福建省福州市平潭县新世纪学校2025届高三数学下学期百盛练习试题53冲刺班

PAGEPAGE10福建省福州市平潭县新世纪学校2025届高三数学下学期百盛练习试题（53）（冲刺班）一、单选题1．下列命题正确的是（）A．平面α内的一条直线a垂直于平面β内的多数条直线，则α⊥βB．若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面βC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a与平面α内的多数条直线都垂直，则不能说肯定有a⊥α2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β3．如图，平面α⊥平面β，Aα，Bβ，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于（）A．2∶1B．3∶1C．3∶2 D．4∶34．已知直线，平面，，∥，，那么“⊥β”是“⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在四面体中，平面，且，．若四面体外接球的半径为，则与平面所成角的正切值为（）A． B． C． D．二、填空题6．已知直三棱柱，，，则直线与侧面所成角的正弦值是______.7．三棱锥的底面是边长为的等边三角形，二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.8．如图，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，则点到平面的距离等于______．三、解答题9．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝，PA⊥底面ABCD，PA＝，在CD上确定一点E，使得平面PBE⊥平面PAB.10．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：（1）BG⊥平面PAD；（2）AD⊥PB.

参考答案1．D【分析】对于AB举出反例得出推断，由面面垂直的性质定理可以推断C，由线面垂直的定义可以推断D.【详解】A项，如图平面α内的一条直线a垂直于平面β内的多数条直线，但αβ，故A错误；B项，如图平面α⊥β，但α内的直线不垂直于平面β，故B错误；C项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C错误；D项，a与平面α内的随意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确.故选：D.2．C【分析】在A中，与β相交或相行；在B中，与不肯定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得.【详解】在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则与不肯定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，由面面平行的判定定理得，故D错误.故选：C3．A【分析】先用性质找出α，β的垂线，再作出相关线面角，设，利用直角三角形计算可得.【详解】由已知条件可知，设AB=2a，则BB′=2asin

=a，A′B＝2acos＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.【点睛】（1）线面垂直出现再条件中，一般用性质可得线面垂直；（2）与线面角有关的问题，可考虑用定义做出所求的角，或者求法向量用公式解决.4．C【分析】若⊥β，在平面内找到与平行的直线，依据面面垂直的判定定理可得⊥β，若⊥β，在平面内找到与平行的直线，依据面面垂直的性定定理可得⊥β，再依据充要条件的定义可得答案.【详解】若⊥β，过直线作平面γ，交平面于直线，∵，∴，又⊥β，∴⊥β，又∵α，∴⊥β，若⊥β，过直线作平面γ，交平面于直线，∵，∴，∵，∴，又∵⊥β，∩β＝，∴，∴，故“⊥β”是“⊥β”的充要条件，故选：C．5．B【分析】将四面体补全为长方体，可知长方体的外接球即为四面体的外接球，由外接球半径可构造方程求得，依据垂直关系知所求线面角为，由长度关系得到结果.【详解】平面，，可将四面体补全为如图所示的长方体，则长方体的外接球即为四面体的外接球，其外接球半径，又，，平面，与平面所成的角为，，即与平面所成角的正切值为.故选：B.6．【分析】取中点，连接，证明平面，可得为直线与侧面所成的角，进而可得答案.【详解】取中点，连接，

直三棱柱中，平面，平面，，又，，又，面，平面，在平面上的射影为，故为直线与侧面所成的角，中，，中，，中，，故答案为：.7．【分析】设为中点，为正外心，可得是二面角的平面角为，作底面，垂足为，在上，设外接球球心，则，作于，设，利用，由已知线段长及二面角的大小求出图形中各线段长，然后利用勾股定理求得（以图中位置计算出值，假如，说明在平面上方，假如，则在平面正方）．然后可得外接球半径，从而得球面积．【详解】如图，设为中点，为正外心，依题意有，，∴，∴，则易证为二面角的平面角，，设在底面的射影为，则可证在上，则，，，，，设为三棱锥的外接球球心，可证，过点在面内作，为垂足，则，，设求半径为，，则，，解得，.则球心在底面的下方，事实上当在底面的下方时解得，.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：．8．【分析】将三棱锥补全为边长为1的正方体，再由等体积法求得点到平面距离.【详解】由题意，可将三棱锥补全为边长为1的正方体如图所示，，，设点到平面的距离为，则由得，所以．故答案为：9．E为CD的中点.【分析】取CD的中点E，连接PE，BE，BD，由已知△BCD是等边三角形得BE⊥CD，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE，可得BE⊥平面PAB可得答案.【详解】取CD的中点E，连接PE，BE，BD，由底面ABCD是菱形且∠BCD＝知，△BCD是等边三角形，因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BE⊥平面PAB，又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB，所以当E为CD的中点时，平面PBE⊥平面PAB.10．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用正三角形的性质得，由面面垂直的性质定理得得线面垂直，从而有线线垂直，，再由菱形得正三角形，得，由纯平面垂直判定定理可证结论；（2）在（1）的基础上可得与平面垂直，从而得证线线垂直．【详解】（1）由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，又BG⊂平面ABCD