第八章 微专题58　实验：用单摆测量重力加速度-2025年物理《加练半小时》新教材版

第八章机械振动机械波微专题58实验：用单摆测量重力加速度1．利用单摆测量重力加速度的原理：由周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得g＝eq\f(4π2l,T2)。2.采用图像法处理数据，在T2－l图像中斜率k＝eq\f(4π2,g)。若l不是摆长则结合T＝2πeq\r(\f(l±x0,g))进行图像分析。1．(2023·福建省阶段练习)某同学在家里利用单摆测量当地的重力加速度，由于家里没有能悬挂的小球，该同学找铁锁替代小球，如图甲所示。组装单摆时，摆线选择了长度约为1m的无弹性的细线。(1)安装好器材后发现家里只有一根量程为40cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程，保持该标记以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度来改变摆长，记录OA间细线长度为L，则实验中得到的T2－L关系图像如图乙所示，那么正确的图像应该是a、b、c中的________；(2)如果OA间细线的长度分别为L1和L2时，测得相应的周期为T1和T2，由此可得重力加速度g＝________。(用L1、L2、T1和T2表示)答案(1)a(2)eq\f(4π2L1－L2,T12－T22)解析(1)设标记以下的细线长度为L0，由单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))及l＝L＋L0可得T＝2πeq\r(\f(L＋L0,g))，所以T2＝eq\f(4π2,g)L＋eq\f(4π2,g)L0，所以正确图像应为a；(2)由(1)可知T12＝eq\f(4π2,g)(L1＋L0)，T22＝eq\f(4π2,g)(L2＋L0)，解得g＝eq\f(4π2L1－L2,T12－T22)。2.(2023·北京市专题练习)某实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度”实验。(1)实验中该同学进行了如下操作，其中正确的是__________。A．用公式g＝eq\f(4π2L,T2)计算时，将摆线长当作摆长B．摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动C．确保摆球在同一竖直平面内摆动D．摆球不在同一竖直平面内运动，形成了圆锥摆(2)在实验中，多次改变摆长L并测出相应周期T，计算出T2，将数据对应坐标点标注在T2－L坐标系(如图所示)中。请将L＝0.700m，T2＝2.88s2所对应的坐标点标注在图中，根据已标注数据坐标点描绘出T2－L图线，并通过图线求出当地的重力加速度g＝________m/s2(结果保留3位有效数字)。(3)将不同实验小组的实验数据标注到同一T2－L坐标系中，分别得到实验图线a、b、c，如图所示。已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是________。A．出现图线c的原因可能是因为使用的摆线比较长B．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长LC．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，图线c计算出的g值偏小(4)该同学通过自制单摆测量重力加速度。他利用细线和铁锁制成一个单摆，计划利用手机的秒表计时功能和卷尺完成实验。但铁锁的重心未知，不容易确定准确的摆长。请帮助该同学提出“通过一定测量，求出当地重力加速度”的方法__________。答案(1)BC(2)见解析图9.86(3)B(4)见解析解析(1)用公式g＝eq\f(4π2L,T2)计算时，应该将悬点到摆球重心之间的间距当作摆长，即应该将摆线长与摆球的半径之和当作摆长，A错误；实验过程中，单摆的摆长不能发生变化，即摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动，B正确；单摆的运动应该是同一竖直平面内的圆周运动，即实验时确保摆球在同一竖直平面内摆动，不能形成圆锥摆，C正确，D错误。(2)将该坐标点标注在坐标系中，用一条倾斜的直线将描绘的点连接起来，不能落在直线上的点均匀分布在直线两侧，如图所示根据T＝2πeq\r(\f(L,g))有T2＝eq\f(4π2,g)L，结合图像有eq\f(4π2,g)＝eq\f(3.48－2.48,0.850－0.600)s2·m－1，解得g≈9.86m/s2。(3)根据图线c可知，在T2为0时，L不为0，表明选择的L的长度比实际的摆长大一些，即有可能是将摆线的长与摆球的直径之和作为摆长L，此时有T＝2πeq\r(\f(L－\f(d,2),g))即有T2＝eq\f(4π2,g)L－eq\f(2dπ2,g)，该图像与摆线的长度大小无关，A错误；若将摆线长记作摆长L，则有T＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))即有T2＝eq\f(4π2,g)L＋eq\f(2dπ2,g)，该函数对应的图像是a，即出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L，B正确；根据上述可知，三条图像的斜率均为k＝eq\f(4π2,g)，解得g＝eq\f(4π2,k)，可知三条图线求出的重力加速度相同，C错误。(4)不容易确定准确的摆长，但可以通过多次改变摆线的长度，测量对应的周期，获得较准确的重力加速度。具体做法：设摆线下端距重心x，第一次测出摆线长l1，则摆长为L1＝l1＋x，测出对应的周期T1。仅改变摆线长，第二次测出摆线长l2，则摆长为L2＝l2＋x，测出对应的周期T2。根据T1＝2πeq\r(\f(l1＋x,g))，T2＝2πeq\r(\f(l2＋x,g))，解得重力加速度g＝eq\f(4π2l2－l1,T22－T12)。3．某小组同学用如图甲所示的DIS二维运动实验系统研究单摆在运动过程中机械能的转化和守恒(忽略空气阻力)。实验时，使发射器(相当于摆球)偏离平衡位置后由静止释放，使其在竖直平面内摆动。系统每隔0.02s记录一次发射器的位置，多次往复运动后，在计算机屏幕上得到的发射器在竖直平面内的运动轨迹如图乙所示。(当地的重力加速度g＝9.8m/s2)(1)在运动轨迹上选取适当区域后，点击“计算数据”，系统即可计算出摆球在所选区域内各点的重力势能、动能及总机械能，并绘出对应的图线，如图丙所示。由图丙可知，此单摆的周期为________s。是否可以根据单摆的周期公式计算此摆的摆长大小？若能，请计算摆长大小；若不能，请说明理由。________。(2)图丙中的C点对应在图乙中圆弧轨迹AB上的某一点，该点在__________。A．圆弧AB中点的左侧B．圆弧AB中点的右侧C．圆弧AB的中点D．信息不够，不能确定答案(1)1.12能0.31m(2)A解析(1)由题图丙可得，经0.28s时间，摆球重力势能从零增大到最大，动能从最大减小为零，可知T＝4×0.28s＝1.12s，由T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，可以计算其摆长，代入数据得摆长为l＝eq\f(gT2,4π2)＝eq\f(9.8×1.122,4π2)m≈0.31m(2)题图丙中的C点动能和势能相等，有mgH＝eq\f(1,2)mv2＋mgh＝2mgh，即h＝eq\f(1,2)H根据几何知识可知，该点在圆弧AB中点的左侧，故选A。4．某小组在做“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2πeq\r(\f(Ic＋mr2,mgr))，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲，实验时在杆上不同位置打多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50kg。r/m0.450.450.350.300.250.20T/s2.112.142.202.302.432.64(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。(2)Ic的国际单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后二位)。(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。答案(1)T2r(2)kg·m20.17(3)不变解析(1)由T＝2πeq\r(\f(Ic＋mr2,mgr))可得T2r＝eq\f(4π2Ic,mg)＋eq\f(4π2,g)r2，所以题图乙中纵轴表