解析几何教案

矢量与坐标教学目的：1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。教学时数：18学时§1.1~§1.3矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习.§1.4矢量的线性关系与矢量的分解教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,线性无关的概念以及相关的重要定理.前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出1线性组合定义1.4.1由矢量与数所组成的矢量称为矢量的线性组合.注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,也称为的线性组合.2线性关系(1)线性相关和无关性：(定义1.4.2)对于个矢量,如果存在不全为零的个数,使得：(1.4.1)那么个矢量叫做线性相关。推论:一个矢量线性相关的充要条件为线性无关,当且仅当：时例：判断下列向量组是相关还是无关？(2)一些基本性质:定理1.4.1在时,矢量线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.证明：定理1.4.2推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关.定理1.4.3矢量线性相关,线性无关，则可写成的线性组合。即，且系数由唯一确定。3线性组合及关系的几何意义：定理1.4.4矢量与矢量共线的充要条件和线性相关。推论：如果矢量,那么可写成的线性组合,即(1.4-2)并且系数被唯一确定定理1.4.5证明：若与共面若由定理1.4.4以及定理1.4.2结论显然。若不平行如图。反过来若与线性相关推论：如果矢量不共线,那么矢量与共面的充要条件是可分解成的线性组合,即(1.4-3)并且系数被唯一确定这里称为共面(平面)矢量的基底.定理1.4.6推论：如果矢量不共面,那么空间任意矢量可由线性表示或可分解成的线性组合,即(1.4-3)并且系数被唯一确定这里称为空间矢量的基底.总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理例题见书上课堂练习：P247，8，9作业:P24,10题1.5标架与坐标教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算.引言前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量,那么空间中任何矢量可由线性表示,即（1）并且这里的是唯一的一组有序实数.我们把的集合称为仿射标架,记作,称为向量在该标架下的坐标。标架分为右手系和左手系标架.如果i，j=1…3称为直角标架，常用表示空间右手直角坐标系.例：点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点，设关于0点的对称点为关于面的对称点为关于轴的对称点为1矢量的基本坐标运算(1)矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。.特别称为点的径矢，则(2)，则(3)设，则例：用坐标方法证明：四面体对边中点连线交于一点且互相平分2共线和共面向量的坐标性质(1)共线当分母为0时，约定分子也为0推论：三个点A（），B（）和C（）共线的充要条件是(2)三个非零矢量和共面的充要条件是证明：复习：平面向量共线四维向量共空间是否可以类似讨论？事实上称为三向量张成的有向体积推论：四个点共面的充要条件是或(1.5-7’)3定比分点对于有向线段，如果点满足，则称点为的分点（定比分点）定理1.5.6设有向线段的始点，终点为则分成定比的分点的坐标是(1.5-8)推论：设，那么线段的中点坐标是(1.5-9)总结：本节重点掌握用坐标进行矢量的运算，三矢量共面，两矢量共线的条件，有向线段的分点的坐标公式，应注意点和矢量坐标的区别和联系。课堂练习：P33，4，10题作业：P34，7(2),8(2)题例题见书上1.6矢量在轴上的射影教学要求：了解射影的定义，掌握射影的公式。1基本概念①点在有向直线上的射影定义：设有空间中的一点和轴，过作垂直轴的平面交与点，则称为在轴上的射影。②矢量在有向直线上的射影矢量及射影：设两点在轴上的射影分别为，则矢量称为在上的射影矢量，记为射影矢量l。规定方向为正向，称线段的有向长度为在上的射影，记为射影l。或，显然上述射影满足：为方向的单位矢量③矢量在矢量上的射影：设是向量方向的单位矢量，向量，称为在上的射影记为2两向量的角规定两矢量夹角在到之间，即，若同向，反向，则，在平面上，还可以定义方向角下面给出射影公式。定理1.6.1矢量在轴上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：射影lcos,=.(1.6-2)注：定理1.6.2和1.6.3表明矢量的射影满足加法和数乘两种运算。总结：本节内容相对简单，重点掌握矢量在轴上的射影的计算公式。作业：P38，1题1.7两矢量的数性积教学要求：掌握两矢量数性积的定义，两矢量垂直的充要条件，数性积的运算律，利用矢量的坐标（分量）表示数性积，两点距离公式，方向余弦，两矢量的夹角余弦。0引言前面我们已学过矢量的加法和数乘运算，这两种运算的结果仍然是矢量，这一节我们将进行两矢量的一种乘积运算，这种运算的结果是一个数，一个非常典型的例子是物理学上一个外力，经过一定的位移所作的功1定义：两个矢量和的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量和的数性积（也称内积），记或，即或注：数性积是一个数，零矢量与任何矢量的数性积为0。由上一节射影公式，=射影a=射影b若，则，射影e若，则，记作，为的数量平方。下面给出定理1.7.1两矢量与互相垂直的充要条件是该定理有许多应用，值得重视。定理1.7.2矢量的数性积满足下面的运算规律交换律关于数因子的结合律分配律推论：我们在这里指出，矢量的数性积运算可以像数的乘法那样进行。现在给出数性积的坐标表示。定理1.7.3设那么(1.7-6)推论：设，那么下面给出几个重要的公式两点距离公式定理1.7.4设，那么(1.7-8)定理1.7.5空间两点间的距离是(1.7-9)矢量的方向余弦：矢量与坐标轴所成的角叫方向角，而方向角的余弦叫矢量的方向余弦，我们有定理1.7.6非零矢量的方向余弦是α=β=(1.7-10)γ=且2α+2β+2γ=1(1.7-11)这里α,β,γ分别为矢量a与x轴，y轴，z轴的交角，即矢量的三个方向角。特别地，a0={α,β,γ}(1.7-12)两矢量的交角定理1.7.7设空间中两个非零矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}，那么它们夹角的余弦是(1.7-13)推论：矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}相垂直的充要条件是(1.7-14)平面的两矢量有类似的结论。总结：这一节重点掌握数性积的定义，利用分量表示数性积及其应用。作业：P48，5题例题见书上。1.8两矢量的矢性积教学要求：掌握矢性积的定义，几何意义，运算律，坐标表示。引言前面已学过数性积，它表示一个数，这一节我们将引入两矢量的饿乘积运算的另一种形式，它的结果是一个新的矢量。首先看一下它的定义：定义1.8.1两矢量a与b的矢性积（也称外积）是一个矢量，记做，它的模是,(1.8-1)它的方向与a,b都垂直，且按a,b,的顺序构成右手标架{O;a,b,}由平行四边形面积公式，我们有定理1.8.1两不共线矢量a与b的矢性积的模等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积。这个定理刻画了矢性积的饿几何意义。定理1.8.2两矢量共线的充要条件是=0该定理的应用也相当广泛，需重视。定理1.8.3矢性积是反交换的，即=-()(1.8-2)定理1.8.4矢性积满足关于数因子的结合律，即(1.8-3)推论设为任意实数，那么(1.8-4)定理1.8.5矢性积满足分配律，即(1.8-5)推论(1.8-6)值得注意的是，矢性积在运算过程中，如果顺序发生改变，一定要变号下面用分量来表示矢性积定理1.8.6如果，那么(1.8-7)或(1.8-8)总结：本节重点掌握矢性积的定义，几何意义和分量表示形式。作业：P54，5题例题见书上。1.9三矢量的混合积教学要求：掌握混合积的定义，几何含义，三矢量共面的充要条件，分量表示。引言我们在前面两节学习的是两个矢量的乘积运算，但三个矢量的乘积运算还未涉及，总的来说有下面几种情况，矢量a,b作数性积再与c作积，即(ab)c，此时结论为与c共线的矢量，没必要讨论，另外一种是，矢量a,b作矢量积再与c作数性积，即，此时为一个数，还有一种是，a,b作矢性积再与c作矢性积，即，我们在这一节只讨论第二种情况，首先给出定义1.9.1给定空间的三个矢量,如果先做前两个矢量a与b的矢性积，再做所得矢量与第三个矢量c的数性积，最后所得的这个数叫三矢量的混合积，记做，或(a,b,c)，或(abc)定理1.9.1三个不共面矢量的混合积的绝对值等于以为棱的平面六面体的体积V，并且当构成右手系时混合积是正数；当构成左手系时，混合积是负数，也就是有(abc)=εV(1.9-1)当a,b,c是右手系时ε=1，反之ε=-1定理1.9.2三矢量共面的充要条件是(a,b,c)=0定理1.9.3轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变符号，即(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)(1.9-2)推论(1.9-3)下面用分量表示矢性积定理1.9.4如果，则(1.9-4)三矢量共面的充要条件是总结：本节重点掌握混合积的定义，几何意义，三矢量共面的充要条件，混合积的特点，分量表示。作业：P60，5题例题参见书上。轨迹与方程教学目的：1、理解曲面与空间曲线方程的意义；2、掌握求轨迹方程（矢量式与坐标式参数方程及普通方程）的方法；3、会判断已知方程所表示的轨迹名称。教学重点：曲面和空间曲线的方程求法。教学难点：判断已知的参数方程或普通方程所表示的图形。教学时数：6学时2.1平面曲线的方程这一节的内容不在课堂上讲，由学生在课后自学，因为后面要讲的空间曲线的方程包含了这一节内容。2.2曲面的方程教学要求：掌握曲面方程的定义，求曲面方程的方法，曲面参数方程的定义、形式。引言曲面方程的意义与平面曲线一样，即点所满足的式子，曲面方程通常由下列形式来表示：F(x,y,z)=0或z=f(x,y)求曲面方程的方法通常是：利用轨迹的性质，列出曲面上的点所满足的条件建立等式，再把坐标代入化简即可得曲面方程，举例如书上曲面的矢量式参数方程为其中为参数，为空间矢量的基底。曲面的坐标式参数方程为这里同上。总结：这一节重点掌握曲面方程的形式，参数方程的形式。作业：P88，5题例题见书上2.3母线平行于坐标轴的柱面方程这类方程比较特殊，分别有下面三种形式F(x,y)=0,母线平行于z轴F(x,z)=0,母线平行于y轴F(y,z)=0,母线平行于x轴例如：,圆柱面（轴为z轴）2.4空间曲线的方程教学要求：掌握空间曲线方程的定义，了解它的求法，掌握曲线射影柱面的求法。引言空间曲线方程的意义与曲面一样，我们把空间曲线看作是两个曲面的交线，于是方程为(2.4-1)具体举例见书上。对于空间曲线L(2.4-1)的射影柱面，就是以L为准线，作母线分别平行于三坐标的柱面，在代数上就是在方程(2.4-1)中分别消去三个坐标x,y,z，就可得L对于yoz面，xoz面，xoy面三坐标面的射影柱面例子见书上作业：P97，3题，8题平面与空间直线教学目的：1、深刻理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程；反过来任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面。直线可以看成两个平面的交线，它可以用两个相交平面的方程构成的方程组来表示；2、掌握平面与空间直线的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；3、能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。教学重点：平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置。教学难点：平面与空间直线各种形式方程的互化。教学时数：10学时3.1平面的方程教学要求：掌握平面方程的几种形式，包括参数方程，点位式方程，截距式方程，法式方程以及一般方程，平面的一般方程的法式化。引言我们知道，平面可以由一个点和不共线的两方向矢量决定，于是可得如下的矢量式参数方程。其中为参数，为两不共线矢量，为定值(3.1-1)变形又可得坐标式参数方程(3.1-2)消参可得点位式方程(3.1-4)或，共面三矢量的条件(3.1-3)平面也可由三点决定，于是有下面的三点式方程(3.1-5)(3.1-6)(3.1-7)(3.8-8)(3.8-)特别地，我们还有截距式方程(3.1-9)平面的一般方程是下面的三元一次方程(3.1-10)其中，A,B,C不全为0对于一些特殊情形，必须非常熟悉。对于平面，还可由一点和垂直于已知非0矢量的矢量决定,平面的方程为下面的点法式方程(3.1-11)即(3.1-12)如果取单位法矢量，则(3.1-13)即(3.1-14)这里的表示原点到平面的距离对于平面的一般方程(3.1-10)，用可以法式化，符号的造取须使具体的一些例子参见书上。总结：本节重点掌握平面的几个方程形式和法式化。作业：P109，5，6，7题3.2平面与点的相关位置3.3两平面的相关位置教学要求：掌握离差的定义，点与平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。引言点与平面只有两种位置关系，点在平面上即点满足平面方程，由前一节可得，于是我们只考虑点在平面外的情形，离差的定义为=射影n(3.2-1)以及(3.2-2,3)点与平面间的距离为(3.2-4)两平面的关系有相交，平行，重合，具体的条件决定于下述方程组的解的情况。平面(1)与(2)相交的充要条件是(3.3-1)平行的充要条件是(3.3-2)重合的充要条件是(3.3-3)两平面夹角的余弦(3.3-5)由此可得，两平面垂直的充要条件是(3.3-6)总结：这两节重点掌握点到平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。作业：P113，10题，P115，6题3.4空间直线的方程教学要求：掌握直线的几种方程形式，包括参数方程，标准方程，两点式方程，一般方程，射影方程。引言我们知道，直线可以由一个点和一个方向矢量决定，于是得到直线的参数方程。(3.4-1)或(3.4-2)再消去参数，即得直线的标准方程(3.4-3)直线的两点式方程为(3.4-6)如果取，则参数的绝对值是上两点与间的距离用表示方向数直线的一般方程是下面的三元一次方程组