《矩阵论及其应用》§1线性空间省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

国防科技大数学与系统科学系王炯琦副教授高等工程数学电话：574234-mail：

wjq_gfkd@163.comwangjiongqi@gfkd.mtn1/51第一章线性空间和线性变换第七章假设检验第三章矩阵分析及其应用第五章矩阵广义逆与直积第四章矩阵分解及其应用第六章抽样分布与参数预计第二章方阵相同化简第八章线性统计推断第九章多元统计分析上篇矩阵论及其应用下篇应用数理统计讲课内容2/51高等工程数学总体认识有难度、有信心、有意义预修课程线性代数、矩阵分析、概率论与数理统计、测度论、实变函数与泛函分析学时：72课时3/51行列式：行列式定义；行列式性质；行列式计算；矩阵：矩阵定义、运算；可逆矩阵；分块矩阵及其运算；初等矩阵与矩阵初等变换；矩阵秩；线性代数内容回顾向量与线性空间：向量与向量线性运算；向量组线性相关性；向量空间；n维欧氏空间；线性空间和线性变换相同矩阵：方阵特征值与特征向量；相同对角化；二次型。4/51二、重点:线性空间、线性变换、线性变换矩阵表示、内积空间一、内容与要求：

了解线性空间、基、维数、坐标等基本概念；

掌握过渡矩阵、零空间、列空间、子空间等求解和计算；

了解线性变换及其矩阵表示；

了解线性变换在基或基偶下矩阵、线性变换特征值和特征向量计算、可对角化判别；

掌握内积空间、正交化（正交变换）、对称变换判别及等价条件。

第一章线性空间和线性变换5/51第一章线性空间和线性变换§1线性空间§2线性变换及其矩阵表示§3内积空间6/51§1线性空间一、线性空间定义二、线性空间维数与基三、不一样基之间过渡矩阵四、子空间五、子空间直和7/51一、线性空间定义设R是实数域,Rm

n={A=[aij]m

n|aij

R}表示引例1

回想一下

Rm

n中加法和数乘运算,它们满足:

R上m×n矩阵集合.8/51一、线性空间定义引例2设C表示复数全体，R是实数域.类似问题许多,…,有必要总结它们共性:包括两个集合包括两种运算（封闭）满足八条运算规则9/51一、线性空间定义定义1设V为非空集合，F为数域,对于V中任意两个元素定义加法“＋”,

对于F中元素与V

中元素定义数乘“．”

,

满足加法和数乘封闭，另外

还有(1)交换律(2)结合律(3)存在零元使对一切对于任意(4)存在负元,即存在使得10/51一、线性空间定义称(简记为V或V(F))为线性空间．

上述两种运算统称为线性运算.(6)(7)(8)11/51一、线性空间定义简单讲，线性空间就是其中：加法运算满足四条法则，数乘运算满足四条法则，且对V上加法运算封闭，对F和V上数乘运算封闭。注：中元a

称为向量。称为实线性空间，称为复线性空间。12/51一、线性空间定义例1引例1中Rm

n和引例2中C均为实数域R上线性空间.线性空间元素也称为向量,但这里向量未必

Rm

n

R1

n(或Rn

1)

Rn实矩阵空间向量空间Rn是线性空间最基本原型.下面再借助一些其它例子来加深对定义了解:是有序数组.它也能够是矩阵、多项式、函数等.13/51一、线性空间定义

例2记表示全部次数不超出n

实系数多项式及零全体，按通常多项式加法和数乘多项式运算，组成实线性空间.可表为证实

14/51一、线性空间定义

例3记表示闭区间上连续函数全体，按通常函数加法和数乘函数运算，组成实线性空间。

次数等于n关于x全部多项式组成集合对上述运算不能组成线性空间.例415/51一、线性空间定义线性空间简单性质①零元是唯一：④有设线性空间，则③在中可定义减法运算：②负元是唯一；，定义有视为零元视0为零元这是什么零？这是什么零？16/51线性组合、线性相关与线性无关性二、线性空间维数与基组数使得定义2给定V中向量组称为向量组线性组合或称向量可由向量组线性表示.若存在一17/51线性组合、线性相关与线性无关性二、线性空间维数与基

定义3

设是线性空间中向量组，假如存在一组不全为零数,使得则称向量组线性相关.假如则称线性无关.18/51二、线性空间维数与基⑶部分向量组线性相关向量组线性相关。⑴线性相关某是其于个向量线性组合。⑵线性无关部分向量组也线性无关。⑷单个非零向量线性无关；单个零向量线性相关。注：19/51二、线性空间维数与基

假如V

中存在无穷个线性无关向量，则称

V为无穷维线性空间。本课程只研究有限维线性空间。

定义4

设是线性空间中线性无关向量组，假如存在使得则称向量组是基，称为n维线性空间，记维数，记线性空间为20/51二、线性空间维数与基

例5

Rn是n维；Pn(t)是n+1维；是mn维；P(t)是无穷维。线性空间基分别为？注：线性空间中基不是唯一,可有多个基;但基中所含向量个数唯一。21/51主要证唯一性.则因为基向量线性无关，故设有定理

线性表示设是基,则有唯一即任一向量在基下表示式是唯一.结果分析记称

x

为在基下坐标(向量)

则有二、线性空间维数与基22/51在中，求矩阵

例6在基下坐标。二、线性空间维数与基23/51在下有故在下坐标为取两个基令比较两边同次项系数，有故在下坐标为

例7试求在基下坐标.二、线性空间维数与基24/51设,在下有唯一表示记，则有称为基到变换矩阵(或过渡矩阵)。

是两个基，这两个基之间有什么关系？定义4三、不一样基之间过渡矩阵25/51于是主要性质：基变换矩阵是满秩矩阵证若不满秩，则存在使得因为是基，故，矛盾！从而满秩.

推论：设基变换矩阵为，则变换矩阵为

设是基变换矩阵，即有在两个基下有于是有坐标变换公式①

方程组有非零解②列向量线性相关

？三、不一样基之间过渡矩阵26/51已知两个基是视为3阶方阵，则有试求变换矩阵即求使得对进行行初等变换求逆：

例8求得三、不一样基之间过渡矩阵27/51

例9

取两个基求变换矩阵

及在下坐标.解基变换矩阵满足?三、不一样基之间过渡矩阵28/51

例9

取两个基求变换矩阵

及在下坐标.解基变换矩阵满足求得又故在下坐标是在下坐标是三、不一样基之间过渡矩阵29/51三、不一样基之间过渡矩阵30/51

定义5

设为线性空间，是子集,假如中元按中运算也组成线性空间，则称为

线性子空间(简称子空间)，记为易知①②③,称为平凡子空间问∵单个零向量线性相关∴∴不含线性无关向量有四、子空间31/51例11

给定，且令由线性方程组理论可知是子空间，即称为零空间。方程组线性无关解个数

又即为列向量线性组合全体,故是子空间,即称为列空间。？

记则四、子空间32/51

例12

设是线性空间一个向量组，记则是子空间,称为由张成子空间。②设,则①设是子空间基，则四、子空间33/51证

若r=n,则结论已成立；

引理（基扩充定理）设是中一组线性无关向量，则存在中n-r个向量使得组成基。

若r<

n,则必存在不能由线性表出，从而线性无关；

若则证毕，不然继续上述过程。经过有限步后总可找到n-r

个向量使得线性无关，即组成基。四、子空间34/51子空间交空间及和空间定义6

设

，令称为与交,称为与和。易知：②都是子空间，分别称为与交空间及和空间。③设,则①交与集合运算中“交”相同,而和与集合运算中“并”不相同。四、子空间35/51例13

中和空间与交空间：且则设是中不平行两个平面平面与交线问对普通是否有？四、子空间36/51证设定理(维数公式)设

是线性空间

子空间,则取一个基∴由基扩充定理,可将

扩充为

基,即有于是如能证实线性无关，则它是基，从而四、子空间37/51四、子空间定理(维数公式)设

是线性空间

子空间,则38/51采取行初等变换法：对矩阵进行一系列行初等变换

例14

设两个子空间是解求及基和维数。

关键:求极大线性无关组则存在可逆矩阵使得于是

这说明矩阵行初等变换不改变矩阵列向量之间线性组合关系。四、子空间39/51对进行行初等变换：

例14

设两个子空间是解求及基和维数。从而可见线性无关，且且四、子空间40/51

例14

设两个子空间是解求及基和维数。令,则四、子空间41/51但表示法可能不唯一。有也可表为则可表为例15

设四、子空间注：设42/51定义7

若只有唯一分解式则称为直接和(直和),记为定理以下条件等价④若,则①③②证①→②则因为直和中向量分解是唯一，故五、子空间直和43/51定理以下条件等价④若,则①③②证②→③故由维数公式，结论显然成立。