即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,该目标函数视为可行解与点的斜率,故由题可知,联立得,联立得所以,故所以的最小值为故答案为:本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.15.【解析】
先设点坐标,由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系,这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来,从而可求得点的横坐标,代入椭圆方程得纵坐标,然后可得.【详解】如图,设,,,由,得,由得,∴,解得,又在椭圆上,∴,,∴.故答案为:.本题考查直线与椭圆相交问题,解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系,解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示.16.1【解析】
该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【详解】模拟程序的运行,可得:,,不满足条件,执行循环体,,,不满足条件,执行循环体,,,不满足条件,执行循环体,,,不满足条件,执行循环体,,,此时满足条件,退出循环,输出的值为1.故答案为:1.本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(I);(II).【解析】
试题分析:(I)由已知可得;(II)依题意得:的周长为.试题解析:(I)∵,∴.∴,∴,∴,∴,∴.(II)依题意得:∴,∴,∴,∴,∴的周长为.考点:1、解三角形;2、三角恒等变换.18.(1)(1)不存在,理由见解析【解析】
(1)利用离心率和过点,列出等式,即得解(1)设的方程为,与椭圆联立,利用韦达定理表示中点N的坐标,用点坐标表示,利用韦达关系代入,得到关于k的等式,即可得解.【详解】(1)由题意,可得解得则,故椭圆的方程为.(1)当直线的斜率不存在时,,不符合题意.当的斜率存在时,设的方程为,联立得,设,则,,,即.设,则,,,则,即,整理得,此方程无解,故的方程不存在.综上所述,不存在直线使得.本题考查了直线和椭圆综合,考查了弦长和中点问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.19.(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】
(1)由题意可得,,令,利用导数得在上单调递减,进而可得结论;(2)不等式转化为,令,,利用导数得单调性即可得到答案;(3)由题意可得,进而可将不等式转化为,再利用单调性可得,记,,再利用导数研究单调性可得在上单调递增,即,即,即可得到结论.【详解】(1),即,化简可得.令,,因为,所以,.所以,在上单调递减,.所以的最小值为.(2)要证,即.两边同除以可得.设,则.在上,,所以在上单调递减.在上,,所以在上单调递增,所以.设,因为在上是减函数,所以.所以,即.(3)证明:方程在区间上的实根为,即,要证,由可知,即要证.当时,,,因而在上单调递增.当时,,,因而在上单调递减.因为,所以,要证.即要证.记,.因为,所以,则..设,,当时,.时,,故.且,故,因为,所以.因此,即在上单调递增.所以,即.故得证.本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题,考查导数的应用,转化思想,构造函数研究单调性,属于难题.20.(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
详解:(Ⅰ)当时,由,解得;当时,不成立;当时,由,解得.所以不等式的解集为.(Ⅱ)因为,所以.由题意知对,,即,因为,所以,解得.⑴绝对值不等式解法的基本思路是:去掉绝对值号,把它转化为一般的不等式求解,转化的方法一般有:①绝对值定义法;②平方法;③零点区域法.⑵不等式的恒成立可用分离变量法.若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围.这种方法本质也是求最值.一般有:①为参数)恒成立②为参数)恒成立.21.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)首先证明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、
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