第04讲 整式的乘法（解析版）

第04讲整式的乘法思维导图核心考点聚焦1.计算单项式乘单项式2.利用单项式乘法求字母或代数式的值3.计算单项式乘多项式及求值4.单项式乘多项式的应用5.利用单项式乘多项式求字母的值6.计算多项式乘多项式7.(x+p)(x+q)型多项式乘法8.已知多项式乘积不含某项，求字母的值9.多项式乘多项式——化简求值10.多项式乘多项式与图形面积结合11.多项式乘法中的规律性问题12.整式乘法混合运算一、单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.二、单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm．单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序.三、多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab．对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.一、不含某一项按正常的计算法则去计算，然后不包含那一项，只需要让那一项的系数为0即可.二、看错题，求正确结果先按看错的去计算，求出参数的值，然后代入，求出正确结果即可.考点剖析考点一、计算单项式乘单项式例题1．计算：．【答案】【解析】．故答案为：．【变式训练】1．计算：．【答案】【解析】，故答案为：．2．计算：（1）；（2）；（3）．【答案】；；【解析】（1）；（2）；（3）．故答案为：；；．考点二、利用单项式乘法求字母或代数式的值例题2．若，则的值为__________．【答案】4【解析】因为，所以，所以①，②．所以，得．故答案为：4．【变式训练】1．若单项式与的积为，则．【答案】-2【解析】由题意，得，，则．故答案为：-2．考点三、计算单项式乘多项式及求值例题3．先化简，再求值：，其中．【解析】，当时，原式．【变式训练】1．先化简，再求值：，其中．【解析】，当时，原式．考点四、单项式乘多项式的应用例题4．如图，正方形和正方形的边长分别为a，b．(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积．(2)当，时，阴影部分的面积是多少？【解析】（1）因为正方形和正方形的边长分别为a，b，所以；（2）当，时，．【变式训练】1．学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米．(1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为______米；(2)用含的代数式来表示实验田的面积；(3)当时，实验田面积为多少平方米？【解析】（1）米，故答案为：；（2）因为，，所以平方米；（3）当时，（平方米）．考点五、利用单项式乘多项式求字母的值例题5．若对任意都成立，则．【答案】1【解析】，，，因为原式子对任意都成立，所以，，解得，，所以．故答案为：1．【变式训练】1．若，则的值为．【答案】【解析】因为，所以，所以，故答案为：．2．若，则．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，所以．故答案为．考点六、计算多项式乘多项式例题6．计算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【变式训练】1．计算：．【解析】．考点七、(x+p)(x+q)型多项式乘法例题7．计算：．【解析】．【变式训练】1．已知，则，．【答案】【解析】因为，所以，所以，，故答案为：，．2．若，则．【答案】12【解析】因为，所以，，故答案为：．考点八、已知多项式乘积不含某项，求字母的值例题8．已知关于x的多项式与的积不含项和项，求常数m，n的值．【解析】因为，又因为积中不含项和项，所以，，解得，．【变式训练】1．若关于的多项式不含二次项和一次项．(1)求的值；(2)求．【解析】（1）因为多项式不含二次项和一次项，所以，，解得，．（2）由（1）可得，，所以．2．若的积中不含项与项，(1)求、的值；(2)求代数式的值．【解析】（1）积中不含有项与项所以p-3=0,pq+1=0，解得p=3,；（2）将，代入，得．考点九、多项式乘多项式——化简求值例题9．化简求值：，其中，．【解析】，当，时，原式．【变式训练】1．先化简再求值：，其中．【解析】，因为，所以原式．考点十、多项式乘多项式与图形面积结合例题10．如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为（2a+b）米，宽为（a+b）米，正方形的边长为a米．（1）求剩余铁皮的面积；（2）当a=3，b=2时，求剩余铁皮的面积．【解析】（1）因为从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，所以剩余铁皮的面积为（a+b）（2a+b）–a×a，化简得a2+3ab+b2，即剩余铁皮的面积为（a2+3ab+b2）平方米；（2）将a=3，b=2代入a2+3ab+b2，得32+3×3×2+22=31，所以剩余铁皮的面积为31平方米．【变式训练】1．为贯彻落实《“健康中国”2030规划纲要》，河南省制定了《河南省“十四五”体育发展规划》《规划》中提到为使全民健身公共服务体系更加健全，到2025年，人均体育场地面积要达到平方米，竞技体育综合实力要有明显提高．如图是一块长米，宽米的长方形地块，郑州市发改委计划在阴影部分铺设塑胶跑道，中间修建一个边长为米的正方形足球场地．(1)塑胶跑道的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）(2)当，时，求塑胶跑道的面积．【解析】（1）塑胶跑道的面积：，所以塑胶跑道的面积是平方米．（2）当，时，原式（平方米），所以当，时，求塑胶跑道的面积为平方米．考点十一、多项式乘法中的规律性问题例题11．探索题：，，，，……(1)当时，＝．(2)试求：的值．【解析】（1）当时，，（2）根据题意可得：，则．【变式训练】1．观察以下等式：；；；…(1)按以上等式的规律，填空：(a+b)(__________)=a3+b3；(2)利用多项式的乘法法则，证明(1)中的等式成立；(3)利用(1)中的公式化简：.【解析】(1)；故答案为：；(2)；(3)．考点十二、整式乘法混合运算例题12．计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．【变式训练】1．计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．过关检测一、选择题1．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选D．2．若，则m，n的值分别是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，所以，，故选D．3．要使多项式与的乘积中不出现一次项，那么下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为多项式与的乘积中不出现一次项，所以，故选A．4．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的算式：①；②；③；④．你认为其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①根据长方形的面积等于6个长方形的面积之和，得，故①正确，②根据长方形的面积等于左边、中间及右边的长方形面积之和，得，故②正确；③根据长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，得，故③正确；④根据长方形的面积公式，得，故④正确；则正确的有①②③④，共4个．故选D．5．在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得：，，所以，因为，所以，故选B．二、填空题6．计算：．【答案】【解析】．故答案为：．7．若且，则代数式的值等于．【答案】【解析】，把，代入，得原式．故答案为：．8．若的结果中，x的系数是，则．【答案】7【解析】．的结果中，x的系数是，，解得，故答案为：7．9．设，为任意实数，定义运算：，则．【答案】【解析】依题意，，故答案为：．10．小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足，而小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为和，其中，，请用含的代数式表示绿地的面积为．【答案】【解析】根据题意，，，，所以，，所以绿地的面积为．故答案为：．三、问答题11．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．12．先化简，再求值：(1)，其中；(2)，其中．【解析】（1），当时，原式；（2），当时，原式．13．已知展开式中不含和项．(1)求，的值；(2)当，取第（1）小题的值时，求的值．【解析】（1），根据展开式中不含和项得：，解得，即，；（2）因为，当，，