大学导数练习题

大学导数练习题一、基本概念题1.判断下列函数的导数是否存在，若存在，求出其导数：(1)f(x)=x^33x+2(2)g(x)=|x1|(3)h(x)=e^xln(x)2.若函数f(x)在x=a处可导，求下列极限：(1)lim(x→a)[f(x)f(a)]/(xa)(2)lim(x→0)[f(x)f(0)]/x3.讨论函数f(x)=|x|在x=0处的导数是否存在。二、求导法则题1.求下列函数的导数：(1)y=(3x^2+4x1)^5(2)y=(x^2+1)/(x^32x)(3)y=arcsin(x^2)2.设y=e^(x^2)ln(x)，求y'。3.设y=(x+1)^2(x2)^3，求y''。三、高阶导数题1.求下列函数的二阶导数：(1)y=x^42x^3+3x^2(2)y=sin^2(x)(3)y=e^(x^2)2.设y=(x^2+1)/(x^32x)，求y的第三阶导数。四、应用题1.某产品的成本函数为C(x)=1000+5x^2，其中x为生产量。求：(1)生产100件产品的平均成本。(2)生产100件产品的边际成本。2.设某商品的需求函数为Q=1002P，其中P为价格，Q为需求量。求：(1)当价格为20元时的需求弹性。(2)价格P为多少时，需求弹性为1。五、综合题1.设函数f(x)=x^33x+2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程。2.讨论函数f(x)=x^2e^x的单调性。3.已知函数f(x)=x^22x+1，求证：在区间(0,1)内，f(x)的图像是凹的。六、极限与导数的关系题1.判断下列极限是否存在，若存在，求出其值：(1)lim(x→0)(1cos(x))/x^2(2)lim(x→∞)(xln(x))(3)lim(x→0)(e^x1)/x2.若函数f(x)在x=0处的导数f'(0)存在，求下列极限：(1)lim(x→0)[f(x^2)f(x)]/x(2)lim(x→0)[f(x^3)f(x^2)]/x^2七、隐函数求导题1.设y是x的函数，由下列方程确定，求dy/dx：(1)x^3+y^3=6xy(2)e^(x+y)=xy(3)sin(x+y)=cos(xy)2.设x=cos(t)，y=sin(t)，求dy/dx。八、参数方程求导题1.设参数方程为x=t^21，y=t^3+2，求dy/dx。2.设参数方程为x=2cos(θ)，y=sin(θ)，求dy/dx。九、多元函数求导题1.设z=f(x,y)=x^2yy^3+4，求∂z/∂x和∂z/∂y。2.设u=f(x,y,z)=e^(xyz)x^2y+z^3，求∂u/∂x、∂u/∂y和∂u/∂z。十、实际应用题1.一物体从静止开始做直线运动，其加速度a(t)=4t2（m/s^2），求物体在t=3秒时的速度。2.某企业生产两种产品A和B，总成本C(x,y)=x^2+2xy+y^2，其中x和y分别为产品A和B的产量。求：(1)当x=10，y=20时，产品A和B的边际成本。(2)当总产量固定为30时，产品A和B的最佳产量组合。答案一、基本概念题1.(1)f'(x)=3x^23(2)g'(x)=1,x>1;g'(x)=1,x<1,g'(x)不存在,x=1(3)h'(x)=e^xln(x)+e^x/x2.(1)f'(a)(2)f'(0)3.f'(x)不存在。二、求导法则题1.(1)y'=5(3x^2+4x1)^4(6x+4)(2)y'=[(x^32x)(2x)(x^2+1)(3x^22)]/(x^32x)^2(3)y'=1/sqrt(1x^4)2.y'=e^(x^2)ln(x)+2xe^(x^2)/x3.y''=2(x+1)(x2)^3+3(x+1)^2(x2)^2三、高阶导数题1.(1)y''=12x^212x(2)y''=sin(2x)(3)y''=4xe^(x^2)2e^(x^2)2.y'''=[2(x^32x)^33(x^2+1)(x^32x)^2(3x^22)]/(x^32x)^4四、应用题1.(1)平均成本=(1000+5100^2)/100=1505(2)边际成本=10x=10100=10002.(1)需求弹性=(220)/(100220)=0.8(2)价格P=50元五、综合题1.切线方程：y0=0(x1)，即y=02.f'(x)=3x^2e^x+x^2e^x，单调递增区间为(0,+∞)，单调递减区间为(∞,0)3.f''(x)=2，在区间(0,1)内，f''(x)>0，故f(x)的图像是凹的。六、极限与导数的关系题1.(1)lim(x→0)(1cos(x))/x^2=1/2(2)lim(x→∞)(xln(x))=∞(3)lim(x→0)(e^x1)/x=12.(1)lim(x→0)[f(x^2)f(x)]/x=f'(0)(2)lim(x→0)[f(x^3)f(x^2)]/x^2=3f'(0)2f'(0)=f'(0)七、隐函数求导题1.(1)dy/dx=(2x6y)/(3y^22x)(2)dy/dx=(1e^(x+y))/(1+e^(x+y))(3)dy/dx=(cos(x+y)+sin(xy))/(sin(x+y)cos(xy))2.dy/dx=sin(t)/cos(t)=tan(t)八、