第五章 微专题32　开普勒行星运动定律　万有引力定律-2025年高中物理《加练半小时》新教材版

第五章万有引力与宇宙航行微专题32开普勒行星运动定律万有引力定律1．开普勒第三定律同样适用于卫星围绕地球的运动，其中k由中心天体决定。2.万有引力和重力的关系：(1)考虑星球自转时，物体所受重力为万有引力的分力。赤道上：mg＝eq\f(GMm,R2)－mRω自2；两极处：mg＝eq\f(GMm,R2)；赤道和两极外地区：重力不指向地心。(2)忽略星球自转时，重力等于万有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)。3.天体质量和密度的估算：(1)由g、R估算：mg＝Geq\f(Mm,R2)；(2)由T、r估算：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)。1．研究发现，银河系中有一种看不见但很重的物体，促使一些恒星在其周围转圈。其中一颗恒星S2完整轨道如图所示，它绕银河系中心运动的周期约16年。椭圆轨道的半短轴约400AU(太阳到地球的距离为1AU)，根据离心率可以判断轨道的长轴约为短轴的2.5倍，研究中可忽略其他星体对S2的引力，则银河系中心质量与太阳质量之比约为()A．3×107B．6×107C．4×106D．6×109答案C解析由开普勒第三定律可知，恒星S2的运行周期与轨道半径等于其半长轴r的重物绕银河中心做圆周运动的周期，有Geq\f(M银m重,r2)＝m重eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，M银＝eq\f(4π2r3,GT2)对绕太阳做圆周运动的地球有Geq\f(M日m地,r地2)＝m地eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)))2r地，M日＝eq\f(4π2r地3,GT地2)且由题可知r＝400r地×2.5＝1000r地T＝16T地则有eq\f(M银,M日)＝eq\f(r3T地2,r地3T2)≈3.9×106，故选A。2．(2023·海南省期末)航天员在某星球将一物体竖直向上抛出，其运动的x－t图像是如图所示的抛物线，已知该星球的半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度取10m/s2，设地球质量为M，则该星球的质量为()A．MB.eq\f(8,5)MC．2MD.eq\f(6,5)M答案B解析由题图可知，5～10s物体从最高点下降的最大位移为50m，可得h＝eq\f(1,2)at2，解得该星球表面处重力加速度a＝4m/s2，在地球表面满足g＝Geq\f(M,R2)，在该星球表面满足a＝Geq\f(M′,2R2)，联立解得该星球质量M′＝eq\f(8,5)M，B正确。3．飞船运行到地球和月球间某处时，飞船所受地球、月球引力的合力恰好为零。已知地球与月球质量之比为k，则在该处时，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离之比为()A．k2B．kC.eq\r(k)D.eq\f(1,k)答案C解析设地球质量与月球质量分别为m1、m2，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离分别为R1、R2，飞船质量为m，飞船所受地球、月球引力大小相等，则有Geq\f(m1m,R12)＝Geq\f(m2m,R22)，解得eq\f(R1,R2)＝eq\r(\f(m1,m2))＝eq\r(k)，故选C。4．(多选)如表格中列出一些地点的重力加速度，表中数据的规律可表述为：随着地面上地点纬度的增大，该处的重力加速度增大。已知地面不是标准球面，纬度越大的地点半径越小，这是形成表格所示规律的原因，以下说法正确的有()地点纬度重力加速度赤道海平面0°9.780m/s2马尼拉14°35′9.784m/s2广州23°06′9.788m/s2上海31°12′9.794m/s2东京35°43′9.798m/s2北京39°56′9.801m/s2莫斯科55°45′9.816m/s2北极90°9.832m/s2A.地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力大小之差B．地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大C．地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而增大D．地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大答案BD解析地面物体的重力等于所受地球引力与随地球自转所需向心力矢量之差，故A错误；由题意可知，地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大，故B正确；由F向＝mω2r且纬度越高的地点半径越小可得地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而减小，故C错误；如图所示，可得出地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大，故D正确。5．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A.eq\f(3πg0－g,GT2g0) B.eq\f(3πg0,GT2g0－g)C.eq\f(3π,GT2) D.eq\f(3πg0,GT2g)答案B解析物体在地球的两极时有mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物体在赤道时有mg＋m(eq\f(2π,T))2R＝Geq\f(Mm,R2)，其中M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，联立解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg0,GT2g0－g)，故B正确，A、C、D错误。6.(多选)如图，某次发射火箭的过程中，当火箭距地面的高度恰好为地球半径的3倍时，火箭的加速度大小为a，方向竖直向上，火箭内有一电子台秤，物体在该台秤上显示的示数为发射前在地面上静止时示数的一半。已知地球的第一宇宙速度为v，忽略地球自转，引力常量为G，则下列说法正确的是()A．距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的eq\f(1,16)B．地球表面的重力加速度大小约为16aC．地球的半径为R＝eq\f(7v2,16a)D．地球的质量为M＝eq\f(9v4,16aG)答案AC解析设地球表面的重力加速度为g，距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为g1，由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得eq\f(g,g1)＝eq\f(R＋H2,R2)，解得g1＝eq\f(g,16)，A项正确；设台秤上物体的质量为m，火箭在地面上时台秤显示的示数FN1＝mg，距地面3R时台秤显示的示数FN2＝eq\f(1,2)FN1＝ma＋mg1，解得a＝eq\f(7,16)g，即g＝eq\f(16a,7)，B项错误；在地球表面，设近地卫星质量为m0，有m0g＝m0eq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(7v2,16a)，C项正确；由Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，解得M＝eq\f(7v4,16aG)，D项错误。7．(2023·上海市松江区模拟)2021年5月22日，“祝融号”火星车驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测。火星的质量和半径分别约为地球eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，忽略地球和火星的自转，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为()A．0.2B．0.4C．2.5D．5答案B解析在天体的表面，根据万有引力等于重力有Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得火星表面的重力加速度为g火＝eq\f(GM火,R火2)＝eq\f(G·\f(1,10)M地,\f(1,2)R地2)＝eq\f(2GM地,5R地2)＝0.4g地，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为0.4，故选B。8．若将地球看作质量分布均匀的球体(半径为R)，且不计地球的自转。地球表面处的重力加速度为g1，地球表面下方深eq\f(R,2)处的重力加速度为g2，地球表面上方高eq\f(R,2)处的重力加速度为g3，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，下列说法正确的是()A．g3<g2<g1 B．g2<g3<g1C．g1<g2<g3 D．g1<g3<g2答案A解析在地球表面的物体，万有引力近似等于重力，有Geq\f(Mm,R2)＝mg1；在地球表面下方深eq\f(R,2)处的重力加速度相当于半径为R－eq\f(R,2)＝eq\f(R,2)的球体在其表面产生的加速度，由球的体积公式V＝eq\f(4,3)πr3及M＝ρV可知，半径为eq\f(R,2)的球体质量为半径为R的球体的eq\f(1,8)，故Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝Geq\f(Mm,2R2)＝mg2；地球表面上方高eq\f(R,2)处，有Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))2)＝Geq\f(4Mm,9R2)＝mg3。由上面的分析可知g3<g2<g1，故选A。9．某气体星球的半径为R，距离星球中心2R处的P点的重力加速度大小为g。若该星球的体积均匀膨胀，膨胀过程中星球质量不变，且质量分布始终均匀。当星球半径膨胀到4R时，P点的重力加速度大小变为g′。已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零。则g′与g的比值为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1