第1章-建立数学模型市公开课一等奖省赛课获奖课件

数学建模主讲教师：刘新海教材第1页什么是数学建模

对于一个现实对象，为了一个特定目标，依据其内在规律，作出必要简化假设，利用适当数学工具，得到一个数学结构，用它来解释特定现象现实性态，预测对象未来情况，提供处理对象优化决议和控制，设计满足某种需要产品等。数学建模含有包括面广、复杂多样、对学生思维要求高等特点，是一个实践性较强、综合利用各种数学思想方法与计算机技术伎俩解决实际问题数学实践活动。

第2页本课程主要意义

我国著名数学家、学部委员姜伯驹先生说得好：“高技术说到底是数学技术。从前，人们说数学是科学语言，是学习科学技术钥匙，而在日常工作中难以用到。在今后技术社会、信息社会里，数学将成为众多工作岗位先决条件，就业机会敲门砖。学数学不再只是升学需要，也越来越是谋生需要。”第3页本课程学习宗旨

“数学建模”是实践数学课程主要组成部分，是继高等数学、线性代数、概率论与数理统计等课程基础上开设后续课程，它将数学方法、实际问题与计算机应用有机地结合起来，意在提升学生综合应用能力，提升学生理论应用于实践能力，尤其是分析、处理问题能力。本课程讲课方法

“数学模型”相对于其它数学课程来说，包括知识面广，问题综合性强，内容繁杂，跳跃性比较大，是一门相对“离散”课程，所以该课程讲课方式主要采取案例式教学，内容连贯性不强。第4页本课程主要目标在深入了解各类数学方法基本概念、基本理论基础上培养利用数学软件（Matlab等）进行计算机模拟与数值计算能力培养学生利用所学理论知识处理实际问题意识和创新思维

激发学生对数学学习兴趣，了解数学应用广泛背景和方向

经过竞赛培养学生团体协作精神，提升人际间交流能力

第5页本课程基本要求掌握数学建模基本理论和方法

对一些详细相对简单实际问题能够建立其数学模型，并能够

利用计算机进行求解计算（相关数学软件如Matlab、Lingo等）第6页竞赛内容题目由各类实际问题简化而成，没有事先设定标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。竞赛形式三名大学生组成一队，能够自由地搜集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内合作完成一篇论文。评奖标准假设合理性、建模创造性、结果正确性和文字表述清楚程度。竞赛宗旨：

创新意识

团体精神

重在参加

公平竞争本课程相关竞赛

全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）和美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM）第7页全国大学生数学建模竞赛

中国数学建模网

全国大学生竞赛山东组委会

/sddxs/全国大学生数学建模竞赛网站竞赛宗旨：

创新意识

团体精神

重在参加

公平竞争第8页目标：了解和掌握建立数学模型方法和步骤内容：三个实例---椅子平稳放置、商人渡河、人口预测重点：建立数学模型切入点、方法以及模型求解难点：模型解释和误差预计第一章建立数学模型第9页主要分为机理分析和测试分析两种。机理分析：依据对客观事物特征认识，找出反应内部机理数量规律，建立模型常有明确物理或现实意义。测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”系统，经过对系统输入、输出数据测量和统计分析，按照一定准则找出与数据吻合得最好模型。数学建模基本方法按照数学方法主要分为初等模型、几何模型、优化模型、数学规划模型、微分方程模型、差分方程模型、离散模型、概率统计模型、稳定性模型等。数学模型大致分类第10页日常生活中数学模型引例青岛—广州，一班船需要航行4昼夜，天天同时在两地对开两班船，每班船在航行途中碰到几艘青岛—广州船？解答：假设考虑从青岛开出一班船途中碰到船只，途中没有任何意外停船，则其数学模型可用下列图来表示

青岛青岛0-2-1-3-41234034216785AB广州第11页实例一椅子能在不平地面放稳吗

实例一

椅子能在不平地面放稳吗三只脚着地→放不稳四只脚同时着地→放稳了模型分析模型假设

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形；地面高度是连续改变，地面可视为数学上连续曲面；地面是相对平坦，椅子在任何位置最少有三只脚同时着地。椅子放稳定义关键问题

用数学语言把椅子四只脚同时着地条件和结论表示出来。该问题包括到两方面问题：椅子、地面为简化问题，使模型符合“理想情况”，需对模型作以下几方面假设：①椅子方面，只包括四条腿，特殊“瘸腿”、“大脚”等情况不存在；②地面方面，没有忽高忽低情况发生，比如阶梯（连续）③地面方面，地面崎岖程度不大（近似一阶连续）第12页示例一

椅子能在不平地面放稳吗中心问题

用数学语言把椅子四只脚同时着地条件和结论表示出来。模型组成椅子位置对角线AC与x轴夹角θ表示了椅子位置。椅脚着地椅脚与地面竖直距离为零时就是椅脚着地(变量θ函数)。四个距离两个距离正方形对称性A、C两脚与地面距离之和为f(θ)B、D两脚与地面距离之和为g(θ)(f(θ)，g(θ)≥0)第13页示例一

椅子能在不平地面放稳吗由地面高度是连续改变，f和g都是连续函数。由假设3，椅子在任何位置最少有三只脚着地，所以对于任意θ，f(θ)和g(θ)中最少有一个为零。当θ＝0时不妨设g(θ)=0，f(θ)>0。数学问题已知f(θ)和和g(θ)是θ连续函数，对任意θ，f(θ)·g(θ)

=0，且g(0)=0，f(0)>0。证实：存在θ0，使f(θ0)＝g(θ0)=0。模型组成第14页已知f(θ)和和g(θ)是θ连续函数，对任意θ，f(θ)·g(θ)

=0，且g(0)=0，f(0)>0。证实：存在θ0，使f(θ0)＝g(θ0)=0。

示例一

椅子能在不平地面放稳吗模型求解证实:将椅子旋转90°(π/2)，则对角线AC与BD交换。由g(0)=0和f(0)>0，可知g(π/2)>0和f(π/2)=0。令h(θ)=f(θ)－g(θ),则h(0)>0和h(π/2)<0。由f和g连续性知h也是连续函数。依据连续函数基本性质，必存在θ0（0<θ0<π/2）使h(θ0)=0，即f(θ0)=g(θ0)。因为f(θ0)g(θ0)=0所以f(θ0)=g(θ0)=0。第15页实例二商人们怎样安全过河

实例二商人们怎样安全过河

随从们密约，在河任一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货。但怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中。商人这么才能安全渡河呢？

问题第16页模型分析安全渡河问题能够视为一个多步决议过程。决议每一步，即此岸驶到彼岸或彼岸到此岸，确定船上人员。在确保安全前提下（两岸随从数都比不上商人数多），在有限步内使全部人员过河。要求第k次渡河前此岸商人数为xk，第k次渡河前此岸随从数为yk,

模型组成k=1,2,…，xk,yk,=0,1,2,3S=｛（x,y）|x=0,y=0，1，2，3；x=3，y＝0，1，2，3；x=y=1，2｝二维向量sk=(xk,yk)定义为状态。允许状态集实例二商人们怎样安全过河

要处理此问题，需要数学表示以下问题：①为确保安全，必须知道渡河前后此岸和彼岸商人数和随从数（允许状态）②为完成渡河，必须知道每次渡河时，船上商人数和随从数（允许决议）③两岸商人数和随从数与渡河关系（状态转移律）此岸商人数和随从数一旦确定，彼岸时商人数和随从数自然就确定了第17页模型组成实例二商人们怎样安全过河

第k次渡河商人数为uk，第k次渡河随从数为vk。二维向量dk=(uk,vk)定义为决议允许决议集合

D｛(u,v)|1≤u+v≤2,u,v=0,1,2｝uk，vk=0，1，2，k＝1，2，…k为奇数时此岸到彼岸,k为偶数时彼岸到此岸。状态转移律sk+1=sk+(-1)k

dk求决议dk∈D（k＝1,2,…,n），使状态sk∈S按照转移律，由初始状态s1=(3,3)经有限步n抵达状态sn+1=（0,0）。多步决议模型若用sk表示某一次渡河前此岸人数,

sk+1表示渡河后此岸人数。此岸到彼岸时,此岸人数(sk+1

)降低,降低数为对应渡河人数；彼岸到此岸时,此岸人数(sk+1)增加,增加数为对应渡河人数。所以,

sk+1是在sk基础上加上或减去渡河人数。当此岸到彼岸(k为奇数)时,此岸降低人数为负；当彼岸到此岸(k为偶数)时,此岸增加人数为正。第18页模型求解实例二商人们怎样安全过河

穷举法：计算机程序求解

图解法方格点表示状态s=（x,y）：16个允许状态集合S：10个允许决议dk是沿方格线移动1格或2格。k为奇数时向左、下方移动（此岸到彼岸）k为偶数时向右、上方移动（彼岸到此岸）评注规格化方法，能够用计算机求解，含有推广意义。

有没有第二种方案呢？注意：k必须是连续，即从此岸到彼岸后，必须回到此岸；同理，从彼岸到此岸后，必须回到彼岸第19页实例三怎样预报人口增加

认识人口数量改变规律，建立人口模型，作出较准确预报，为有效地控制人口增加提供决议基础。

意义实例三怎样预报人口增加第20页实例三怎样预报人口增加直观地看，人口增加是呈指数增加。第21页实例三怎样预报人口增加指数增加模型记今年人口为x0，年增加率为r，k年后人口为xk

=x0(1+r)k基本条件年增加率r保持不变。英国人口学家马尔萨斯(Malthus，1766—1834)于1798年建立该模型。模型建立记时刻t人口为x(t)（连续、可微函数）x(t+△t)－x(t)=rx(t)△t△t→0x(t)=x0

ertx(t)=x0

ert表示人口将按指数规律随时间无限增加（其中需要预计未知参数）。第22页实例三怎样预报人口增加指数增加模型应用及不足人口增加率不是常数，进入20世纪后增加率显著下降。不符原因迁往加拿大欧洲移民后代人口也大致符合这个模型用它作短期人口预测能够得到很好结果不符合十九世纪以后多数地域人口增加规律不能预测较长时期人口演变过程第23页实例三怎样预报人口增加阻滞增加模型(Logistic模型)荷兰生物数学家Verhulst

19世纪中叶提出：

自然资源、环境条件等原因对人口增加起着阻滞作用，而且伴随人口增加，阻滞作用越来越大。增加率

r常数不固定(减函数)当x=xm时人口不再增加，即增加率r(xm)=0

设

r(x)=r-sx(r>0，s>0)

（线性）方程

则s=r/xm

第24页曲线拟合最小二乘法能够从表数据用数值微分算出，右端对参数r，s是线性。比如，利用上图中1860年至1990年美国人口数据，计算得到r=0.2557／10年，xm=392.0886。第25页实例三怎样预报人口增加模型检验用模型计算年人口，与已知实际数据(281.4百万)比较。x()=x(1990)+△x=x(1990)+rx(1990)[1－x(1990)/xm

]得到x()=274.5百万，与实际数据误差约2.5％，能够认为该模型是相当满意。其它应用在社会经济领域也有广泛应用，比如耐用消费品销售量。第26页数学建模全过程图解现实对象信息数学模型建立现实