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PAGEPAGE23其次章直线和圆的方程A卷基础过关必刷卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知直线与圆:交于两点,若为等腰直角三角形,则的值为()A. B. C. D.2.已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点,且点在直线上,则的取值范围是()A. B. C. D.3.已知,直线上存在点,满意,则的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.4.2024年12月4日,嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定:大五角星有一个角尖正向上方,四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发觉,第三颗小星的姿态与大星相近.为便于探讨,如图,以大星的中心点为原点,建立直角坐标系,,,,分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线,,则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A. B. C. D.5.已知圆:,直线:,若在直线上任取一点作圆的切线,,切点分别为,,则最小时,原点到直线的距离为()A. B. C. D.6.直线被圆所截得的弦长为,则()A. B. C. D.7.已知点,与直线,且直线与线段相交,则直线的斜率的取值范围为()A.或 B.或 C. D.8.已知直线l与单位圆O相交于,两点,且圆心O到l的距离为,则的取值范围是()A. B. C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9.已知圆与圆有且仅有两条公共切线,则实数的取值可以是()A. B. C. D.10.一条斜率不为0的直线,令,则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点,反射后射到y轴上的点,再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同,则下列结论正确的是()A.B.C.D.11.设,为正数,若直线被圆截得弦长为4,则()A. B.C. D.12.下列说法正确的是()A.直线必过定点B.直线在轴上的截距为C.直线的倾斜角为60°D.过点且垂直于直线的直线方程为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.设点P是直线上的动点,过点P引圆的切线(切点为),若的最大值为,则该圆的半径r等于____.14.已知函数有两个不同的零点,则常数的取值范围是___________.15.在平面直角坐标系中,已知直线与圆交于、两点,过点、分别作圆的两条切线与,直线与交于点,则线段长度的最小值是___________.16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个好玩的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中,设军营所在平面区域为,河岸线所在直线方程为.假定将军从点处动身,只要到达军营所在区域即回到军营,则将军可以选择最短路程为_____________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆M过C(1,﹣1),D(﹣1,1)两点,且圆心M在x+y﹣2=0上.(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.18.点E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,点M在边AB上,且,沿图1中的虚线DE,EF,FD将,折起使A,B,C三点重合,重合后的点记为点P,如图2.(1)证明:;(2)若正方形ABCD的边长为6,求点M到平面DEF的距离.19.已知点在抛物线上,过点作圆()的两条切线,与抛物线分别交于、两点,切线、与圆分别相切于点、.(1)若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等,求点的坐标;(2)若点的坐标为,且时,求的值;(3)若点的坐标为,设线段中点的纵坐标为,求的取值范围.20.如图,为爱护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形爱护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;爱护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上随意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形爱护区的面积最大?21.如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L⊥直线AB.点P是圆O上异于A、B的随意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点.试建立适当的直角坐标系,解决下列问题:(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程;(2)当点P改变时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的肯定点.22.已知圆内一点,直线过点且与圆交于,两点.(1)求圆的圆心坐标和面积;(2)若直线的斜率为,求弦的长;(3)若圆上恰有三点到直线的距离等于,求直线的方程一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知直线与圆:交于两点,若为等腰直角三角形,则的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得:,所以圆心,半径,由为等腰直角三角形知,圆心到直线的距离,所以,解得,故选:D.2.已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点,且点在直线上,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】将圆与圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为,即,由,得,即点,因此,,,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,因此,的取值范围是.故选:D.3.已知,直线上存在点,满意,则的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】将代入得,将代入得,所以A,B不在直线l上,又上,所以点p在线段AB上,直线AB的方程为:,由,解得,直线方程,即为,设直线的倾斜角为,则,因为,所以,则,所以,即,因为,所以,故选:D4.2024年12月4日,嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定:大五角星有一个角尖正向上方,四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发觉,第三颗小星的姿态与大星相近.为便于探讨,如图,以大星的中心点为原点,建立直角坐标系,,,,分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线,,则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A. B. C. D.【答案】C【解析】都为五角星的中心点,平分第三颗小星的一个角,又五角星的内角为,可知,过作轴平行线,则,所以直线的倾斜角为,故选:C5.已知圆:,直线:,若在直线上任取一点作圆的切线,,切点分别为,,则最小时,原点到直线的距离为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由得,所以圆心,半径,在中,,当最小时,最小,最大,最小,此时,的最小值为圆心到直线的距离:,此时,,因为,所以,所以圆心到直线的距离为,所以两平行直线与之间的距离为,因为原点到直线的距离为,所以原点到直线的距离为.故选:A6.直线被圆所截得的弦长为,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】,即,该圆圆心为,半径为直线截圆所得的弦长为,则圆心到直线的距离为,解得故选:A7.已知点,与直线,且直线与线段相交,则直线的斜率的取值范围为()A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】解:已知点,与直线,且直线与线段相交,直线,即直线,它经过定点,的斜率为,的斜率为,则直线的斜率的取值范围为或,故选:.8.已知直线l与单位圆O相交于,两点,且圆心O到l的距离为,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的方程为,圆心到直线的距离为,交于与,由与联立得或,则,解除BD;圆心到直线的距离为,交于和设与联立得或则,解除D,故选:A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9.已知圆与圆有且仅有两条公共切线,则实数的取值可以是()A. B. C. D.【答案】CD【解析】圆方程可化为:,则圆心,半径;由圆方程知:圆心,半径;圆与圆有且仅有两条公切线,两圆相交,又两圆圆心距,,即,解得:或,可知CD中的的取值满意题意.故选:CD.10.一条斜率不为0的直线,令,则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点,反射后射到y轴上的点,再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】AB【解析】由题意知的图象过点和,所以直线,,又和中和y的系数相同,且的图象过,所以.对于A,,所以A正确;对于B,,,所以,选项B正确;对于C,,所以C错误;对于D,,,所以D错误.故选AB.11.设,为正数,若直线被圆截得弦长为4,则()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由可得,故圆的直径是4,所以直线过圆心,即,故B正确;又,均为正数,所以由均值不等式,当且仅当时等号成立;故C正确;又,当且仅当,即,即时,等号成立,故D正确.故选:BCD12.下列说法正确的是()A.直线必过定点B.直线在轴上的截距为C.直线的倾斜角为60°D.过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【解析】可化为,则直线必过定点,故A正确;令,则,即直线在轴上的截距为,故B正确;可化为,则该直线的斜率为,即倾斜角为,故C错误;设过点且垂直于直线的直线的斜率为因为直线的斜率为,所以,解得则过点且垂直于直线的直线的方程为,即,故D正确;故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.设点P是直线上的动点,过点P引圆的切线(切点为),若的最大值为,则该圆的半径r等于____.【答案】1【解析】设圆的圆心为,因为点P是直线上的动点,所以当点到点的距离最小时,取得最大值,此时与直线垂直,因为为,所以,点到直线的距离为,在中,,故答案为:114.已知函数有两个不同的零点,则常数的取值范围是___________.【答案】【解析】由函数有两个不同的零点,可知与的图象有两个不同的交点,故作出如下图象,当与的图象相切时,,即,由图可知,故相切时,因此结合图象可知,当时,与的图象有两个不同的交点,即当时,函数有两个不同的零点.故答案为:.15.在平面直角坐标系中,已知直线与圆交于、两点,过点、分别作圆的两条切线与,直线与交于点,则线段长度的最小值是___________.【答案】【解析】圆的圆心坐标为,半径为.直线过定点,连接、,如图,为圆的半径是定值,,要使最小,则最大,即最小,也就是最小,此时,,,.求得,线段长度的最小值是.故答案为:.16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个好玩的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中,设军营所在平面区域为,河岸线所在直线方程为.假定将军从点处动身,只要到达军营所在区域即回到军营,则将军可以选择最短路程为_____________.【答案】【解析】设点关于直线的对称点,解得,所以,将军从P动身到达直线上点A再到营区,,所以本题问题转化为求点到营区的最短距离,依据圆的几何性质可得最短距离为.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆M过C(1,﹣1),D(﹣1,1)两点,且圆心M在x+y﹣2=0上.(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.【答案】(1);(2).【解析】解:(1)设圆的方程为:,依据题意得,故所求圆M的方程为:;(2)如图,四边形的面积为,即又,所以,而,即.因此要求的最小值,只需求的最小值即可,的最小值即为点到直线的距离所以,四边形面积的最小值为.18.点E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,点M在边AB上,且,沿图1中的虚线DE,EF,FD将,折起使A,B,C三点重合,重合后的点记为点P,如图2.(1)证明:;(2)若正方形ABCD的边长为6,求点M到平面DEF的距离.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)因为是正方形,所以折起后有,.又交于点,所以平面.又平面,所以.(2)设点到平面的距离为,因为AB=3AM,所以PE=3ME,所以点M到平面DEF的距离为.又两两垂直,所以平面.因为,,所以.而,所以,解得,所以点到平面的距离为.19.已知点在抛物线上,过点作圆()的两条切线,与抛物线分别交于、两点,切线、与圆分别相切于点、.(1)若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等,求点的坐标;(2)若点的坐标为,且时,求的值;(3)若点的坐标为,设线段中点的纵坐标为,求的取值范围.【答案】(1)或;(2);(3).【解析】(1)设点的坐标为,则,解得或,即点的坐标为或;(2)当点的坐标为,且时,,在直角三角形中,,且,同理,,且,从而;(3)由题意知切线、的斜率均存在且不为零,设切线方程为,由,得,记切线、的斜率分别为、,则,由于切线、的方程分别为、,联立,消去,得,设、,则,故,同理,,于是,因为,所以,.所以.即的取值范围是.20.如图,为爱护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形爱护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;爱护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上随意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形爱护区的面积最大?【答案】(1)150m(2)|OM|=10m【解析】试题分析:本题是应用题,我们可用解析法来解决,为此以为原点,以向东,向北为坐标轴建立直角坐标系.(1)点坐标为,,因此要求的长,就要求得点坐标,已知说明直线斜率为,这样直线方程可马上写出,又,故斜率也能得出,这样方程已知,两条直线的交点的坐标随之而得;(2)实质就是圆半径最大,即线段上哪个点到直线的距离最大,为此设,由,圆半径是圆心到直线的距离,而求它的最大值,要考虑条件古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80,列出不等式组,可求得的范围,进而求得最大值.当然本题假如用解三角形的学问也可以解决.试题解析:(1)如图,以为轴建
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