奇偶性（8大题型）完整版讲

奇偶性重点：1、函数奇偶性的概念与几何特征；2、判断函数的奇偶性．难点：1、函数的奇偶性与单调性结合问题；2、函数奇偶性的判定.一、函数奇偶性的定义1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。偶函数的性质：，可避免讨论．二、奇函数、偶函数图象对称性的推广在定义域内恒满足的图象的对称轴（中心）直线直线直线点点点三、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论：（1）如果或，则函数为偶函数；（2）如果或，则函数为奇函数．2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：偶偶偶偶偶偶奇不确定奇偶奇偶不确定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在中，的值域是定义域的子集4、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.四、函数奇偶性的应用函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用。1、由函数的奇偶性求参数若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。2、由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得（3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出.五、函数奇偶性与单调性的综合应用1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；2、区间和关于原点对称（1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值；（2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值；3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较。注意：由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响。题型一函数奇偶性的判断【例1】（2022秋·天津·高一校考阶段练习）下列函数中，为偶函数的是（）A．=B．=C．=+D．=x+【答案】B【解析】选项A中，函数定义域是，函数没有奇偶性；选项B中，函数定义域是，，是偶函数；选项C中，函数定义域是，函数没有奇偶性；选项D中，函数定义域是，，函数是奇函数．故选：B．【变式11】（2023·全国·高一专题练习）函数的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数【答案】A【解析】若，则，则；若，则，则.又，满足.所以，又函数的定义域为，关于原点对称，因此，函数为奇函数.故选：A.【变式12】（2022·上海·高一专题练习）下列函数中，不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对选项A，函数的定义域为，解得的定义域为，定义域关于原点对称，且，故是偶函数.B选项，函数的定义域为，解得，定义域关于原点对称，则，，所以函数是偶函数.C选项，当，，所以不是偶函数.D选项，，的定义为，当，，当，所以函数为偶函数.故选：C【变式13】（2022秋·山东枣庄·高一校考期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，函数关于对称，函数的图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到为奇函数.故选：D题型二利用奇偶性求函数值【例2】（2023秋·全国·高一专题练习）设为上的奇函数，且当时，，则（）A．12B．C．13D．【答案】C【解析】因为为上的奇函数，所以，，所以.故选：C【变式21】（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且，则.【答案】【解析】由函数是定义在上的奇函数，则，，由，则.故答案为：.【变式22】（2022秋·山东枣庄·高一校考期中）已知与分别是定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】分别令取1和1得，因为与分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，解的.故选：C.【变式23】（2023秋·吉林长春·高一校考期末）已知函数为定义在上的奇函数，则（）A．1B．C．D．3【答案】B【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，解得，又，即，则，所以.故选：B.题型三奇函数+常数型求值【例3】（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（）A．3B．1C．1D．5【答案】B【解析】设，定义域为，则，故为奇函数，又，则，所以.故选：B【变式31】（2023·全国·高一假期作业）已知函数其中a，b为常数，若求.【答案】【解析】；故答案为：【变式32】（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在区间上的奇函数，，则的最大值与最小值之和为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因为与的单调性相同，且为奇函数，设在处取到最大值，则在处取到最小值，可得，且在处取到最大值，在处取到最小值，所以.故选：C.【变式33】（2023秋·湖北武汉·高一校联考期末）设函数的最大值为，最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，可令，则，为定义在上的奇函数，，则，.故选：D.题型四利用奇函数求参数【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知是奇函数，则（A．B．C．0D．1【答案】C【解析】由题设，则，而满足题设.所以.故选：C【变式41】（2023秋·上海松江·高一校考期末）若函数是定义在上的奇函数，则.【答案】1【解析】因为函数是定义在上的奇函数所以，解得.因为，所以，解得.所以.【变式42】（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则．【答案】2【解析】函数是定义在区间上的偶函数，得，所以，解得，且定义域关于原点对称，所以，解得，所以．【变式43】（2022秋·江西·高三宁冈中学校考期中）已知函数是偶函数，其定义域为，则.【答案】5【解析】因为函数是偶函数，其定义域为，所以，即，又，即，则，所以，则．题型五利用奇偶性求解析式【例5】（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（）A．B．C．D．以上都不对【答案】A【解析】设，则，又.故选：A【变式51】（2023·全国·高一专题练习）已知奇函数则．【答案】【解析】当时，，，则．【变式52】（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为.【答案】（或）【解析】根据题意可知，当时，，则，又函数是定义在上的偶函数，所以，因此当时，，所以的解析式为.【变式53】（2023秋·河南许昌·高一校考期末）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，．所以，，即，因此，.故选：D.题型六利用奇偶性与单调性解不等式【例6】（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由于为奇函数，所以，在区间上单调递减，故在区间上也单调递减，故在单调递减，由得，所以，解得，故答案为：【变式61】（2022秋·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中）已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则不等式的解集是．【答案】【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，则，为奇函数，且，在是减函数，∴，在内是减函数，函数图象草图如图，则不等式的解集为；故答案为：．【变式62】（2022秋·天津·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】函数是定义在上的偶函数，所以，对于任意不等实数，不等式恒成立，所以在上单调递减，所以，解得.故选：C.【变式63】（2023春·河北石家庄·高一校考期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，所以，且，因为在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，当时，则，故，当时，则，故，综上：的解集为.故选：B题型七利用奇偶性与单调性比大小【例7】（2022秋·海南海口·高一海口一中校考期中）设偶函数在区间上单调递增，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，又在区间上单调递增，，所以，则.故选：B【变式71】（2023·全国·高一专题练习）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在上单调递增，∵是奇函数，则在上单调递增，由，可得，B错误，D正确；虽然由题意可得在，上单调递增，但是由已知条件无法判断是否在定义域内单调递增，则A、C无法判断正误，即A、C不一定成立；故选：D.【变式72】（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调减函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图像关于直线对称，∴，又函数在上为单调减函数，∴，即，∴，故选：C.【变式73】（2022秋·江西南昌·高一统考期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列所给结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于AB，因为，所以，又为偶函数，则，因为在上单调递减，所以，从而，因此选项A正确，B错误；对于CD，因为，所以，因为为偶函数，所以，因为在上单调递减，所以，所以，所以选项C正确，D错误，故选：AC.题型八抽象函数的奇偶性与单调性【例8】（2023·全国·高一专题练习）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（）A．若和都是奇函数，则是奇函数B．若和都是偶函数，则是偶函数C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数【答案】B【解析】对于A，因为和都是奇函数，所以，，令，则，所以是偶函数，故A错误；对于B，因为和都是偶函数，所以，，令，则，所以是偶函数，故B正确；对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，，令，则，所以是奇函数，故C错误；对于D，因为和都是奇函数，所以，，令，则，所以是奇函数，故D错误.故选：B【变式81】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（）A．为奇函数B．为奇函数C．为偶函数D．为偶函数【答案】BCD【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误；由，得，所以为奇函数，B项正确；因为，所以为偶函数，C项正确；因为，所以为偶函数，D项正确.故选：BCD.【变式82】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（）A．B．C．为偶函数D．为奇函数【答案】BCD【解析】由为奇函数，可得，即，又因为，所以，即,所以，所以，故选项A错误；由，得，由，得，所以，故选项B正确；由，，得，所以为偶函数，故选项C正确；由，，可得，所以，即，故为奇函数，故选项D正确.故选：BCD【变式83】（2023秋·高一课时练习）函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（）A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】C【解析】对任意的实数x，y，，有成立，令，则有，又，因此，显