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14.1几何证明选讲解答题1.如图,在△ABC中,AB=AC=3,过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC的延长线于点D,求AP·AD的值.解析:∵∠APC+∠ABC=180°,∠ACD+∠ACB=180°,又AB=AC=3,∴∠ABC=∠ACB,∴∠APC=∠ACD.又∠CAP=∠DAC,∴△APC∽△ACD.∴eq\f(AP,AC)=eq\f(AC,AD),AP·AD=AC2=9.2.自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小.证明因为MA为圆O的切线,所以MA2=MB·MC.又M为PA的中点,所以MP2=MB·MC.因为∠BMP=∠PMC,所△BMP∽△PMC.于是∠MPB=∠MCP.在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°,得∠MPB=20°.3.如图,⊙O的两条弦AC,BD互相垂直,OE⊥AB,垂足为点E,求证:OE=eq\f(1,2)CD.证明作直径AF,连接BF,CF,则∠ABF=∠ACF=90°.又OE⊥AB,O为AF的中点,则OE=eq\f(1,2)BF.因为AC⊥BD,所以∠DBC+∠ACB=90°.又因为AF为直径,所以∠BAF+∠BFA=90°.因为∠AFB=∠ACB,所以∠DBC=∠BAF,即有CD=BF.从而得OE=eq\f(1,2)CD.4.如图,已知P是⊙O外一点,PD为⊙O的切线,D为切点,割线PEF经过圆心O,若PF=12,PD=4eq\r(3),求∠EFD的度数.解析:由切割线定理得PD2=PE·PF⇒PE=eq\f(PD2,PF)=eq\f(16×3,12)=4⇒EF=8,OD=4.∵OD⊥PD,OD=eq\f(1,2)PO,∴∠P=30°.∵∠POD=60°,∠EFD=30°.5.如图,过圆O外一点M作圆的切线,切点为A,过点A作AP⊥OM于点P.(1)求证:OM·OP=OA2;(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直直线ON,且交圆O于点B,过点B的切线交直线ON于点K,求证:∠OKM=90°.证明(1)因为MA是圆O的切线,所以OA⊥AM.又AP⊥OM,在Rt△OAM中,由射影定理,得OA2=OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线,BN⊥OK,同(1),有OB2=ON·OK.又OB=OA,所以OP·OM=ON·OK,即eq\f(ON,OP)=eq\f(OM,OK),又∠NOP=∠MOK,所以△ONP∽△OMK,故∠OKM=∠OPN=90°.6.如图,AB为圆O的切线,A为切点,过线段AB上一点C作圆O的割线CED(点E在点C、D之间),若∠ABE=∠BDE,求证:C为线段AB的中点.证明在△BCE和△DCB中,因为∠BCE=∠DCB,∠CBE=∠CDB,所以△BCE∽△DCB.所以eq\f(BC,DC)=eq\f(EC,BC),即BC2=EC·DC.因为直线AB、直线CED分别为⊙O的切线和割线,所以由切割线定理可知,CA2=CE·CD.所以BC2=CA2.所以BC=CA,即C为线段AB的中点.7.如图,已知圆上的弧Aeq\x\to(C)=Beq\x\to(D),过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.证明(1)因为Aeq\x\to(C)=Beq\x\to(D),所以∠BCD=∠ABC.又因为EC与圆切于点C,故∠ACE=∠ABC,所以∠ACE=∠BCD.(2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,所以△BDC∽△ECB,故eq\f(BC,BE)=eq\f(CD,BC),即BC2=BE·CD.8.过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS,切点分别为T、S,过点A作圆O的割线APN,证明:eq\f(AT2,AN2)=eq\f(PT·PS,NT·NS).证明AT是圆O的切线,∠ATP=∠ANT,又∠TAP=∠NAT,所以△ATP∽△ANT.所以eq\f(AT,AN)=eq\f(PT,TN).同理eq\f(AS,AN)=eq\f
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