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文档简介
PAGE24-河北省邯郸市大名县第一中学2025届高三数学上学期第九周周测试题一、单选题1.设l是直线,,是两个不同的平面,下列命题正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则2.如图,在正方体中,分别是棱的中点,则异面直线与所成的角的大小是()A.B.C. D.3.正方形ABCD和矩形BEFC组成图1,G是EF的中点,BC=2BE.将矩形BEFC沿BC折起,使平面平面ABCD,连接AG,DF,得到图2,则()图1.图2.A.,且直线是相交直线B.,且直线是相交直线C.,且直线是异面直线D.,且直线是异面直线4.在正方体中,点是四边形的中心,关于直线,说法正确的是()A.B.C.平面 D.平面5.在三棱锥中,侧棱,,两两垂直,,,的面积分别为,,,则该三棱锥的体积为()A. B. C.6 D.6.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()A. B. C. D.7.如图,在正方体中,,分别是,的中点,则下列说法错误的是()A.与垂直 B.与平面垂直C.与平面平行 D.与平面平行8.过所在平面外一点,作,垂足为,连接,,,则下列结论错误的是()A.若,,则点是的中点B.若,则点是的外心C.若,,,则点是的垂心D.若,,,则四面体外接球的表面积为9.将正方形ABCD沿BD折成直二面角,M为CD的中点,则∠AMD的大小是()A.45°B.30°C.60° D.90°10.如图所示,AB是⊙O的直径,VA垂直于⊙O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的随意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是()A.MN∥AB B.MN与BC所成的角为45°C.OC⊥平面VAC D.平面VAC⊥平面VBC二、多选题11.已知直线、和平面,下列说法中不正确的有()A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.直线平行于平面内的多数条直线,则12.下面四个正方体图形中,、为正方体的两个顶点,、、分别为其所在棱的中点,能得出平面的图形是()A.B.C. D.13.已知四棱台的上下底面均为正方形,其中,,,则下述正确的是().A.该四棱台的高为B.C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为第II卷(非选择题)三、填空题14.如图,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是________15.已知正方体的棱长为2,则三棱锥的体积是_______.16.在三棱锥中,平面,是等腰三角形,其中,,,则三棱锥的外接球的表面积为__.四、解答题17.如图,将直角边长为的等腰直角三角形,沿斜边上的高翻折,使二面角的大小为,翻折后的中点为.(Ⅰ)证明平面;(Ⅱ)求点到平面的距离.18.如图,在棱柱中,侧棱底面,点是的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正切值.参考答案1.D【解析】【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一推断,即可得到答案.【详解】A.若,,则与可能平行,也可能相交,所以不正确.B.若,,则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.C.若,,则可能,所以不正确.D.若,,由线面平行的性质过的平面与相交于,则,又.
所以,所以有,所以正确.故选:D【点睛】本题考查面面平行、垂直的推断,线面平行和垂直的推断,属于基础题.2.D【解析】【分析】连结,可得,由面得,可得平面,则,有,可得,即与所成的角的大小是,故选D项.【详解】连结正方体,面面,所以正方形中,面,所以面,而面所以又为中点,为中点,可得所以,即异面直线与所成的角的大小是.故选D项.【点睛】本题考查正方体内异面直线所成的角,通过线线垂直证明线面垂直,属于中档题.3.B【解析】【分析】依据平面图形翻折前后,相关线段或直线的位置变更可知,,并未变更,所以可知在一个平面内,又因为,所以是相交直线.再依据条件可得平面,所以,即.【详解】如图,连接,因为,且,同理,且,所以,且,故为平行四边形,所以在一个平面内.又因为,所以是相交直线.由题知,所以平面.故平面,所以,所以,即.故选:B.【点睛】本题主要考查平面图形翻折前后相关线段或直线位置变更,意在考查学生的直观想象实力和逻辑推理实力,属于中档题.4.C【解析】【分析】设,证明出,可推断出选项A、C的正误;由为等腰三角形结合可推断出B选项的正误;证明平面可推断出D选项的正误.【详解】如下图所示,设,则为的中点,在正方体中,,则四边形为平行四边形,.易知点、分别为、的中点,,则四边形为平行四边形,则,由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,则A选项中的命题错误;,平面,平面,平面,C选项中的命题正确;易知,则为等腰三角形,且为底,所以,与不垂直,由于,则与不垂直,B选项中的命题错误;四边形为正方形,则,在正方体中,平面,平面,,,平面,平面,,同理可证,且,平面,则与平面不垂直,D选项中的命题错误.故选C.【点睛】本题考查线线、线面关系的推断,解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证明线面平行、线面垂直,考查推理实力,属于中等题.5.B【解析】分析:将三个面积的表达式列出,相乘可得,同时,从而得解.详解:由,,的面积分别为,,,且,,两两垂直,可得:三个式子相乘可得:∴.
故选B.点睛:,,两两垂直,此位置关系可以将几何体放入长方体内,点A即为长方体的一个顶点.6.B【解析】【分析】先依据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形态再求解.【详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B【点睛】本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的实力,属于中档题.7.C【解析】【分析】对于选项A、B、D,利用线线垂直的判定定理及线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理证明即可,对于选项C,由及平面,即可推断C选项错误.【详解】对于选项A,连接,,由三角形中位线学问即可证得,由选项B可得平面,所以与垂直对于选项B,由三角形中位线学问即可证得,正方体中,易得及平面,所以,又所以平面,所以与平面垂直对于选项C,因为,平面,所以与平面至少有一个公共点,与平面不行能平行.对于选项D,由B选项的证明可得,又,所以,又平面所以与平面平行故选:C【点睛】本题主要考查了点、线、面关系的推断及线线垂直、线面垂直、线面平行的证明,还考查了推理论证实力,属于中档题.8.D【解析】【分析】应用直线与平面垂直的判定和性质,平面几何中三角形的重心、垂心和外心以及外接球半径的的学问,即可解决.【详解】解:过三角形ABC所在平面外的一点P,作PO⊥平面α,垂足为O,连PA、PB、PC,对于A、B选项,若PA=PB=PC,连接OA,OB,OC,则OA=OB=OC,则O为三角形ABC的外心;又∠C=90°,则O为AB的中点.故A、B正确.
对于C选项,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则PA⊥平面PBC,从而PA⊥BC,
又PO⊥平面ABC,则PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,从而BC⊥AO,
同理AB⊥CO,AC⊥BO,故O为三角形的垂心,故C正确.对于D选项,由,,,知四面体对棱相等,故如图,要求四面体外接球的表面积,即求以该四面体的棱作为面对角线的长方体的外接球的表面积,设长方体的棱长为,则,所以长方体的体对角线为,故,∴四面体外接球的表面积为,故D错.故选:D.【点睛】本题主要考查空间的线面位置关系--垂直,以及外接球表面积的求法,解题时要结合平面几何的基础学问,同时考查逻辑推理实力,是一道中档题.9.D【解析】如图,设正方形边长为a,作AO⊥BD,则AM=又AD=a,DM=,∴AD2=DM2+AM2,∴∠AMD=90°.选D.10.D【解析】分析:利用空间中线线、线面、面面间的位置关系进行推断.详解:对于A项,MN与AB异面,故A项错;对于B项,可证BC⊥平面VAC,故BC⊥MN,所以所成的角为90°,因此B项错;对于C项,OC与AC不垂直,所以OC不行能垂直平面VAC,故C项错;对于D项,由于BC⊥AC,VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA⊥BC,因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC,BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,故D项正确.点睛:本题考查命题的真假推断,解题时要仔细审题,留意空间思维实力的合理运用.11.ABCD【解析】【分析】依据线线、线面、面面关系的判定定理及性质定理推断可得;【详解】解:由直线、和平面,得:在中,若,,则与相交、平行或异面,故错误;在中,若,,则或,故错误;在中,若,,则与平行或异面,故错误;在中,直线平行于平面内的多数条直线,则或,故错误.故选:.【点睛】本题考查命题真假的推断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问,考查运算求解实力,属于中档题.12.AD【解析】【分析】对每个图形进行分析,依据面面平行的性质定理对A推断.由线面平行判定定理对D推断,由线面相交的定义对B,C推断.【详解】(下面说明只写主要条件,其他略)A如图连接,可得,从而得平面,平面,于是有平面平面,∴平面,B.如图连接交于点,连接,易知在底面正方形中不是中点(事实上是四等分点中靠近的一个),而是中点,因此与不平行,在平面内,与必相交,此交点也是直线与平面的公共点,直线与平面相交而不平行,C.如图,连接,正方体中有,因此在平面内,直线与平面相交而不平行,D.如图,连接,可得,,即,直线与平面平行,故选:AD【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理,驾驭证明线面平行的方法是解题基础.13.AD【解析】【分析】依据棱台的性质,补全为四棱锥,依据题中所给的性质,进行推断.【详解】解:由棱台性质,画出切割前的四棱锥,由于,,可知△与相像比为;则,,则,则,该四棱台的高为,对;因为,则与夹角为,不垂直,错;该四棱台的表面积为,错;由于上下底面都是正方形,则外接球的球心在上,在平面上中,由于,,则,即点到点与点的距离相等,则,该四棱台外接球的表面积为,对,故选:AD.【点睛】本题考查立体几何中垂直,表面积,外接球的问题,属于难题.14.8【解析】【分析】由斜二测画法还原得到原图形为平行四边形,其中,求得各边长后即可得到原图形的周长.【详解】由斜二测画法还原可得正方形的原图形为下图中的其中,原图形周长为:故答案为【点睛】本题考查斜二测画法的基本原则,属于基础题.15.【解析】【分析】依据题意,得出三棱锥全部棱长都为,求出三棱锥的底面积和高,再利用棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】解:已知正方体的棱长为2,则三棱锥全部棱长都为,则的面积为:,的外接圆半径为:,三棱锥的高为:,则三棱锥的体积是:.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥的体积,涉及正方体的性质和三棱锥的性质,考查计算实力.16.【解析】【分析】首先找到三棱锥的外接球的球心,再依据勾股定理计算外接球的半径,以及外接球的表面积.【详解】设是外接圆的圆心,平面,平面,,点是线段的中点,过点作的垂线,交于点,即四边形是矩形,连结,此时点到的距离相等,即点为三棱锥的外接球的球心,中依据余弦定理可知,即,依据正弦定理可知,即,且,则,即三棱锥的外接球的半径为,所以外接球的表面积.故答案为:【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积,中点考查空间想象实力,计算实力,属于中档题型,本题的关键是确定外接球的球心.17.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)证出,,然后利用线面垂直的判定定理即可证出.(Ⅱ)设点到平面的距离为,利用等体法,由三棱锥的体积公式即可求解.【详解】(Ⅰ)∵折叠前,是斜边上的高,∴是的中点,∴,又因为折叠后是的中点,∴,折叠后,∴,,∴平面;(Ⅱ)设点到平面的距离为,由题意得,∵,∴,∴.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离、三棱锥的体积公式,考查了逻辑推理实力,属于基础题.18.(1)详见解析;(2).【解析】
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