河北省邯郸市大名县第一中学2025届高三数学上学期第九周周测试题

PAGE24-河北省邯郸市大名县第一中学2025届高三数学上学期第九周周测试题一、单选题1．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小是（）A．B．C． D．3．正方形ABCD和矩形BEFC组成图1，G是EF的中点，BC=2BE.将矩形BEFC沿BC折起，使平面平面ABCD，连接AG，DF，得到图2，则（）图1.图2.A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线4．在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，说法正确的是（）A．B．C．平面 D．平面5．在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，，，的面积分别为,，，则该三棱锥的体积为（）A． B． C．6 D．6．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（）A． B． C． D．7．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则下列说法错误的是（）A．与垂直 B．与平面垂直C．与平面平行 D．与平面平行8．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，则下列结论错误的是（）A．若，，则点是的中点B．若，则点是的外心C．若，，，则点是的垂心D．若，，，则四面体外接球的表面积为9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是()A．45°B．30°C．60° D．90°10．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的随意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥AB B．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC二、多选题11．已知直线､和平面，下列说法中不正确的有（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．直线平行于平面内的多数条直线，则12．下面四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（）A．B．C． D．13．已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（）．A．该四棱台的高为B．C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为第II卷（非选择题）三、填空题14．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________15．已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积是_______.16．在三棱锥中，平面，是等腰三角形，其中，，，则三棱锥的外接球的表面积为__.四、解答题17．如图，将直角边长为的等腰直角三角形，沿斜边上的高翻折，使二面角的大小为，翻折后的中点为.（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.18．如图，在棱柱中，侧棱底面，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.参考答案1．D【解析】【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一推断，即可得到答案.【详解】A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.C.若，，则可能，所以不正确.D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.

所以，所以有，所以正确.故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的推断，线面平行和垂直的推断,属于基础题.2．D【解析】【分析】连结，可得，由面得，可得平面，则，有，可得，即与所成的角的大小是，故选D项.【详解】连结正方体，面面，所以正方形中，面，所以面，而面所以又为中点，为中点，可得所以，即异面直线与所成的角的大小是.故选D项.【点睛】本题考查正方体内异面直线所成的角，通过线线垂直证明线面垂直，属于中档题.3．B【解析】【分析】依据平面图形翻折前后，相关线段或直线的位置变更可知，，并未变更，所以可知在一个平面内，又因为,所以是相交直线．再依据条件可得平面，所以，即．【详解】如图，连接，因为，且，同理，且,所以,且，故为平行四边形，所以在一个平面内．又因为,所以是相交直线．由题知，所以平面．故平面，所以，所以，即．故选：B．【点睛】本题主要考查平面图形翻折前后相关线段或直线位置变更，意在考查学生的直观想象实力和逻辑推理实力，属于中档题．4．C【解析】【分析】设，证明出，可推断出选项A、C的正误；由为等腰三角形结合可推断出B选项的正误；证明平面可推断出D选项的正误.【详解】如下图所示，设，则为的中点，在正方体中，，则四边形为平行四边形，.易知点、分别为、的中点，，则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；四边形为正方形，则，在正方体中，平面，平面，，，平面，平面，，同理可证，且，平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选C.【点睛】本题考查线线、线面关系的推断，解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证明线面平行、线面垂直，考查推理实力，属于中等题.5．B【解析】分析：将三个面积的表达式列出，相乘可得，同时，从而得解.详解：由，，的面积分别为,，，且，，两两垂直，可得：三个式子相乘可得：∴．

故选B.点睛：，，两两垂直，此位置关系可以将几何体放入长方体内，点A即为长方体的一个顶点.6．B【解析】【分析】先依据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形态再求解.【详解】如图所示：确定一个平面，因为平面平面，所以，同理，所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四边形故选：B【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的实力，属于中档题.7．C【解析】【分析】对于选项A、B、D，利用线线垂直的判定定理及线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理证明即可，对于选项C，由及平面，即可推断C选项错误.【详解】对于选项A，连接，，由三角形中位线学问即可证得，由选项B可得平面，所以与垂直对于选项B，由三角形中位线学问即可证得，正方体中，易得及平面，所以，又所以平面，所以与平面垂直对于选项C，因为，平面，所以与平面至少有一个公共点，与平面不行能平行.对于选项D，由B选项的证明可得，又，所以，又平面所以与平面平行故选：C【点睛】本题主要考查了点、线、面关系的推断及线线垂直、线面垂直、线面平行的证明，还考查了推理论证实力，属于中档题.8．D【解析】【分析】应用直线与平面垂直的判定和性质，平面几何中三角形的重心、垂心和外心以及外接球半径的的学问，即可解决．【详解】解：过三角形ABC所在平面外的一点P，作PO⊥平面α，垂足为O，连PA、PB、PC，对于A、B选项，若PA=PB=PC，连接OA，OB，OC，则OA=OB=OC，则O为三角形ABC的外心；又∠C=90°，则O为AB的中点．故A、B正确．

对于C选项，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC，

又PO⊥平面ABC，则PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而BC⊥AO，

同理AB⊥CO，AC⊥BO，故O为三角形的垂心，故C正确．对于D选项，由，，，知四面体对棱相等，故如图,要求四面体外接球的表面积，即求以该四面体的棱作为面对角线的长方体的外接球的表面积，设长方体的棱长为，则,所以长方体的体对角线为，故，∴四面体外接球的表面积为，故D错.故选：D.【点睛】本题主要考查空间的线面位置关系--垂直,以及外接球表面积的求法，解题时要结合平面几何的基础学问，同时考查逻辑推理实力，是一道中档题．9．D【解析】如图，设正方形边长为a，作AO⊥BD，则AM＝又AD＝a，DM＝，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.选D.10．D【解析】分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系进行推断.详解：对于A项，MN与AB异面，故A项错；对于B项，可证BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角为90°，因此B项错；对于C项，OC与AC不垂直，所以OC不行能垂直平面VAC，故C项错；对于D项，由于BC⊥AC，VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故D项正确．点睛：本题考查命题的真假推断，解题时要仔细审题，留意空间思维实力的合理运用.11．ABCD【解析】【分析】依据线线、线面、面面关系的判定定理及性质定理推断可得；【详解】解：由直线､和平面，得：在中，若，，则与相交､平行或异面，故错误；在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则与平行或异面，故错误；在中，直线平行于平面内的多数条直线，则或，故错误．故选：．【点睛】本题考查命题真假的推断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，属于中档题．12．AD【解析】【分析】对每个图形进行分析，依据面面平行的性质定理对A推断．由线面平行判定定理对D推断，由线面相交的定义对B，C推断．【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）A如图连接，可得，从而得平面，平面，于是有平面平面，∴平面，B．如图连接交于点，连接，易知在底面正方形中不是中点（事实上是四等分点中靠近的一个），而是中点，因此与不平行，在平面内，与必相交，此交点也是直线与平面的公共点，直线与平面相交而不平行，C.如图，连接，正方体中有，因此在平面内，直线与平面相交而不平行，D.如图，连接，可得，，即，直线与平面平行，故选：AD【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，驾驭证明线面平行的方法是解题基础．13．AD【解析】【分析】依据棱台的性质，补全为四棱锥，依据题中所给的性质，进行推断．【详解】解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于，，可知△与相像比为；则，，则，则，该四棱台的高为，对；因为，则与夹角为，不垂直，错；该四棱台的表面积为，错；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上中，由于，，则，即点到点与点的距离相等，则，该四棱台外接球的表面积为，对，故选：AD．【点睛】本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题．14．8【解析】【分析】由斜二测画法还原得到原图形为平行四边形，其中，求得各边长后即可得到原图形的周长.【详解】由斜二测画法还原可得正方形的原图形为下图中的其中，原图形周长为：故答案为【点睛】本题考查斜二测画法的基本原则，属于基础题.15．【解析】【分析】依据题意，得出三棱锥全部棱长都为，求出三棱锥的底面积和高，再利用棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】解：已知正方体的棱长为2，则三棱锥全部棱长都为，则的面积为：，的外接圆半径为：，三棱锥的高为：，则三棱锥的体积是：.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的体积，涉及正方体的性质和三棱锥的性质，考查计算实力.16．【解析】【分析】首先找到三棱锥的外接球的球心，再依据勾股定理计算外接球的半径，以及外接球的表面积.【详解】设是外接圆的圆心，平面，平面，，点是线段的中点，过点作的垂线，交于点，即四边形是矩形，连结，此时点到的距离相等，即点为三棱锥的外接球的球心，中依据余弦定理可知,即,依据正弦定理可知，即，且，则，即三棱锥的外接球的半径为，所以外接球的表面积.故答案为：【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，中点考查空间想象实力，计算实力，属于中档题型，本题的关键是确定外接球的球心.17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）证出，，然后利用线面垂直的判定定理即可证出.（Ⅱ）设点到平面的距离为，利用等体法，由三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）∵折叠前，是斜边上的高，∴是的中点，∴，又因为折叠后是的中点，∴，折叠后，∴，，∴平面；（Ⅱ）设点到平面的距离为，由题意得，∵，∴，∴.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离、三棱锥的体积公式，考查了逻辑推理实力，属于基础题.18．（1）详见解析；（2）.【解析】