广东省深圳市南山区2023届高三上学期期末数学试题（解析版）

第1页/共1页南山区2022-2023学年度第一学期期末质量监测高三数学试题2023.1注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合中元素范围，再根据交集的概念可得答案.【详解】，故选：C.2.命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为（）A.任意一个无理数，都不是有理数 B.存在无理数，使得不是有理数C.任意一个无理数，都是有理数 D.不存在无理数，使得是有理数【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题否定是全称命题得命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为“任意一个无理数，都不是有理数”故选：A.3.若的展开式的各项系数和为8，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】直接令计算可得答案.【详解】令得，解得故选：C.4.已知随机变量的分布列如下：12若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.【详解】由已知得解得故选：B.5.设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造对数函数和幂函数，利用其单调性来比较大小.【详解】函数在上单调递增，，函数在上单调递增，故选：D.6.在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（）A.0.032 B.0.048 C.0.05 D.0.15【答案】B【解析】【分析】由题意可知，分别求出此人来自三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.【详解】设事件为“此人流感患者”，事件分别表示此人来自三个地区，由已知可得，，由全概率公式得故选：B7.若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数在上为奇函数，数形结合得到最小值与最大值的和为0，推导出.【详解】，由题意得：，故，关于原点对称，且，故为奇函数，则，A正确，D错误；故一定异号，所以，BC错误.故选：A8.已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，由条件联立直线与椭圆方程，得到点的轨迹是圆，从而得到结果.【详解】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：，联立直线与椭圆方程，消去可得，所以，即，设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以，所以，即，所以，当椭圆切线斜率不存在时，此时，，也满足上式，所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，又因为A为椭圆上顶点，所以，当点位于圆的上顶点时，，当点位于圆的下顶点时，，所以，故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（）A.是纯虚数 B.对应的点位于第二象限C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D.【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；对于C：，则，C错误；对于D：，则，D正确.故选：AD.10.下列等式能够成立的为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式及倍角公式逐一计算判断.【详解】对于A：，A错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确；对于D：，D错误.故选：BC.11.在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（）A.直线，的斜率之积为 B.的离心率为2C.的最小值为 D.四边形的面积可能为【答案】AC【解析】【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为，渐近线方程为，设点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可.【详解】由题意可知：双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故选项错误；由方程可知：双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，点在渐近线上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形为矩形，则，，所以直线，的斜率之积为，故选项正确；设点，由题意知：为矩形，则，由点到直线的距离公式可得：，，则当且仅当，也即为双曲线右顶点时取等，所以的最小值为，故选项正确；由选项的分析可知：，因为四边形为矩形，所以，故选项错误，故选：.12.如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（）A.直线可能与平面相交B.三棱锥与三棱锥的体积之和为定值C.当时，与平面所成角最大D.当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为【答案】BCD【解析】【分析】A.利用面面平行的性质定理，判断A；B.利用等体积转化，可判断B；C.利用垂直关系的转化，结合线面角的定义，即可判断C；D.首先确定点的位置，再利用球的性质，以及空间向量的距离公式，确定球心坐标，即可确定外接球的半径，即可判断D.【详解】A.如图，，且平面，平面，所以平面，同理平面，且平面，平面，且，所以平面平面，且平面，所以平面，故A错误；B.如图，过点作于点，于点，根据面面垂直的性质定理可知，平面，平面，，.故B正确；C.因为平面，平面，所以，且，且，平面，平面，所以平面，且平面，所以，即，点是的中点，此时线段最短，又因为，且平面，平面，所以平面，即上任何一个点到平面的距离相等，设为，设与平面所成角为，，,当时，线段最短，所以此时最大，所以最大，故C正确；D.的周长为，为定值，即最小时，的周长最小，如图，将平面展成与平面同一平面，当点共线时，此时最小，作，垂足为，，解得：，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，,，连结，平面，且经过的中心，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，则,即，解得：，，所以外接球的表面积，故D正确.附：证明平面，因为平面，平面，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面,平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱锥是正三棱锥，所以经过的中心.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题考查空间几何的综合应用，难点是第四个选项的判断，充分利用数形结合和空间向量的综合应用，解决三棱锥外接球的球心问题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若，则______.【答案】【解析】【分析】先利用求出，再利用模的坐标公式计算即可.【详解】，解得，，故答案为：.14.已知正实数，满足，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式可得，再计算的范围即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最小值为，故答案为：.15.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，，，，则______.【答案】##【解析】【分析】观察图形可知是首项为，公比为的等比数列，即可求得结果.【详解】通过观察图形可以发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个图形周长的基础上增加了其周长的，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，即因此.故答案为：16.若关于的方程在区间上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设，，将方程的根转换为函数零点问题，讨论函数单调性从而确定函数的变化趋势，结合零点存在定理，即可求得实数的取值范围.【详解】解：设，，则，令得，所以，令，，所以在单调递增，则，于是可得，当时，方程在无解，即恒成立，所以在单调递增，又，所以此时方程在区间上无零点，不符合题意；当时，方程在根为或（舍），当，当，所以在单调递减，在单调递增，又，所以，又，，设，，所以恒成立，则上单调递增，故，则，且当时，，即，故，使得，即方程在区间上有且仅有一个实数根综上，实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查方程的根与函数零点的关系，结合导数进行判断，属于中等题.解决本题的关键是，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，构造函数，，利用导数确定单调性时要分类讨论.当，函数在单调递增，结合特殊值，得不符合题意，当时，得在单调递减，在单调递增，判断，，的符号，结合零点存在定理可得的范围.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用计算整理得，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）将变形为，利用裂项相消法求，进一步观察证明不等式.【小问1详解】①，当时，②，①-②得，即，又当时，，解得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；【小问2详解】由（1）得，，因为，18.某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良.（1）请完成下表，并依据小概率值的独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.性别体质测试合计优良非优良男生女生合计（2）100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：【答案】（1）根据小概率事件的独立性检验，不可以认为全校学生体质测试的优良率与性别有关.（2）均值；方差【解析】【分析】（1）根据题意，由独立性检验的计算公式，代入计算即可判断；（2）根据题意，可得男生，女生的人数，结合均值方差的性质，代入计算即可得到结果.【小问1详解】性别体质测试合计优良非优良男生501060女生301040合计80200100，根据小概率事件的独立性检验，不可以推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.【小问2详解】男生人数，女生人数，则设男生的成绩为女生的成绩为所以均值为，所以，所以样本中所有学生100米短跑成绩的方差为19.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，且为的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根据已知证明，即可得到，又通过即可证明，即可证明答案；（2）设，，先通过已知与勾股定理求出，建立空间直角坐标系，即可通过二面角的向量求法求出答案.【小问1详解】证明：侧面为矩形，，，、，且，，，，且平面平面，，，；【小问2详解】设，，由题意可得，，，为的中点，，，解得，即，，根据第一问与题意可得：，，，则以C为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，由题意可得平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，且由图得为锐角，则.20.在中，，，为边上一点.（1）若，求的值；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在、中分别利用正弦定理，结合已知条件可求得的值；（2）由平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积运算可得出的值，利用同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：在中，由正弦定理可得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因此，.【小问2详解】解：因为，则，即，，所以，，即，即，解得，，故为钝角，所以，，故.21.已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.（1）当，且为线段的中点时，证明：；（2）记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点,连接.利用几何法，分别证明出,为的角平分线，即