2024-2025新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量的方差素养检测含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE十二离散型随机变量的方差(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.(多选题)若随机变量X听从两点分布,其中PQUOTE=QUOTE,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 ()A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.DQUOTE=QUOTE【解析】选AB.随机变量X听从两点分布,其中PQUOTE=QUOTE,所以P(X=1)=QUOTE,E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE,D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,在A中,P(X=1)=E(X),故A正确;在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×QUOTE+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×QUOTE=2,故C错误;在D中,D(X)=QUOTE,故D错误.2.已知随机变量ξ的分布列如表,则ξ的标准差为 ()ξ135P0.40.1xA.3.56 B.QUOTE C.3.2 D.QUOTE【解析】选D.由分布列的性质得:0.4+0.1+x=1,解得:x=0.5,所以EQUOTE=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,所以DQUOTE=QUOTE×0.4+QUOTE×0.1+QUOTE×0.5=3.56,所以ξ的标准差为QUOTE=QUOTE.3.随机变量ξ的分布列如下表,且E(ξ)=1.1,则D(ξ)= ()ξ01xPpA.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.684【解析】选C.先由随机变量分布列的性质求得p=QUOTE.由E(ξ)=0×QUOTE+1×QUOTE+QUOTEx=1.1,得x=2,所以D(ξ)=(0-1.1)2×QUOTE+(1-1.1)2×QUOTE+(2-1.1)2×QUOTE=0.49.4.设随机变量X的概率分布为PQUOTE=QUOTE,i=1,2,3,则DQUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】选B.因为P(X=i)=QUOTE,i=1,2,3,所以E(X)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=2,D(X)=QUOTE×(1-2)2+QUOTE×(2-2)2+QUOTE×(3-2)2=QUOTE.5.已知随机变量X的取值为1,2,3,若PQUOTE=QUOTE,EQUOTE=QUOTE,则DQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设P(X=1)=p,P(X=2)=q,因为E(X)=p+2q+3×QUOTE=QUOTE①,又因为QUOTE+p+q=1②,由①②得,p=QUOTE,q=QUOTE,所以D(X)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.6.袋子里有5个不同的小球,编号分别为1,2,3,4,5,从袋中一次取出三个球,记随机变量ξ是取出球的最大编号与最小编号的差,数学期望为EQUOTE,方差为D(ξ),则下列选项正确的是 ()A.EQUOTE=2,DQUOTE=0.6B.EQUOTE=2,D(ξ)=0.4C.E(ξ)=3,DQUOTE=0.4D.EQUOTE=3,DQUOTE=0.6【解析】选D.从5个球中取3个球,共有QUOTE=10种取法,其组合分别为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),所以随机变量ξ的可能取值为4,3,2,P(ξ=4)=QUOTE,P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE.所以E(ξ)=4×QUOTE+3×QUOTE+2×QUOTE=3,D(ξ)=(4-3)2×QUOTE+(3-3)2×QUOTE+(2-3)2×QUOTE=0.6.二、填空题(每小题5分,共10分)7.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量X1,X2,已知E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),则自动包装机的包装质量较好.

【解析】因为E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),故乙包装机的包装质量稳定.答案:乙8.若随机变量X的分布列如表,且EQUOTE=2,则D(2X-3)的值为.

X02aPp【解析】由题意可得:QUOTE+p+QUOTE=1,解得p=QUOTE,因为E(X)=2,所以0×QUOTE+2×QUOTE+a×QUOTE=2,解得a=3.所以D(X)=(0-2)2×QUOTE+(2-2)2×QUOTE+(3-2)2×QUOTE=1.所以D(2X-3)=4D(X)=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知随机变量X的分布列为X01xPp若EQUOTE=QUOTE.(1)求DQUOTE的值;(2)若Y=3X-2,求DQUOTE的值.【解析】(1)由题意可得QUOTE+QUOTE+p=1,得p=QUOTE,又EQUOTE=0×QUOTE+1×QUOTE+x×QUOTE=QUOTE,解得x=2.所以DQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+2-QUOTE2×QUOTE=QUOTE.(2)因为Y=3X-2,所以DQUOTE=DQUOTE=9DQUOTE=9×QUOTE=5.10.依据以往的阅历,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率;(2)工期延误天数Y的均值与方差.【解析】(1)由题意可得PQUOTE=1-P(X<300)=1-0.3=0.7,X≥300且工期延误不超过6天的概率为PQUOTE=PQUOTE=P(X<900)-PQUOTE=0.9-0.3=0.6,因此,在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率为PQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE;(2)由题意可知PQUOTE=0.3,PQUOTE=PQUOTE-PQUOTE=0.7-0.3=0.4,PQUOTE=PQUOTE-PQUOTE=0.9-0.7=0.2,PQUOTE=1-PQUOTE=1-0.9=0.1.所以,随机变量Y的分布列如表所示:Y02610P0.30.40.20.1所以EQUOTE=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,DQUOTE=QUOTE×0.3+QUOTE×0.4+QUOTE×0.2+QUOTE×0.1=9.8.所以,工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.已知ξ的分布列为ξ-101P则在下列各式,①E(ξ)=-QUOTE;②D(ξ)=QUOTE;③P(ξ=0)=QUOTE中,正确的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.由题意,依据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得:EQUOTE=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE,所以①正确;DQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以②不正确;又由分布列可知P(ξ=0)=QUOTE,所以③正确.2.一个袋中放有大小、形态均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】选B.ξ1可能的取值为0,1,2;ξ2可能的取值为0,1,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE,故E(ξ1)=QUOTE,D(ξ1)=02×QUOTE+22×QUOTE+12×QUOTE-QUOTE=QUOTE.PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,故E(ξ2)=QUOTE,D(ξ2)=02×QUOTE+12×QUOTE-QUOTE=QUOTE,故E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).3.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满意Y=2X+1,则下列结果正确的有 ()A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2【解析】选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.4.已知a,b∈R,随机变量X,Y的分布列是X-101PabY-101Pab则随着a的增大,DQUOTE ()A.始终增大 B.始终减小C.先增大后减小 D.先减小后增大【解析】选C.由题意得a+b=QUOTE,即b=QUOTE-a,所以E(X)=(-1)×QUOTE+0×a+1×b=b-QUOTE=QUOTE-a,D(X)=QUOTE×QUOTE+a×QUOTE+b×QUOTE=QUOTE×QUOTE+a×a-QUOTE2+QUOTE-a×QUOTE=-a2-QUOTEa+QUOTE,E(Y)=(-1)×a+0×b+1×QUOTE=QUOTE-a,D(Y)=a×QUOTE+b×QUOTE+QUOTE×QUOTE=a×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-a2+QUOTEa+QUOTE,因为X,Y相互独立,所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)=-2a2+QUOTEa+QUOTE=-2QUOTE+QUOTE,因为0<a<QUOTE,所以当0<a<QUOTE时,D(X+Y)随a的增大渐渐增大;当QUOTE<a<QUOTE时,D(X+Y)随a的增大渐渐减小.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知随机变量ξ的分布列为:ξ123P0.5xy若E(ξ)=QUOTE,则D(ξ)=.

【解析】由E(ξ)=1×0.5+2x+3y=QUOTE,整理得:2x+3y=QUOTE,又由0.5+x+y=1,即x+y=QUOTE,所以x=QUOTE,y=QUOTE,D(ξ)=QUOTE×0.5+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.已知不透亮口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球,现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球).记换好后袋中的白球个数为X,则X的数学期望E(X)=,方差D(X)=.

【解析】依题意可知X的可能取值为1,3,且PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE.故X的分布列为X13P所以EQUOTE=1×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE,DQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE7.已知随机变量X的分布列为X012Pa2ab当D(X)最大时,E(X)=.

【解析】由题知b=1-3a,所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a,故当a=QUOTE时D(X)最大,此时E(X)=QUOTE.答案:QUOTE8.随机变量X的概率分布为P(X=n)=QUOTE(n=1,2,3),其中a是常数,则DQUOTE=.

【解析】由题意得QUOTE+QUOTE+QUOTE=aQUOTE=QUOTEa=1,则a=QUOTE,所以PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则E(X)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE,D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以D(aX)=a2D(X)=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.某商场经销某商品,依据以往资料统计,顾客采纳的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.20.30.30.10.1商场经销一件该商品,采纳1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为300元;分4期或5期付款,其利润为400元,η表示经销一件该商品的利润.(1)求事务A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采纳1期付款”的概率PQUOTE;(2)求η的分布列、期望和方差.【解析】(1)购买该商品的3位顾客中至少有1位采纳1期付款的对立事务是购买该商品的3位顾客中无人采纳1期付款,由A表示事务“购买该商品的3位顾客中至少有1位采纳1期付款”,知QUOTE表示事务“购买该商品的3位顾客中无人采纳1期付款”.PQUOTE=QUOTE=0.512,所以PQUOTE=1-PQUOTE=1-0.512=0.488;(2)依据顾客采纳的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,300元,400元.得到变量对应的事务的概率PQUOTE=PQUOTE=0.2,PQUOTE=PQUOTE+PQUOTE=0.3+0.3=0.6,PQUOTE=PQUOTE+PQUOTE=0.1+0.1=0.2,η的分布列为η200300400P0.20.60.2所以EQUOTE=200×0.2+