广西柳州市2023届新高三摸底考试数学（文）试题含答案

柳州市2023届新高三摸底考试文科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（）A. B. C. D.3.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.－1 B. C.－2 D.14.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%5.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2 B. C. D.6.若，则（）A. B. C. D.7若，则＝（）A.－ B. C.－ D.8.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2 B.－3 C.－2 D.09.已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（）A. B. C. D.10.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）A.9 B.7 C.11 D.311.已知是定义为R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B. C. D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.记等差数列的前n项和为，若，则___．14.若函数，则在点处切线方程为___．15.已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．16.在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积．18.已知数列满足.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和公式.19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．0.100.050.02500102.7063.8415.0246.635．20.如图，在三棱锥中，，，O为AC中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．21.已知函数．（1）讨论当时，f(x)单调性．（2）证明：．22.已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．柳州市2023届新高三摸底考试文科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：B.2.设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，因此，.故选：D.3.已知向量，的夹角为，且，，则（）A－1 B. C.－2 D.1【答案】A【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】故选：A4.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%【答案】B【解析】【分析】根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．【详解】这五个社团的总人数为，．A错误，C错误．因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误．故选：B．5.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.【详解】因为，所以；因为，所以，，，而，所以，即.故选：A.7.若，则＝（）A.－ B. C.－ D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.【详解】依题意，，所以.故选：C8.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2 B.－3 C.－2 D.0【答案】C【解析】【分析】作出平面区域，结合图像求直线在轴截距的最小值，通过平移直线可得在在点处取到最小值，代入运算求解．【详解】根据题意可得平面区域，如图所示：∵目标函数，即，则求直线在轴截距最小值结合图像可得在点处取到最小值故选：C．9.已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.【详解】圆的圆心，所以圆心到直线的距离为，则，而，所以，解得：.故选：B.10.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）A.9 B.7 C.11 D.3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，由得，则函数在上单调递增，而函数在区间上不单调，则，解得，所以的最小值为11.故选：C11.已知是定义为R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是定义为R上的奇函数可知函数关于点对称；再结合，即可得出.再结合f(x)在上单调递增，在上单调递减，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.【详解】因为是定义为R上的奇函数,所以;函数关于点对称.当时：；当时：;所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.所以当时，解得;当时，解得;当时，解得;综上所述：不等式的解集故选：D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.记等差数列的前n项和为，若，则___．【答案】33【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出首项和公差，再利用前n项公式计算作答.【详解】等差数列中，，由得，则公差，首项，所以.故答案为：3314.若函数，则在点处的切线方程为___．【答案】【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得出答案.【详解】解：由函数，得，，则，故，所以在点处的切线方程为，即.故答案为：.15.已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．【答案】1【解析】【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，所以.所以，所以（当且仅当时等号成立）.所以.即的最小值为1.故答案为：116.在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．【答案】①③【解析】【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过到的距离来计算到的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．【详解】易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故答案为：①③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；（2）由余弦定理与面积公式求解即可【小问1详解】由已知及正弦定理知：．因为C为锐角，则，所以．因为A为锐角，则【小问2详解】由余弦定理，．则，即即，因为，则所以△ABC的面积．18.已知数列满足.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和公式.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）由已知得an+12（an），，从而能证明{an}是首项为，公比为2的等比数列，并能求出{an}的通项公式．（2）利用分组求和可求解【详解】(1)由可得,即所以是一个以2为首项，以2为公比的等比数列所以,所以(2)【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和的合理运用．19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．0.100.0500250.0102.7063.8415.0246.635．【答案】（1）填表见解析；有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定数据，完善列联表，计算观测值，再与临界值表比对作答.（3）对5人编号，利用列举法结合古典概型概率公式计算作答.【小问1详解】根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣台计男9020110女603090合计15050200根据列联表中的数据，得，，所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.【小问2详解】记至少1人对冰球有兴趣为事件D记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取2人，有，共10个结果，其中2人对冰球都有兴趣的有，共3个结果，1人对冰球有兴趣的有，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，所以所求事件的概率．20.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明，利用线面垂直判定定理求解；（2）利用等体积法求点C到平面POM的距离即可.【小问1详解】连接OB，如图，∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴，又∵，∴∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．【小问2详解】由（1）得PO⊥平面ABC，在中，，．设点C到平面POM的距离为d，由，解得，∴点C到平面POM的距离为．21.已知函数．（1）讨论当时，f(x)单调性．（2）证明：．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）对函