初中数学中考复习基础知识讲解

初中数学中考复习基础知

识讲解汇总

第

数与式页

第

01页

方程（组）与不等式（组）

第

04页

函数07

页

第

四三角形10

五四边形-------------------------------------第12页

六圆-----------------------------------------第14页

七图形的相似---------------------------------第16页

八视图与投影.................................第18页

九图形变换-----------------------------------第19页

十统计与概率.................................第20页

数与式

1.实数.

网

相反阈

地对值|

大小比较|

有理物一

加法法则|

碌法法则|

H运算法则卜一乘法法则|

’除法法则|

_乘方f1—丽初一|平木平方根।

I混合运算I

|近似敷，袱敷字|一~~

,_____,------------|二山I运

--[^]1---1

考查重点：（1）有理数、无理数、实数、非负数概念；

（2）相反数、倒数、数的绝对值概念；

（3）在已知中，以非负数a?、|aha（a20）之和为零作为条件，解决有关问题.

（4）考查实数的运算（有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数

法、近似数与有效数字、计算器功能金建及应用.）

2.整式与分式.

整式知识点：代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、

幕的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、因式分解.

整式考查重点：（1）考查列代数式的能力；（2）考查整数指数幕的运算、零指数.

（3）掌握并灵活运用提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）进行因式分解.

分式：

r分式"

’分式的有关概念I有理式“

最简分式3

分式彳〔最简公分母

分式的基本性质一

、分式的运算。

分式考查重点：（1）考查整数指数嘉的运算，零运算；（2）考查分式的化简求值.

3.二次根式.式子痴（aNO）叫做二次根式.

考查重点：（1）了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次

根式和同类二次根式.掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取

值范围将二次根式化简；

（2）掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母

有理化.

新题演练：

新题1：在实数一二，0,石，-3.14,—,V4,-0.1010010001…（每两个1之间依次

32

多1个0）,sin30。这8个实数中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断.首先明确无理数的概

念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如

1

A/4=2是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数.同

样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等.而一0.1010010001…

TT

尽管有规律，口但它是无限不循环小数，是无理数.一是无理数，而不是分数.在上面所

2

给的实数中，只有百，—,-0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，

2

故选C.

答案：c

新题2：已知x、y是实数，且j3x+4+(y2—6y+9)=0,若axy—3x=y,则实数a的值是

()

1177

A.—B.——C.-D.——

4444

解析：若几个非负数之和等于零，则每个非负数均等于零.这是非负数具有的一个重要性

质.本题中：J3X+4和(y-3)2均为非负数，它们的和为零，只有3x+4=0,且y—3=0,

由此可求得x,y的值，将其代入axy—3x=y中，即求得a的值.

4

答案：＜3x+4+(y—3)2=0/.3x+4=0,y—3=0X=——y=3.

3

4,4、

Vaxy-3x=y,——x3a—3x(——)=3/.a=—.••选A

4

新题3：若a,b,c是三角形三边的长，则代数式a?+b2—c2—2ab的值()

A.大于零B.小于零C.大于或等于零D.小于或等于零

解析：本题是确定代数式的取值范围与因式分解的综合题，□把所给多项式的部分因式进行

因式分解，再结合“a,b,c是三角形的三边“，应满足三角形三边关系是解决这类问题的

常用方法.

答案：(1)*.*a2+b2-c2-2ab=(a2-2ab+b2)~c2=(a-b)2—c2

=(a-b+c)(a-b—c),

XVa,b,・c是三角形三边的长.

a+c>b,a<b+c,BPa——b+c>0,a——b——c<0

(a-b+c)(a~b—c)<0

即a2+b2—c2—2ab<0,故选B.

(y2-42-xyx

新题4：先化简2+〜~+一一，然后请你任取一个合适的数作为x的值代入

x—4-x+4x+2Jx—2

求值.

解析：本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序.先乘除后加

减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号.

'%2-42-x^x_(%+2)(x-2)*1一2x-2x-2_x+2(x-2)2

-4x+4x+2)x-2(x-2)2xx+2xxx(x+2)

2

(X+2)2-(X-2)2

----.取值时要考虑分式的意义，即x手±2.

x(x+2)x+2

"%2-42-x].x

答案:原式=+

、—4%+4x+2,x—2

_(x+2)(x-2)x-2x-2x-2_x+2(x-2)2

(九一2)2xx+2xxx(x+2)

=(x+2,-(：-2)2=旦(X只要不取±2均可)

x(%+2)x+2

取x=6,得原式二1

3

二方程（组）与不等式（组）

1.一元一次方程.

知识点：等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程.

考查重点：掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程.

2.二元一次方程（组）.

了解二元一次方程组及其解法，并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.

重点：掌握消元思想，熟练地解二元一次方程组.会用二元一次方程组解决一些简单的实际

问题.

难点：图象法解二元一次方程组，数形结合思想.

3.一元二次方程.

知识点：一元二次方程、解一元二次方程及其应用、一元二次方程根的判别式、判别式与根

的个数关系.

考查重点：（1）了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式；

（2）会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；

（3）能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题.

4.分式方程.

考查重点：（1）会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程；

（2）分式方程及其实际应用.

5.一元一次不等式（组）.

知识点：不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等式组的

解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组，一元一次不等式组应用.

考查重点：考查解一元一次不等式（组）的能力.

新题演练：

新题1：已知关于x的方程4x—3加=2的解是x=机，则m的值是.

解析：本题考查了一元一次方程解的意义.因％=机是该方程的解，所以代入后方程仍然成

立，即：4m—3加=2,解这个关于m的方程得m=2.

答案:m=2

[x+y=5k,

新题2：若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,

[x-y=9k

则A的值为

3

解析：由方程组得2x=14尤y=-2k.代入2x+3y=6,得144-64=6,解得〃=巳.

4

答案：B

新题3：解方程：%2+4-x+2=0

解析：根据方程的特点，灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解.

答案：d+4%=_2f+4x+4=_2+4（x+2）2=2

x+2=+V2x=+A/2—2

4

x\=—2,xi=—A/2—2

新题4：解方程：二_1=Y—.

解析：由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是——去

分母法，并且在解此方程时必须验根.去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分

解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整

式方程.注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法.

答案：解:去分母得：(x—2)2—(/—4)=3.

.匚5

—4x=-5.x=—.

4

经检验，x=工是原方程的解.

4

x—3

新题5：解不等式组：<亍+>%+’并在数轴上把解集表示出来.

l-3(x-l)W8-x

解析：一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在

不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作

其他变形.注意：①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号.同时，用分母

去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，

不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x<a或x>时，不包括数

轴上a这一1点，则这一点用圆圈表示；当解集是xWa或x》a时，包括数轴上a这一点，则

这一点用黑圆点表示；④解不等式(组)是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握.

答案：解：解不等式(1)得尤<1,解不等式(2)得xN—2.

-201

所以不等式组的解集为-2Wx<1

新题6：在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独完

成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.

(1)乙队单独完成这项工程需要多少天？

(2)甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计

划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还

是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

解析：本题主要考查分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x□的值是否是方程的解，

再检验是否符合题意.

答案：解：(1)设乙队单独完成需尤天

根据题意，得工><20+(1+工)><24=1

60x60

解这个方程，得x=90

经检验，x=90是原方程的解

乙队单独完成需90天

5

（2）设甲、乙合作完成需y天，则有（2+*）y=l

解得y=36（天）

甲单独完成需付工程款为60X3.5=210（万元）

乙单独完成超过计划天数不符题意.

甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）

答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱.

6

三函数

1.函数基本概念.

知识点：常量与变量、函数与自变量、函数表示方法.

考查重点：（1）考查自变量的取值范围，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取

值范围；（2）函数自变量的取值范围.

2.一次函数.

知识点：正比例函数及其图象、一次函数及其图象.

考查重点：（1）考查正比例函数、一次函数的定义、性质；（2）综合考查正比例、一次函数

的图象；（3）考查用待定系数法求正比例、一次函数的解析式.

3.二次函数.

厂|抛物线|

—I开口方向I

二次函数-fgU————gag]

T三种表示向I

T二次函数与一元二次方程的关莉

知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向.

考查重点：（1）考查二次函数的定义、性质；（2）综合考查正比例、反比例、一次函数、二

次函数的图象；（3）考查用待定系数法求二次函数的解析式；（4）考查用配方法求抛物线的

顶点坐标、对称轴、二次函数的极值；（5）考查代数与几何的综合能力，常作为专项压轴题.

4.反比例函数.

知识点：反比例函数意义；反比例函数反比例函数图象；反比例函数性质；待定系数法确

定函数解析式.

考查重点：（1）确定反比例函数表达式；（2）画反比例函数的图象；（3）用反比例函数解决

某些实际问题.

新题演练：

新题1：如图，已知一次函数y=x+l的图象与反比例函数y=七的图象在第一象限相交于

X

点A,与X轴相交于点C,轴于点5,△AQB的面积为1,则AC的长为

（保留根号）.

解析：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点

7

所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即s=g%],

y=x+l

由网=2,且图象在第一象限内，所以左=2,由12得点A坐标为（1,2）,而y=%+l

y=­

lX

与X轴的交点坐标为（-1,0）,所以AB=2,BC=2.由勾股定理得AC=12?+2?==2后

答案：2四

新题2：某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价,

且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=辰+6,

且x=65时，y=55;尤=75时，y=45.

（1）求一次函数y=+6的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价尤之间的关系式；销售单价

定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润恰好是500元，试确定销售单价尤是多少元？

解析：（1）根据一次函数解析式的特征，直接根据题意列出二元一次方程组，就可以求出一

次函数的解析式.（2）在确定函数关系式时，特别注意自变量的取值范围，由本题中“试销

期间销售单价不低于成本单价“得xe60,由“获利不得高于45%”得xW（1+45%）X60,

即xW87,因此6OWxW87.对于求出二次函数的最值问题，同时要考虑在自变量的取值范

围；（3）这个问题是把二次函数问题转化为一元二次方程来考虑，要注意的是求出的结果必

须要在二次函数的自变量的取值范围内.注意：在二次函数中通过求函数的最大（小）值以

解决求实际问题的最大利润、最优方案等，首先考虑利用二次函数y=ax2+bx+c当x=-_L时，

2a

y取最大（小）值也叱来求，但当x=-_L不在自变量的取值范围时，可利用二次函数的

4〃2a

增减性由一个变量的极端值求另一变量的极值.

答案：（1）根据题意得[65左+6=55，解得心T,辰⑵.

175左+6=45.

所求一次函数的表达式为y=-x+120.

（2）W=（x-60）.（-x+120）=—f+lSOx—7200=-（了-90）2+900,

•.・抛物线的开口向下，,当x<90时，卬随x的增大而增大，而60WxW87,

二当x=87时，W=-（87-90）2+900=891.

二当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元.

（3）由W=500,500=-x2+180.x-7200,整理得，X2-180%+7700=0,

解得，玉=70,无2=110.因为60《尤W87,所以，销售单价x=70.

新题3：如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶

点为A（-l,0）,B（0,®）,0（0,0）,将此三角板绕原点。顺时针

旋转90。,得到

（1）如图，一抛物线经过点A、B、B,,求该抛物线解析式;

8

(2)设点尸是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形鹤"的面积达到最大时点P的

坐标及面积的最大值.

解析：函数是用运动的观点观察事物发展的全过程，利用函数的性质可求最大(小)值.在

问题2中，用分割方法把四边形PA45'分成四个三角形，用点尸的坐标表示其面积，从而建

立函数关系式.

答案：(1):抛物线过4-1,0),8'(也,0).

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(%-6)("0).

又：抛物线过3(0,6)，将坐标代入上解析式得:

石=aAx(-6),a=-1.y=—(%+l)(x—>/3).

即满足条件的抛物线解析式为丁=-/+(代-l)x+g.

(2)如图1,•••「为第一象限内抛物线上一动点，

设尸(x,y),则尤>0,y>0.P点坐标满足、=一/+(6-1)了+代

连接PB,PO,PB'.

S四边形PBAB'=SABAO+S&PBO+'△POB'

2

此时，y_3+2即当动点P的坐标为(且过2叵］时,

412'4J

S«最大，最大面积为以衿

9

四三角形

1.三角形的有关概念.

知识点：三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内

角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定.

考查重点：三角形三边关系，三角形内外角性质.

2.等腰三角线与直角三角形.

考查重点：（1）等腰（等边）三角形的判定与性质；（2）运用等腰（等边）三角形的判定与

性质解决有关计算与证明问题；（3）运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数

量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题；（4）折叠问题；（5）将直角三角形，

平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用.

3.全等三角形.

知识点：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定.

考查重点：论证三角形全等，线段的倍分.

新题演练：

新题1：如果三角形的两边分别为3和5,那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的

周长可能是（）

A.4B.4.5C.5D.5.5

解析：本题考查三角形三边关系、中位线定理，三角形的两边分别为3和5,所以第三边一

定大于2小于8,连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长等于原三角形周长的一半，

所以一定大于5小于8,故选D.

答案：D

新题2：如图，将三角尺的直角顶点放在矩形直尺的

一边上，则N3的度数等于（）一

A.50°B.30°C.20°D.15°

解析：从条件中可得勿故N2=N4.

又；N4=N1+N3,AZ2Z1+Z3,

AZ3=Z2-Z1=50°-30°=20°.故答案选C--

答案：c

新题3：如图，AD±CD,AB=13,BC=12,CD=3,AD=4,

则sinB等于（）

51234B

A.—B.—C.一D.一

131355

解析：由AD_LDC,知AADC为直角三角形.

由勾股定理得：AC-AD2+DC2=32+4-5,AC=5,

在4ACB中，VAB=169,BC2+AC-52+122=169,

.*.AB2=BC2+AC2.

AC=色

由勾股定理的逆定理知：AABC是直角三角形.・・.sinB=——

AB~13'

答案：A

新题3：如图所示，NBAC=NABD,AC=BD,点。是被切的交点,点£是力8的中点.试判

断〃和47的位置关系,并给出证明.

解析：首先进行判断：OEVAB,由已知条件不难证明△rD

班必△/劭，得NO18再利用等腰三角形“三线>ky

,1EB

10

合一”的性质即可证得结论.解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的

性质等知识.

答案：OELAB.

证明：在△加。和中，

A(=BD,

</BAC=/ABD,I.△为百△/初.:.NOBA=/OAB,：.0A=OB.

AB^BA.

又•：AE=BE,：.OELAB.

11

五四边形

1.平行四边形.

考查重点：（1）平行四边形的概念和面积的求法；（2）平行四边形的性质和判定；（3）理解

平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分；（4）平行四

边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题.

2.矩形、菱形、正方形.

考查重点：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对

角线长、面积等的计算.

新题演练：

新题1：如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长

方形的周长可以是.

解析：本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力.解答本题最好能将所有的拼法画出

来后再进行求解.本题的不同拼法有：

答案：14或16或26

新题2：如图，在菱形ABCD中，ZA=110°,E,F分别是边AB和

BC的中点，EPLCD于点P,贝UNFPC=（）

A.35°B.45°C.50°D.55°

解析：解答本题应首先延长PF交AB的延长线于点G,根据题意，利用

角角边可证明ABG/之ACPE,于是得到NEPC=NG,PF=FG,所

以在RtAEGP中，EF是斜边上的中线，于是得到FE=FG,所以

ZG=ZFEG,又因为E、F分别为中点，所以EB=FB,所以，FE=FG=BF,

所以NFPC=NG=NBEF=ZBFE,又因为NA=110°,所以

ZEBF=70°,因此，2NFPC+70°=180°,解得ZFPC=55°.

答案：D

新题3：如图1,在正方形ABCD中，E,F,G,//分别为边

AB,BC,CD,ZM上的点，曲=班=/。=8,连接成7,FH,交

点为。.

（1）如图2,连接ERFG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;

图3

（2）将正方形ABCD沿线段EG,板剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接

成一个四边形.若正方形ABCD的边长为HA=EB=FC=GD=lcm,则图3中

12

阴影部分的面积为cm2.

解析：（1）结合条件观察图形2容易发现：AAEH丝ABFE咨ACGF段4DHG,得

出：四边形EFGH是菱形；再由△DHG/△AEH可知：ZDHG+ZAHE=90°,从而证

得四边形ER汨是正方形.（2）连接EH、HG、GF、FE,由第（1）小题可知：四边形EFGH

是正方形，可得阴影部分面积是1.

答案：（1）四边形ER汨是正方形.

证明：•.・四边形ABCD是正方形，

ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=BC=CD=DA.

\HA=EB=FC=GD,:.AE=BF=CG=DH.

:.AAEH^ABFE^ACGF^ADHG.:.EF=FG=GH=HE.

四边形ER汨是菱形.

由ADHG^AAEH知ZDHG=ZAEH.

-.■ZAEH+ZAHE=90°,:.ZDHG+ZAHE=9Q°.

.•.NGHE=90°..•.四边形EEGH是正方形.

（2）1.

13

六圆

1.圆的有关概念与性质.

考查重点：（1）圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念；（2）掌握并灵活运用垂径

定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论；（3）理解并掌

握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点.

2.与圆有关的位置关系.

知识点：直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角

的定理、相交弦、切割线定理.

考查重点：（1）考查两圆位置关系中的相交及相切的性质；（2）证明直线是圆的切线；（3）

论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等，此种结论的证明重点考查了

全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，

弦切角等有关圆的基础知识；

3.与圆有关的计算.

考查重点：（1）灵活求解圆周长、弧长以及圆、扇形、弓形和简单的组合图形的面积；

（2）能进行圆柱、圆锥的侧面积、全面积的计算，了解它们的侧面展开图，这也是重点和

中考执占

新题演练：,----、

新题1：如图，在RtZ\ABC中，NC=90°,AB=10,若以点C为圆心，/、

CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于（）（C

A.5百B.5C.572D.6\y

A4---------

解析：本题考查圆中的有关性质，连接CD,VZC=90°,D是AB中U

点，AB=10,,-.CD=-AB=5,ABC=5,根据勾股定理得AC=5行，故选A.

2

答案：A

新题2：如图所示，AB是。。直径，。。，弦8。于点/，且交。O

于点E,若ZAEC=NODB./

（1）判断直线班＞和。。的位置关系，并给出证明；

（2）当AB=10,BC=8时，求的长.

解析：圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆4H―Q―

的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端\J

且和这条半径垂直的直线是圆的切线.在证明时一定要根据题目已知

条件合理选择.

答案：（1）直线和。。相切.

证明：VZAEC=AODB,ZAEC=AABC,

：.ZABC=ZODB.-：OD±BC,：.ZDBC+ZODB=90°.

：.ZDBC+ZABC=90°.即ND3O=90°..•.直线BD和。O相切.

（2）连接AC.：AB是直径，.•.NACB=90°.

在RtZkABC中，AB=10,BC=8,：.AC=^AB2-BC2=6.

•.•直径AB=10,03=5.

由（1）,BD和。。相切，

ZOBD=90°.AZACB=ZOBD=90°.

由（1）得NABC=NODB,

ATBC

：.AABC^AODB.：.——

OBBD

.6蔡，解得加=？.

1,5

新题3：如图，在RtZXABC中,ZC=90°,AC=4,3C=2,分别以AC.BC为直径画

半圆，则图中阴影部分的面积为.（结果保留兀）

解析：本题考查直角三南形，扇形面积，由图可知阴影部分的

面积=半圆AC的面积+半圆BC的面积-RtZkABC的面积，所

以S阴影=—n*22+—TT42x2x4=—71-4,故填9■兀一4.

22222

答案：-71-4

2

15

七图形的相似

1.相似三角形.

考查重点：（1）了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质；（2）探

索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题；（3）

掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小.

2.锐角三角函数.

考查重点：（1）求三角函数值，特别是记忆30°、45°、60°的三角函数值；（2）考查互

余或同角三角函数间关系；（3）求特殊角三角函数值的混合运算；（4）已知三角函数值会求

出相应锐角；（5）掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是考试中的热点.

3.解直角三角形及其应用.

考查重点：（1）掌握并灵活应用各种关系解直角三角形；（2）了解测量中的概念，并能灵活

应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造

直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点.

新题演练：

新题1:如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DEji

交AC于点F,AC,DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分太江二

别为Si，S2,S3,S4.下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：E/卡（兴/

ED=1：2；③Si：S2：S3：S4=l：2：4：5.其中正确的结论是（），S,、/

A.①③B.③C.①D.①②B，-----------乂

解析：：AB〃DC,...△AEFDs^CDF,□但本题还有一对相似三角形是aABC□丝ZkCDA（全

等是相似的特例）.

AEEF

二①是错的.,...②EF：ED=1：2是错的.

CDDF2

SAAEF：SACOF-1:4,SAAEF：SAADF=1:2..,.Si：S2:S3:s4=1:2：4：5,③正确.

点拨：①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面

积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于

其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，

在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离

出基本的相似三角形.

答案：B

3

新题2:已知在RtAABC中，NC=90°,sinA=1,贝UtanB的值为（）

解析：本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTAABC中，Z0=90°,则sinA=0,

c

63

tanB=—和“?+从=02；由sinA=—知，如果设a=3x,则c=5x,结合=c?得

a5

b4九4

b—Ax；tanB=—=——=—,所以选A.E

a3x3.

答案:A/

新题3：如图，为了测量我国最长的跨海大桥南航道A型独塔斜〃

拉桥桥墩的高度，小华站在桥面B处用测角仪测得桥墩顶点E//

人力5。/55。

BCG

的仰角为45°,在桥面C处用测角仪测得顶点£的仰角为55°,已知测角仪高AB=1米,BC=50

米，桥面到海平面的距离为6米，求该桥墩海平面以上高度是多少？（精确到1米，参考

数据：sin55°^0.82,cos55°心0.57,tan55°七1.4）

解析：用锐角三角函数解决实际问题.分别在直角4AEF和直角4ECF中正切函数求解线段的

长度.解决问题的关键在于寻找合适的直角三角形和合适的三角函数，这样会给解题带来方

便.

EF

答案：在4AEF中，——=tan45°..,.AG=EF.

AG

EFEF

在4ECF中——=tan55°,；.CG=

CGtan550'

LLEF

：.EF------50

1.4

.•.EF^175,EG=176,176+5=181

答：该桥墩海平面以上高度约是181米.

17

八视图与投影

知识点：几何体的三视图、侧面展开图、视点、视角、盲区、投影.

考查重点：（1）考查几何体的三视图；（2）考查根据光线的方向辨认实物的阴影；（3）掌握

中心投影与平行投影的区别与联系.

新题1：一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组

成该几何体所需小正方体的个数最少为（）

A.3B.4C.5D.6

解析：本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长|||匚

和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽.由题中土现图的祝困

所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧

一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，

出可能两行都是两层.所以图中的小正方体最少4块，最多5块.

答案：D

新题2:（1）如图1是同一时刻的两棵树及其影子，请你在图中画出形成树影的光线，并判

断它是太阳光线还是灯光的光线？若是灯光的光线，请确定光源的位置.

（2）请判断如图2所示的两棵树的影子是在太阳光下形成的，还是灯光下形成的？

并画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）.

图J.图2

分析：本题是由树及其影字寺找光线，具体方法是过树的顶端及其影子的顶端作两条直线作

为光线，若两条直线平行，则是太阳光线；若两条直线相交，则是灯光光线，其交点就是光

源的位置.

答案：（1）如图1所示是灯光的光线.原因是过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，

再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线相交，其交点就是光源的位置.

（2）如图2所示，是太阳光的光线.原因是过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，

再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线平行.然后再过旗杆的顶端作一条

与己知光线平行的直线，交地面于一点，连接这点与旗杆底端的线段就是旗杆的影子.

18

九图形变换

1.轴对称与中心对称.

考查重点：（1）理解轴对称和轴对称图形的联系与区别，会判断一个图形是否是轴对称图

形或中心对称图形；（2）掌握轴对称的基本特征，并能用这些特征解决简单的问题（如折叠）;

（3）能用轴对称和中心对称的性质设计图案.

2.平移与旋转.

考查重点：（1）主要考查平移和旋转的基本性质；（2）会按要求画出平移图形或进行图案设

计；（3）灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.

新题演练：

新题1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

”念。

A、B、C、D、

解析：本题主要考查轴对称、中心对称的概念.由轴对称和中心对称的概念可知，/、8仅为

中心对称图形，C仅为轴对称图形，。既是轴对称图形又是中心对称图形.

答案：D

新题2：将△ABC先向右平移5个单位，再向下平移三个单位后得△AEC,已知4（-2,3）,

夕（-4,-1）,则A、8两点的坐标分别为（）

4（3,6）,（1,2）B.（-7,6）,（-9,2）

C.（m-2,%-3）,（加-4，〃-4）D.以上都不对

解析：本题考查的相关知识点：用坐标表示平移；点的平移与点坐标的变化；图形的平移相

当于图形上各点的坐标进行相应的变化.解题思路：将△48C平移,可以看作把△?!宓中各点

分别平移，向右平移5个单位，相当于各点的横坐标都加上5,向下平移3个单位，相当于

各点的纵坐标都减去3,由此可求得48的坐标.

答案：B.

新题3：如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，AABC的三个顶

点均在格点上.

（1）填空：AA8C是—三角形，它的面积等于—平方单位.

（2）将AACB绕点8顺时针方向旋转90,在方格图中用直尺画出旋

转后对应的A4C5,则，点的坐标是（,）,

C点的坐标是（,）.

解析：先根据题意，借助网格图，确定旋转中心和旋转方向以及旋转

角度.关键是确定关键点，以点带线，以线带面来进行画图.另外在网

格或坐标系中求三角形面积常用的方法是“割补法（1）方法一：计算三条边利用勾股定

理逆定理来判断三角形的形状.方法二：利用两个三角形全等，判断三角形的形状.（2）旋

转中心为B,旋转方向是顺时针，旋转角度为90°,由网格图易得4',C,在图中描出

对应点C,再画出对应的三角形即可.

答案：（1）等腰直角，5；（2）画图略；（3,3）,（0,2）.

19

十统计与概率

1.统计部分.

条形统计图

三种统计图扇形统计图

折线统计图

中位数

平均数（加权平均数）

统计四种重要特征数

众数

方差

频数、频率及频数分布直方图

[抽样调查

（普查

平均数、众数及中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和适用

范围有所不同.平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会

相应引起平均数的变动.众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的

部分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统

计量，中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响.当一组

数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势.

方差：我们通常用§2表示一组数据的方差，用最表示一组数据的平均数，%、/、…

表示各个原始数据.S1——[