广州市2017-2018年高二年级下册期末预测数学试题含解析

广州市重点名校2017-2018学年高二下学期期末预测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知。=0.3°3,b=0.3勺c=1.30-3,则它们的大小关系是

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>b>c

【答案】A

【解析】

由指数函数y=0.3%的性质可得0<03・3<0.3°3<1,而因此1.3°3>0.3°3>0."3,即

c>a>bo选A。

2国+i+V3+?

2.已知函数y(x)=,2；］的最大值为W，最小值为小，则M+加等于()

A.0B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】

【详解】

2.2国+2+%3%3x3

因为/(%)=；=2+^^,所以尸(x)=/(x)—2=^^是奇函数，

2冈+12同+12因+1

则由奇函数的性质/(%)+Gnin(X)=0，

又因为4ax(%)=源(%)-2，%⑴=糯⑶-2，

即尺Tax(%)=M-2,411n(x)=m—2,

故A/+加一4=0,即M+机=4,应选答案C.

3.复数鲁的共朝复数为()

2+3/

A.3+2，B.3—2，C.2+3zD.2—3z

【答案】B

【解析】

分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：由复数的运算法则可知：

相…)=3+2,

2+3，2+3,

则复数公的共朝复数为3-2，.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且

利用线性回归方法，求得回归直线为k和12,已知在两人的试验中发现对变量X的观测数据的平均值恰好

相等，都为s,对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法正确的是（）

A.直线11和直线12有交点（s,t）B.直线11和直线12相交，但交点未必是点（s,t）

C,直线11和直线12必定重合D.直线h和直线12由于斜率相等，所以必定平行

【答案】A

【解析】

【分析】

根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。

【详解】

由于回归直线必过样本的数据中心点，则回归直线（和回归直线4都过点（sj）,做了两次试验，两条回

归直线的斜率没有必然的联系，若斜率不相等，则两回归直线必交于点（S/）,若斜率相等，则两回归直

线重合，所以，A选项正确，B、C、D选项错误，故选：A.

【点睛】

本题考查回归直线的性质，考查“回归直线过样本数据的中心点”这个结论，同时也要抓住回归直线的斜

率来理解，考查分析理解能力，属于基础题。

5.已知尤是函数/（x）=x（ln依+1）的极值点，则实数a的值为（）

e

11

A.—rB.—C.1D.e

ee

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数/（x）=x（历依+1）取极值点x=〉时导函数为0可求得a的值.

【详解】

函数/（x）=x{lnax+1）的极值点,

所以/'（x）=（/〃at+l）+l=2+/〃a；

因为x是函数/（x）=x（Eax+l）的极值点，

则/•［』）=2+/"a』=0；

所以山&'=一2；

e

解得a=士

则实数a的值为L；

e

故选：B.

【点睛】

考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题.

6.由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是()

A.144B.192C.216D.240

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5,分别求出个位数字是。或5时，所包含的情况，

即可得到结果.

【详解】

因为由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5,万位不

能是0；

当个位数字是0时，共有6=120种可能；

当个位数字是5时，共有=96种情况；

因此，由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是120+96=216

个.

故选C

【点睛】

本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.

7.已知函数f(x)=sinx-COSX,且f'(x)=2/(%),其中f'(x)是/(x)的导函数，则；+5而X=

cos-x-sin2x

()

19191111

A.------B.—C.—D.-----

5533

【答案】A

【解析】

分析：求出原函数的导函数，然后由(x)=2f(x),求出sinx与cosx的关系，同时求出tanx的值，

化简要求解的分式，最后把tanx的值代入即可.

详解：因为函数f(x)=sinx-cosx,所以f'(x)=cosx+sinx,

由f'(x)=2f(x),得：cosx+sinx=2sinx-2cosx,即3cosx=sinx,

所以tanx=3.

l+sin2x_sin2%+cos2x+sin2x_2sin2x+cos2x_2tan2x+l_19

所以

cos2x-sin2xcos2x-2sinxcosxcos2x-2sinxcosxl-2tanx5

故答案为A.

点睛：(1)本题主要考查求导和三角函数化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化计算

1•2•22•2

能力.(2)解答本题的关键是l,+sinx=sin：+cosx+sm十

cosx-sm2xcosx-2sinxcosx

2sinx+cosx2tanx+1;与田工打中7•22

——---------------二----------•这里利用了1的变式，l=sincr+cos.

cosx-2sinxcosx1-2tan%

8.下图是一个算法流程图，则输出的x值为

x=2»n=O

x=2x+1.台

CiD

~i的

A.95B.47C.23D.11

【答案】B

【解析】

运行程序，x=2,n=0,判断是，x=5,n=l,判断是，x=ll,n=2,判断是，x=23,n=3,判断

是，x=47,〃=4,判断否，输出x=47.

9.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补

种的种子数记为X,则X的数学期望为

A.100B.200C.300D.400

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：设没有发芽的种子数为则。〜3(1000,0.1),x=2&,所以

E(X)=2E0=2x1000x0.1=200

考点：二项分布

【方法点睛】

一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定

它服从某常见的典型分布(如二项分布X〜B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的

期望公式(E(X)=np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

io.已知函数/食)在了〉。上可导且满足犷'‘(龙)-/。)〉。，则下列一定成立的为

于(兀)/(e)、

A.B./(7T)</(e)

7Te

/⑺/(e)〃、4、

C.D./(7T)>/(e)

Ee

【答案】A

【解析】

易知(△当=才叫”“),犷。)一/(%)<0在(0,+8)上恒成立，

在(0,+8)上单调递减，又6<万,二幺或</@.

xne

本题选择C选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从

表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性

解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的

技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一

种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

11.用指数模型y=ce-去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,变换后得到线性回归直线方

程z=0.3尤+4,则常数c的值为()

A.e4B.e°3C.0.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

我们根据对数的运算性质：loga(MN)=logaM+logaN,logaNn=nlogaN,即可得出Inynlnlcekx纭Inc+lneMUnc+kx,

可得z=lnc+kx,对应常数为1=Inc,c=e1.

【详解】

y=cekx,

二.两边取对数，可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx,

令z=lny,可得z=lnc+kx,

z=0.3x+l,

--InC—1,

c=e1.

故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键.线性回归直

线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最

好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点.线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对

于具有确定关系的两个变量是不适用的，线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.

12.已知i为虚数单位，复数z满足z=E、，则复z=()

1-1

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】C

【解析】

【分析】

利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的募运算性质，化简复数到最简形式.

【详解】

1+z(1+z)(l+z)2i

解：复数z=-----

1-Z(1-0(1+02

故选：C.

【点睛】

本题考查两个复数代数形式的乘除法,两个复数相除,分子和分母同时除以分母的共朝复数,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题

13.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线，若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将

这100人的卷面分数按照[24,36),[36,48),…,[84,96]分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格

人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面分采用“开方乘以10取整”的方式进行换算以提高及格率(实

数。的取整等于不超过。的最大整数)，如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，

则按照这种方式，这次测试的及格率将变为.

【答案】0.82.

【解析】

【分析】

通过题设中的频率分布直方图可计算不进行换算前36分以上(含36分)的学生的频率，此频率就是换算

后的及格率.

【详解】

先考虑不进行换算前36分以上(含36分)的学生的频率，该频率为1-0.015x12=0.82,换算后，原来

36分以上(含36分)的学生都算及格，故这次测试的及格率将变为0.82.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

102

14.-S(l+x)=an+alx+a2x+弓。％”,贝！)4+02+Go=.

【答案】1023

【解析】

【分析】

分别将x=0,1代入求解即可

【详解】

将x=0代入得g=l；将x=1代入得吸°=4+q++«0

故％+为+%)=21°-1=1023

故答案为1023

【点睛】

本题考查二项式展开式中项的系数和，考查赋值法和方程的思想，是基础题

15.复数3+二在复平面中对应的点位于第象限.

【答案】四

【解析】

分析：根据复数的除法运算和加法运算公式得到结果即可.

__“，21+z2(l-z)1+z,.1+i3i

详解：复数----1-----=------------1-----=1-H-----=-----

1+i2(l+z)(l-02

31

对应的点为(彳，-彳)位于第四象限.

故答案为：四.

点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考

必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数

的模长的计算.

16.120,168的最大公约数是.

【答案】24

【解析】

168=120x1+48,120=48x2+24,48=24x2,

•.120,168的最大公约数是24.

答案：24

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知等轴双曲线丁=。2(。>0)的右焦点为尸，。为坐标原点，过尸作一条渐近线的垂线

尸尸且垂足为P,|历卜夜.

(1)假设过点/且方向向量为Z=(L2)的直线/交双曲线。于A、3两点，求厉.瓦的值；

(2)假设过点F的动直线/与双曲线。交于Af、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P,使得丽・丽

为常数？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，试说明理由.

【答案】(1)y；(2)存在，P(l,0).

【解析】

【分析】

(1)根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据P点为过产作一条渐近线的垂线/P的垂足，

以及|。尸|=，5,可求出双曲线中c的值，借助双曲线中a,b,c的关系，得到双曲线方程.根据直线/

的方向向量以及7点的坐标，可得直线/的方程，与双曲线方程联立，解出玉+七，七/的值，代入

OAOB^>即可求出04OB的值.

(2)先假设存在定点P,使得PM-PN为常数，设出直线/的方程,与双曲线方程联立，解药+々，%工2，

用含左的式子表示，再代入PATPN中，若PM-PN为常数，则结果与人无关，求此时机的值即可.

【详解】

(1)设右焦点坐标为尸(c,0),(c>0),

双曲线为等轴双曲线，则渐近线为y=±x,

JT

由对称性可知，右焦点尸到两条渐近线距离相等，且NPO斤=7.

AOPF为等腰直角三角形，则由|OP|=拒引|=c=2

又等轴双曲线中，c2=2a2^a2=2

二等轴双曲线。的方程为：寸一寸二？.

设A(玉，％),B(X2,必)为双曲线。与直线/的两个交点，

厂(2,0),直线/的方向向量为d=(1,2),

二直线/的方程为一后，即y=2(x—2)

代入双曲线。的方程，可得，X2-4(X-2)2=2=>3X2-16%+18=0

.•—印平L6,

而OA-OB=%尤2+M%=xix2+（%一2）（%2—2）=5%%2—8（玉+%）+16=5

(2)假设存在定点P,使得FM./W为常数，

其中，河(石，％),N(X2,斗)为双曲线C与直线/的两个交点的坐标，

①当直线/与％轴不垂直是，设直线/的方程为了=左。-2),

代入双曲线。的方程，可得(1—左2)%2+4k2]—(4左2+2)=0,

4"24^2+?

由题意可知，k=±l,则有斗+々=3^,XW=\，

k—1k—1

2

PMPN=-m)(x2-m)+Z:(x1-2)(x2-2)

2

=(4k+1)%马-(2左N+m)5+x2)+4k2+m

一(A+l)(4F+2)-2(24+㈤

-THL

—42—1左2_]rH-/V

2(1—2%)左2+224(1—7”)2

=------------------\-m=——-----\-m+2(1-2m)

左2—1左2—1

要使PATPN是与女无关的常数，当且仅当机=1,此时，PMPN=-1-

②当直线/与x轴垂直时，可得点Af(2,夜)，N(2,-夜)，

若机=1,PM・PN=—1亦为常数・

综上可知，在x轴上是否存在定点PQ,0),使得PM.PN=-1为常数.

【点睛】

本题考查等轴双曲线的方程、直线与双曲线位置关系中定点、定值问题，考查函数与方程思想、数形结合

思想、分类讨论思想的综合应用，对运算求解能力的要求较高.

18.Eftlf(x)=xex—cue—x.

⑴若f(x)在(-0),-1]上单调递增,[—1,0]上单调递减，求f(九)的极小值；

(2)当x>0时，恒有〃尤)20,求实数a的取值范围.

【答案】(1)0(2)(-oo,l]

【解析】

【分析】

(1)先求导，再由题意可得？(-1)=0,从而求得2a=1,从而化简F(x)=(x+1)(ex-1),从而确

定极小值点及极小值.

(2)对f(x)的导函数进行分析，当时，可得f(x)单增，求得f(x)的最小值为0,当a>l时,

可得f(x)在(0,Ina)上单减，且f(0)=0,不满足题意，综合可得实数a的取值范围.

【详解】

(1)因为/(%)在(—8,—I上单调递墙[TO]上单调递减，所以r(-i)=o.

因为/'(X)=(%+1)6*-2公一1,所以2。一1=0,°=；.

所以/'(X)=(X+1),一x—1=(x+l)(ex-1),

所以/(%)在上单调递增,[—1,0]上单调递减,[0,+8)上单调递增，

所以/(%)的极小值为"0)=0.

(2)/(%)=%(eT-ax-1),令g(x)=e*-依一1,则g'(x)=e'—a.若aW1,则xG(0,+8)时，g,x)>0,

g(x)为增函数，而g(0)=0,所以当x20时,g⑺之0,从而/(x)>0.

若a>1,则xw(0,Ina)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,g(0)=。，故xe(0,Ina)时,g(x)<0,从而

/(x)<0,不符合题意.

综上，实数a的取值范围是(-8,1].

【点睛】

本题考查了单调性的应用及函数极值的概念，考查了恒成立问题的转化，考查了分类讨论的数学思想，属

于难题.

19.小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定

在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代

数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示：

几何题代数题合计

男同学22830

女同学81220

合计302050

(1)能否据此判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？

(2)用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生(该校女生超过1200人)中随机

选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为X,求X的数学期望E(X)和方差。(X).

附表:

pgkJ0.150.100.050.0250.0100.005

2.0722.7063.8415.0246.6357.879

n(ad-bc)2

参考公式：K2其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

【答案】(l)有；(2)

【解析】

【分析】

⑴计算K?与5.024比较，即可判断是否有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关.

2

(2)显然X~B(5，w),可直接利用公式计算数学期望E(X)和方差。(X).

【详解】

(1)由列联表知

Q=50(22X12-8x8)2;型-5556>5.。24

30x30x20x209

故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关

Q2

(2)由表知20位女生选几何题的频率为—

205

故乂~5(5,|)

rx,aA

...E(X)=5x—=2；D(X)=5x-x-=-.

5555

【点睛】

本题主要考查独立性检验统计思想，二项分布的数学期望和方差的计算.意在考查学生的计算能力，阅读

理解能力和分析能力，难度不大.

20.已知函数f(x)=ln(ax)+bx在点(1,f(l))处的切线是y=0；

(I)求函数f(x)的极值；

(II)当些2/(%)+—x{m<0)恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)

exe

【答案】(1)Ax)的极大值为/。)=0,无极小值；

⑵[l-e,0).

【解析】

分析：(1)先根据导数几何意义得/'。)=0解得b,再根据/。)=0得a,根据导函数零点确定单调区间,

rnyInv1]

根据单调区间确定极值，(2)先化简不等式为一丁之-----+—2,再分别求左右两个函数最值得左边最

exe

rn1

小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为一之--1,解得实数m的取值范围.

ee

详解：

(1)因为/(x)=ln(G；)+Zzx,所以f(%)+6b

CLJCX

因为点(L/。))处的切线是>=0,所以/'。)=〃+1=0,且/(l)=lna+6=0,

所以〃=e,人=-1,即/(x)=lnx-x+l.

1]—X

所以尸(x)=--1=——，所以在(0,1)上递增，在(1,转)上递减，

JCX

所以/(力的极大值为/。)=0,无极小值

(2)当牛+匕£耳相<0)恒成立时，由(1)/(x)=lnx-x+l,

即下之------十——2(加<0)恒成h,

exe

、./\mx-、lnx+11-…，/、m(l-x],.z、Inx

设8(》)=丁,/2(%)=-----+—2,则g[x)=二乙〃，(%)=,

e尤ee尤r

又因为m<0,所以当0<x<l时，g'(xX(),〃(x》0；当x〉l时，g'(x)>0,〃'(x)<0.

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在。,依)上单调递增，且⑺而小且⑴二个；

人⑺在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减，A(x)max=A(1)=1-1.

e

所以g(x),/z(x)均在X=1处取得最值，所以要使g(X)>刈力恒成立，

只需gah/Mxu，即:nJt

解得加21-e,又机<0,所以实数机的取值范围是[1—e,0).

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最

值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化

为函数的最值问题.

21.设函数/(x)=lnx-a2%+2a(aeR)

(1)若函数“X)在[o,g]上递增，在上递减，求实数a的值.

(2))讨论“X)在(1,+8)上的单调性；

(3)若方程x-Inx-加=0有两个不等实数根4斗,求实数m的取值范围，并证明玉9<L

【答案】(1)a=+y/2(2)见解析(3)mw(l,+8),见解析

【解析】

【分析】

(1)根据单调区间判断出％=(是极值点，由此根据极值点对应的导数值为0求解出。的值，并注意验证

是否满足；

(2)先求解出了'(X),然后结合所给区间对。进行分类讨论，分别求解出/(%)的单调性；

(3)构造函数/z(无)=x-ln无(x>O),g(x)=%,分析的取值情况，由此求解出力的取值范围；将

证明下乙<1通过条件转化为证明"--2In々>0,由此构造新函数/Xx)=x-工一2Inx(x〉1)进行

%2%

分析证明.

【详解】

(1)由于函数函数〃尤)在［o,g］上递增，在上递减，

由单调性知x=g是函数的极大值点，无极小值点，所以尸(；)=0,

'•*f'(x)——a2,

X

1-2r1

故2—〃2=0=〃=±行，此时/(x)=——满足1=彳是极大值点,

x2

所以a=±A/2;

(2)Vf^x^=］wc—a1x+2a,

•••

①当a=0时,f(x)=工〉0"(x)在(1,+向上单调递增.

②当片21,即aW-1或时，/(x)<0,

.•./(X)在(L+8)上单调递减.

③当一1<〃<1且QWO时，

由八力=0得

令小)>0得1<X<［；令r(x)<0得X〉：.

.../(%)在上单调递增，在上单调递减.

综上，当a=0时，/(%)在(L+8)上递增；

当aW-l或.21时，/(九)在。,内)上递减;

当—1<”1且awO时，/(%)在］1,,］上递增，在上递减.

1X—1

(3)h(x)=x-lnx(x>0),g(x)=m,h\x)=1——=------

xx

1x—1

当X£(O,1)时，/(x)=l——=——<0,版处=%—lnx(x>0)单调递减；

XX

,1V,—1

当％£(l,+oo)时，h(x)=l——=------>0,/z(x)=x-lnx(x>0)单调递增;

xx

故h(x)在％=1处取得最小值为/z(l)=1

又当%—>0,h(x)f+oo;x—>+oo,h(x)f+oo,由图象知：me(1,+oo)

不妨设玉<X2，则有。(七一<1，

%入2<10看<——=力(再)>力(一)

x2x2

/z(%i)=/z(x2)=「./z(玉)-/z(—)=/z(x2)-/z(—)

尤2X2

—(%2-In%)一(----In—)—%2---------2Inx?

*^2*^2*^2

]]91

令p(x)=x------21nM%>1),〃'(%)=1+=——=(1)2>0

xXXX

・•・P。)在(1,+8)上单调递增，故P(X)>p(l)=0

即x2---21nx2>0,/z(玉)>/z(—),/.再马<1

X?犬2

【点睛】

本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构

造函数问题，难度较难.(1)已知X。是/(尤)的极值点，利用/■'(%)=0求解参数值后，要注意将参数值

带回验证是否满足；(2)导数中的双变量证明问题，一般的求解思路是：先通过转化统一变量，然后构造

函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.

22.已知函数/(x)=lnx+——.

JC

(I)若加=1,求函数/(x)的单调区间；

(II)若/(X)之根+1—X在［L+8)上恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】(I)单调递增区间为(1,+⑹，单调递减区间为(0,1)；(II)(y,2］

【解析】

【分析】

(1)求出/(X),当枕=1时，求出/■'0)>0,/'0)<0的解即可；

(2)所求的问题为Inx4—+x--120在［1,+8)上怛成立，设g(x)=lnxH----x—m—1,xe［1,+oo),

xX

注意g⑴=0,所以g(x)在xe［l,+8)递增满足题意，若存在区间工无0)递减，则不满足题意，对。分类

讨论，求出g(x)单调区间即可.

【详解】

(I)当机=1时，/(x)=lnx+—(x>0),

x

则/'(X)=/一：■=

所以当x>i时，ra)>o,/(%)单调递增；

当。<%<1时，r(x)<o,/(尤)单调递减.

所以函数/(力的单调递增区间为。,内)，单调递减区间为(0,1).

(II)由/(九)2相+1-X,得lnx+生+%—加一12。在［1,+8)上恒成立.

^g(x)=lnx+—+x-m-l,则且'(1)='-彳+］=%

设/z(x)=九2+%-m(x>l),

①当机《2时，/z(x)>0,则g'。)>。在［1,y)上恒成立，

g(x)在［1,+8)上单调递增，g(x)>g(l)=0在［1,+8)恒成立，

所以当机V2时，lnx+'+兄-机-1之。在［1,+8)上恒成立；

②当加>2时，令人(％)=%2+%一加=o,

得l+g/或「疝砺(舍去).

1222

所以当xe1,-1+^+4—时，g'(x)<0,

则g(x)是1,T+力+4”上的减函数；

I2)

—1+A/1+4rri./\

当-----------,+8时，g(x)>0,

I2)

—1+

则g(x)是-----------,+8上的增函数.

I2)

所以当xe1,-1+^+4—时，g(x)<g(l)=O.

12)

177_

因此当相>2时，lnx+—+1一加一120不恒成立.

x

综上所述，实数机的取值范围是(-8,2].

【点睛】

本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是

解题的关键，属于中档题.

广州市重点名校2018-2019学年高二下学期期末预测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(2X+1)(无+1)5的展开式中N的系数为()

A.1B.9C.10D.11

【答案】D

【解析】

【分析】

根据组合的知识可求(X+1)5展开式的含V和犬的项，分别乘以(2%+1)的常数项和一次项，合并同类项

即可求解.

【详解】

因为(X+1)5展开式中含X5项的系数为痣=1,含X4项的系数为C；=5,乘以(2%+1)后含X5项的系数为

1x1+2x5=11,故选D.

【点睛】

本题主要考查了用组合知识研究二项展开式的特定项的系数，属于中档题.

__=2x

2.d+y2=］经过伸缩变换后所得图形的焦距()

U=3y

A.275B.2y/13C.4D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

用广，y表示出X,y,代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距.

【详解】

_x,

由Fl；得x2,,代入f+y2=1得二+21=1,

b=3yy49

/3

二椭圆的焦距为2,9-4=2加，故选A.

【点睛】

本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题.

3.已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x?+2x*(2),则函数f(x)的解析式为()

A.f(x)=x2+8xB.f(x)=x2-8x

C.f(x)—x+2xD.f(x)—X2~2X

【答案】B

【解析】

【分析】

求函数/(%)在x=2处的导数即可求解.

【详解】

)=*+2加2)».•"，(力=2升2/⑵.令x=2,得/'(2)N+2/⑵,

⑵=—4.故〃力=炉—8%.

【点睛】

本题主要考查导数定义的运用.求解/(尤)在x=2处的导数是解题的关键.

4.已知函数/(%)=562工+(0-6)靖一。夕+伏。16夫)在％=1时取得极大值，则。的取值范围是()

A.(-co,-e)B.(-oo,0)C.(-e,0)D.[0,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】

先对Ax)进行求导，然后分别讨论a.0和。<0时的极值点情况，随后得到答案.

【详解】

1,

由/(x)*+(a-er)/+£H)得

/'0)=62"+(。-6)"-。6=(，'+。)("一6),当。..0时，/+a>0,由/'(x)>0,得X〉1,由/'(无)<0,

得x〈l.所以/⑴在x=l取得极小值，不符合;当a<0时,令/'5)=0,得X=1或ln(-a),为使/(无)在

x=l时取得极大值，则有ln(—a)>l,所以a<一e,所以选A.

【点睛】

本题主要考查函数极值点中含参问题，意在考查学生的分析能力和计算能力，对学生的分类讨论思想要求

较高，难度较大.

5.设4={目—4<x<4},B={%|X2+2X-3>0},集合AB=()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.[-4,-3)o(l,4]D.[-4,-l)o(3,4]

【答案】C

【解析】

分析：由题意首先求得集合B,然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：求解二次不等式/+2x-3可得3={x|X〉1或x<—3},

结合交集的定义可知：Ac3=H，-3)U(1,4].

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解

能力.

6.刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，

即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，

则该点落在正六边形内的概率为（）

\\//

\\/J

A3B若C百D3有

无"2%2万

【答案】D

【解析】

【分析】

由面积公式分别计算出正六边形与圆的面积，由几何概型的概率计算公式即可得到答案

【详解】

6gr

x

由图可知：p=s正六边形_T_3y3,

S圆兀2TC

故选D.

【点睛】

本题考查几何概型，属于基础题。

7.已知实数a*满足且log»=2,则仍=（）

1

A.-B.2C.4D.8

2

【答案】D

【解析】

【分析】

由logab=2,可得a2=b,从而得a^=a2a，解出a,匕的值即可得结果.

【详解】

实数a1满足logab=2,故a?=b,

又由ab=ba得：aa=a2a>

解得：a=2,或a=0（舍去），

故b=4，

ab=8,故选D.

【点睛】

本题考查的知识点是指数的运算与对数的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

8.设奇函数/(尤)=sin(o尤+?)+cos(0x+0)(0〉0,［同<()的最小正周期为〃，则()

jryr37r

A./(》)在(0,］)上单调递减B.7(x)在(丁，下)上单调递减

44

JTjr37r

C."X)在(0,工)上单调递增D.7(x)在(7,下)上单调递增

244

【答案】B

【解析】

分析：利用辅助角公式将函数进行化简，根号函数的周期和奇偶性即可得到结论.

详解：

/(x)=sinkcox+(p)+cos(a>x+(p)~氏sink+0+?),

27r

•.•函数的周期是不，，T=-=7V，：.(D=2,

a)

/(x))是奇函数，.•.9+(=左万，k&Z,

即9=左万一2，k&Z,|9?|<y,当左=0时，(P-

即/(x)=-Jlsinlx,

则/(%)在］单调递减,

故选：B.

点睛：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的

关键.

9.以A(L3),8(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是

A.3x-y+8=0B.3x+y+4=0c.3x-y+6=0D.3x+y+3=0

【答案】B

【解析】

【分析】

求出A3的中点坐标，求出AB的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程.

【详解】

因为A(l,3),B(-5,1),

,3-11

所以的中点坐标(-2,2),直线AB的斜率为汜=

1+53

所以AB的中垂线的斜率为：-3,

所以以A(l,3),3(—5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是y-2=-3(x+2),即3x+y+4=0.

故选：B

【点睛】

本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力.

10.等差数列｛an｝中，ai+a5=10,a4=7,则数列｛an｝的公差为

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

ai+as^lO,34^7,—id2

(2at44d=10,

i3d=7

11.