第二章 数列教学课件

第二章数列

-数列的概念及简单表示

1、数列的概念：

数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的。⑵同一个数在数列中可以重复出现.

数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

2、数列的一般形式：6,外,%,…,％，…，或简记为｛%｝，其中%是数列的第n项。

3、数列的分类：有穷数列：项数有限的数列.

无穷数列：项数无限的数列.

4、数列与函数的关系：

数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）为定义域的函数%=/（〃），当自

变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

5、数列的单调性；

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.

常数列：各项相等的数列.

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

6、数列的表示方法：

（1）表格法：,或简记为｛。“｝,其中a“是数列的第n项。

（2）图像法：函数图象的画法画数列的图形.

具体方法是：以项数〃为横坐标，相应的项即为纵坐标，即以（冬％）为坐标在平面直角坐标系

中做出点。因为横坐标为正整数，所以这些点都在丁轴的右侧，所得的数列的图形是一群孤立的

点，而点的个数取决于数列的项数.

（3）解析法：

①数列的通项公式：表示数列｛a,,｝的第"项与序号〃之间的关系的公式.

如：项1_L1

2345

11111

序号12345

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：4=L来表示。

n

②数列的递推公式：表示任一项与它的前一项a.」（或前几项）间的关系的公式.

如：下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89

递推公式为:=3,a2=5,an=an_x+«„_2(3<n<8)

数列的概念及表示练习题

1、下列说法中，正确的是（)

A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

B.数列1,0,-1,一2与数列—2,-1,0,1是相同的数列

〃+1的第项为+工

C.数列41

nk

D.数列0,2,4,6,8,…可记为｛2｝

2、己知数歹,那么（)

A.0是数列中的一项B.21是数列中的一项

C.702是数列中的一项D.以上答案都不对

3、数列11,13,15,…，2〃+1的项数是(）

A.nB.n—3C.〃一4D.n—5

n

4、右4=-则与的大小关系是（)

川十2

不能确定

A-a„>an+iB・an<an+iC-D.

。,用=」G一对所有的正整数〃都成立，且为=1,，则为

5、在数列｛4｝中,)

n+l2+a“72

A.0B.1C.-1D.2

6、一个数列｛。”｝,其中q=3,4=6,4+2=那么这个数列的第5项是（）

A.6B.-3C.-12D.-6

7、

上述关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）

n(n-l)

A.a=n2-n+1B・

tl2

〃(及+1)〃("+2)

C.aD.a

n2n2

8、下面对数列的理解有四种:

①数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数是无限的;

③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的.

其中说法正确的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①③D.①②③④

9、数列｛q｝中，4=〃2-7〃+6,那么150是其第项.

10、已知q=1,an=1+—!—则％=.

Un-\

（、!（〃为正奇数）

11、已知数列｛4｝的通项公式为=（〃'）,它的前8项依次为_________

为正偶数）

12、根据下面数列的前儿项的值，写出数列的一个通项公式:

246810

(1)3,5,7,9,11,⑵针石‘或后

⑶0,1,0,1,0,1,(4)2,-6,12,-20,30,-42,

2n1+(-1)"

解：(1)%=2n+l；(2)an=----------------；(3)an-

"(2〃一1)(2〃+1)2

(4)将数列变形为1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,

1.a„=(-l)rt+1n(n+l)

13、数列｛〃“｝中，已知=（一1）"〃+。（（2为常数），且4+4=3。2，求4oo.

14、已知数列｛4｝的通项公式g=5+3〃，求：⑴%等于多少；（2）81是否为数列｛%｝中的项，若是，是

第几项；若不是，说明理由.

-等差数列的定义与性质

1>定义：an+i-an-d（d为常数），a“=q+（〃-l）d

等差中项：x,A,y成等差数列02A=x+y

一（a,+a,,｝nn（n-\\

前〃项和：S“=L一'^-=na.+-^——

n212

2、等差数列的证明与判断：

证明方法：①递推关系（定义）：«„+,-an=d”为常数，〃eN.）

②等差中项法：2a”=an_x+an+i（〃>i）

判断方法：③通项公式=%+（“一Dd=+q（其中p,q为常数）

c〃（区+[“）n（n-V）2

④前n项和S“=-=an+--—d为常数）

1—x=An+Bn（A,B

3、性质：｛4｝是等差数列

（1）任两项关系：«,；=am+（n-ni）d（其中机。鹿）

（2）单调性：d>0,数列｛a"是递增数列；（1<0,数列忸11｝是递减数列；

d=0,数列｛a#是常数列。

（3）最值：｛可｝为等差数列=S,,=a〃2+0〃（。，人为常数，是关于〃的常数项为0的二次函数）。

S,,的最值可求二次函数S“=a〃2+b〃的最值或者求出｛4｝中的正、负分界项。

即：当q>0,d<0,解不等式组1〃可得S〃达到最大值时的〃值。

13。

an<0

当4<0,d>0,由"可得"达到最小值时的〃值。

（4）若机+”=p+乡=2左，则am+an=ap+aq=2ak

冈数列｛%,1｝,｛。2"｝，｛。2”+1｝仍为等差数列，“S2n-S„,S3n-S2l,……仍为等差数列，公差为〃2]；

（6）若三个成等差数列，可设为a—d,a,a+d.

(7)若可,a是等差数列，且前〃项和分别为S,,T„,则胃=20

(8)数列奇数项与偶数项的关系：

①项数为偶数2〃的等差数列｛%｝有S偶一5奇=,上=&.

'S偶«,|+|

s2n=n[a｛+a2n)=n(a2+a2n_1)=■■■=n(an+a“+iXa”a“+i为中间两项)。

②项数为奇数2/一1的等差数列｛4｝有S2“T=(2〃-1)凡3“为中间项)。

等差数列练习题

一、选择题

1、在等差数列40,37,34,…中，第一个负数项是()

A第13项B第14项C第15项D第16项

2、一个凸五边形的内角的度数成等差数列，且最小角是46°,则最大角是()

A108°B139°C144°D170°

3、给出下列等式：(l)an+,-an=p(p为常数,nwN*)；(2)2a„+1=an+an+2(neN*)；

(3)%=如+仇&,6为常数,〃eN*),则无穷数列｛”“｝为等差数列的充要条件是()

A(1)B(1)(3)C(1)(2)D(1)(2)(3)

4、等差数列｛4｝的首项为70,公差为一9,则这个数列中绝对值最小的一项是()

A%Ba9Cal0D

5、一个等差数列的第5项%=10,且0+42+%=3,则有()

A<2(=-2,d=3B=2,d=—3C=-3,d=2Da]=3,d=—2

6、等差数列｛4｝的前n项和为S〃，且S3=6,q=4,则公差d等于()

5

A.1B-C.-2D3

3

7、在等差数列｛风｝中，若4+4+%+4+%=450,则生+/的值等于()

A.45B.75C.180D.300

8、已知为等差数列，4+%+%=105,4+/+4=99,贝/20等于()

A.-1B.1C.3D.7

9、在等差数列｛4｝中，已知4+%=12,那么它的前8项和§8=()

A12B24C36D48

10、已知｛〃“｝是等差数列，4+%=4,%+4=28,则该数列前10项和品）等于（)

A.64B.100C.110D.120

H1

11、记等差数列｛。〃｝的前〃项和为S“，右6=5,54=20,则臬=<)

A.16B.24C.36D.48

12、设等差数列｛。〃｝的前〃项和为,若§3=9,56=36,则a7+6+%=()

A.63B.45C.36D.27

13、在项数为2n+l的等差数列中，所有奇数项和是165,所有偶数项和是150,则n=()

A9B10C11D12

14、等整数列｛。〃｝前加项和为3,前2m项和为10,则它的前3根项和为（）

A.13B.17C.21D.26

二、填空题

I.在等差数列中已知ai=12,a6=27,贝ijd=

2.（。+刀2与他一与2的等差中项是-

3.已知数列｛。“｝为等差数列，且牝=4，«14—36.则。20=-

4.在等差数列｛%｝中，若小+。4+%0+=201。，则为+%+®=-

5.在等差数列｛%｝中，若$3=0,$6=-18,贝|J$9=.

6.若m—1,m,m2+1成等差数列，则m=.

7.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若，2=21,则4+4+4+。”=.

8,设等差数列｛4｝的前"项和为S,,,若%=5%则“■=

三、解答题

1、在等差数列｛。“｝中：⑴已知4=a,%。=120,求Si2o；⑵已知4=12,S”=187,求a”.

2、在等差数列｛%｝中，出=一15,公差d=3,求数列｛4｝的前〃项和S,,的最小值。

3、一等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式。

4、己知｛%｝为等差数列，4=2,4=3,若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个

新的等差数列，求：

(1)原数列的第12项是新数列的第几项？

(2)新数列的第29项是原数列的第几项？

5、己知一个共有〃项的等差数列前4项和为26,末4项和为110,且所有项之和为187,求〃的值.

6、一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公差

7、一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求它的前110项和。

8、两个等差数列，它们的前〃项和之比为止口，求这两个数列的第九项的比。

2n-\

9、已知等差数列｛%｝中，=-16,仪4+。6=°，求｛*｝前n项和

2

10、在数列｛许｝中，an=n+kn,对于任意的正整数〃，都有。，用＞明恒成立，求实数％的取值范围.

三等比数列的定义与性质

1、定义：^-=q（4为常数，4中0）,an=atq"~'

/

等比中项：x、G、y成等比数列nG?=孙，或G=±而

叫（g=l）

前n项和：S-<（1-q"）

-4——^（#i）

i-q

2、等比数列的证明：①递推关系（定义）：all+i/an=q（q为常数,〃GN*）

2

②等比中项法：an=?_]凡+]（〃>1,。,尸0）

注：（1）等比数列中a“70,g#0,且相间项符号相同；

（2）既是等差数列又是等比数列的数列一定是非零常数列；前n项和S“=〃4。

3、性质：｛q｝是等比数列

nm

（1）任两项关系：an=am•q~（其中加。〃）

2

（2）若机+〃=〃+乡=24,则=ap.ciq=ak

（3）Sn,S2„-Sn,Sin-S2„……仍为等比数列，公比为

等比数列测试题

一、选择题：

1、ac=b”是a、/?、c,成等比数列的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

917

2、在等比数列中，4=二,%=上应=—,则项数n为（）

1833

A、3B、4C、5D、6

3、己知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么一13,是此数列的第（）项

2

A、2B、4C、6D、8

4、在等比数歹|J｛4｝中，4]=1,。[0=3，则4a5。6%。8。9=（）

A、81B、27^27C、V3D、243

5、在公比为整数的等比数列｛2｝中，如果囚+4=18.+%=12,那么该数列的前8项之和为（)

A、513B>512C>510D、---

8

6、已知等差数列｛斯｝的公差为2,若0,〃3,成等比数列，则。2等于（）

AN—4-6C、-8D^—10

7、设4,出，生，％成等比数列，其公比为2,则2%-+%一的值为（）

2%+。4

111

A、一B、一C、一D、1

428

8、等比数列｛。〃｝中，3+。3=6,。2。3=8,则9=（）

A^2B、一C、2或一D^一2或---

222

9、在等比数列｛«?｝中，§4=1,§8=3,则。17+。18+〃19+。20的值是（）

A、14B、16C、18D、20

10>等比数列｛《7｝的各项均为正数，且。5。6+。4。7=18,则log3。］+log3〃2+.・・+10g3〃10=（）

A、12B、10C、1+log35D>2+log35

二、填空题：

11、在等比数列｛%｝中，若%,%o是方程3，—2x—6=0的两根，则4•%=。

12、已知在等比数列｛/｝中，各项均为正数，且4=1,/+%+。3=7,则数列｛%｝的通项公式是

an=-----------。

13、在正项等比数列｛%｝中，。回5+2。3。5+。3。7=25,则。3+。5=。

14、在等比数列｛。〃｝中，已知％+生+。3=1，。4+。5+。6=-2,则该数列的前15项的和

S15=0

三、解答题：

15、已知数列｛4｝为等比数列.

（1）若。5=4,%=6，求。［2；⑵若。4—4=24,。>+。3=6,=125,求〃。

16>在等比数列｛%｝的前n项和中，%最小，且为+%=66,〃2%一1=128，前n项和S〃=126,求n

和公比q。

17、等比数列｛凡｝的首项为q=2002,公比4=—；.

(1)设/(n)表示该数列的前“项的积，求/(〃)的表达式。

18、已知等比数列｛4｝中，。2=2,%=128.若勿=1。824,数列｛4｝前〃项的和为S..

(I)若S,=35,求〃的值；(II)求不等式S“<2〃的解集.

四求数列通项公式的常用方法

1、公式法(定义法)：根据等差数列、等比数列的定义求通项。

如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得q,d(或

q),从而直接写出通项公式。

例1、等差数列｛4｝是递减数列，且。2々3・4=48，a2+a3+a4=U,求数列的通项公式。

3+d)•&・(&+d)=48

解析：设等差数列的公差位d,由已知3，3'3,

3%=12

解得］，又｛七｝是递减数列，d=-2,4=8,

:.dn=8+(〃—1)(—2)=-2"+10,故选(D)。

2、累加法适用于：。〃+|=%+/(〃)

例1、若在数列｛。"｝中，q=3,。“+|=。“+〃，求通项明。

解析：由a“+I=an+n得all+1-an=n,所以

aa

n-„-\=n-\,an_x-an_2=n-2,…，a2-at=l,

将以上各式相加得：an—(i\=(«-1)+(/?-2)H---bl,又q=3

所以〃吐l)+3

2

例2、已知数列｛4｝满足41M=4+2x3"+24=3,求数列｛%｝的通项公式。

解：由。用=%+2x3"+1得一/=2x3"+1则

%=(<2„-an_x)+(%_]-a„_2)H--F(%-。2)+(4-4)+4

=(2x3"-1+l)+(2x3n-2+l)+---+(2x32+l)+(2x3'+1)+3

=2(3，1+3"-2+...+32+3i)+(〃-1)+3

=2型也)+(-1)+3

1-3

=3"-3+〃-1+3

=3"+〃一1

所以a”=3"+〃—1.

3、累乘法适用于：。”+|=/(")%

r\

例1、已知数列｛〃/满足卬=—，。〃+]=----4，求明。

3H+1

a»7

解：由条件知*L=，—，分别令〃=1,2,3,……代入上式得(”—1)个等式累乘之，即

a”«+1

a,a.aa123〃一1a1

4•...•—n—=—x—X—X....x----=>—n=—

qa2/afl_1234naxn

4、待定系数法：适用于。用=,4+75)

例1已知数列&｝中，G=1q=1,4=2a,1+1(〃>2),求数列｛%｝的通项公式。

解法一：an=2%+1(">2),

可设。〃+Z=2(a〃_]+k)。〃+女=2an_]+2k

・•.an=2。〃_1+左，则&=1/.。〃+1=+1)

又％=1即｛%+1｝是以%+1=2为首项，2为公比的等比数列

n

:.an+l=2,即4=2"-1

解法二：；a“=2az+1(〃N2),：.4“+]=2q,+1

两式相减得an+l-an=2&—a,-)(〃N2),故数列｛c.—%｝是首项为2,公比为2的等比数列,

再用累加法的...

例2、设数列｛。“｝：%=4,a“=3%_]+2〃-1,("22),求a“.

解：设a=a„+An+B,则%=2-A〃-8,将an,代入递推式，得

b„-An-B=3瓦_]一A(n-l)-fi]+2n-l=3〃-一(3A-2)n-(38-3A+1)

A=3A-2(A-\

n-

6=38-3A+1〔3=1

二取2=可+〃+1…(1)则a=3〃T，又4=6,故a=6x3"i=2x3"代入(1)

得a“=2x3”-n-\

5、构造法：

有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数

歹！I,从而利用这个数列求其通项公式。

例1、在数列｛。"｝中，,=1,w=2,an+2=-an+i+-an,求%。

211

解析：在4+2=§4川+§%两边减去%+i，得勺+2用=一§(4+1一凡)

/.｛an+]-an｝是以%—4=1为首项，以一;为公比的等比数列，

n

a„+l-a„=(-^)-',由累加法得

aaaa

n=(n~n-\)+—n-2)-----F(%一。］)+〃|

1-(_，严

=T产+(-\+..")+1+1=^^=/7尸］+1=汨7严

1H—

3

例2、已知数列｛见｝满足。.=一一,%=1,求数列｛4｝的通项公式。

氏+2

.1。+211.111

解:由己知Z得H:=-----=—I，・----------=一

4+i2。〃2cina“+i册2

_L1为等差数列，_L=i,公差为_L,.•.1-=1+(〃-1)」=，(〃+1),

anI42an22

2

・,册=—―

72+1

6、公式法：递推公式中既有S〃，又有％

分析：把已知关系通过4=｛1转化为数列｛4｝或S,,的递推关系，然后采用相应的方法求

£-5“_”22

解。

例1、已知数列伍,｝的各项均为正数，且前n项和S“满足S,,=工(%+1)(q+2),且％,%,%成等比

6

数列，求数列｛〃〃｝的通项公式。

解：..•对任意〃eV有S“=2(a“+l)(%+2)(1)

6

/.当n=1时，S]=q='(q+1)(q+2),解得a}=1或4=2

6

当n22时，S„_1=^(«n-1+l)(<z„-1+2)(2)

O

(1).(2)整理得：(%+〃,-)(q-3)=0

・・・｛6｝各项均为正数，，4—%=3

当q=1时，。〃=3〃—2,此时=a2ag成立

当4=2时，an-3n-\,此时〃：=a2a9不成立，故。1=2舍去

所以。〃=3〃-2

7、对无穷递推数列求差（商）法

11

例、数列｛风｝=2几+5,求a

1，/+铲++铲no

1c，U

解：〃=1时，—6^1=2x1+5,/.4=14①

111

.N2时,/+铲++2〃-1=2n-l+5②

14(n=l)

①一②得：-~_La-2,..a“=2"—.a〃=<

nn2"+,(n>2)

例2、已知数列｛。〃｝满足4=1,a=4+2%+3q-例之2),求a

n'nO

解：因为a“=q+2%+3%•1-----2)①

a

所以n+\=4+24+34+…+(〃-+nan②

用②式一①式得用一

则a,=(〃+1)%(〃22)。故-=〃+l(〃N2)

%

所以...--a-,=[n(n-l).......4x3]a,--a.,.③

a,i«„,2«22

由=4+2〃2+3/+・・•+(〃-22),取〃=2得%=4+2%,则％=4，又知q

则生=1，代入③得4=L345…n=G。

所以，｛4｝的通项公式为a“=5.

[练习]数列｛4,｝满足S,+S,T=g/H4=4,求

q

注意到%T=S“M-S”，代入得年=4又0=4,...｛SJ是等比数列，S“=4"

Sn.

〃》2时，an=Sn-S“_|=.......=3・4"一1

求数列通项公式练习题

1、在数列｛an｝中，a1=1,。〃+]+2n-1,求。几的表达式。

2、在数列｛〃〃｝中，a｝=1,(n+l)•an+i=n•an,求。〃的表达式。

2

3、已知数｛凡｝的递推公式为。用+4,且6=1求通项

4、已知数列｛4｝中％=1且可+1=—%—(〃eN)求数列的通项公式。

氏+1

5、已知数列｛凡｝的前n项和S“=(”+1)2，其中｛4｝是首项为1,公差为2的等差数列.

求数列｛%｝的通项公式.

6、若数列｛?｝满足%=2,〃〃向一(〃+1)q=2,求数列｛%｝的通项公式。

7、数列｛4｝的前八项和为S”，4=1,6用=2S“(〃eN*).求数列｛《,｝的通项％。

8、设数列｛4｝满足4+34+32%+・“+3”一%二§,〃eN*.求数列｛叫的通项公式。

9、已知数列｛a“｝的前n项和S.=3+2",求数列｛a,,｝的通项公式.

10、设数列｛小｝的前项的和S,=g（斯-1）（〃wN*）.

（1）求小；④；（H）求证数列｛m｝为等比数列.

11、已知数列｛aj满足a。？=2an+3・2\a,-2,求数列｛an｝的通项公式。

2

12、己知在正整数数列仅“｝中，前〃项和S“，满足：Sn=-（«„+2）,

8

（1）求证：｛〃〃｝是等差数列；

（2）若2=；%-30,求数列｛2｝的前〃项和的最小值.

五求数列前n项和的常用方法

1、公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比

数列的前〃项和的公式来求.

①等差数列求和公式：Sn==naA+〃（”Dd

22

叫（4=1）

②等比数列求和公式:

纥%什1)

常见的数列的前n项和：1+2+3+....+n=Z；(-+1),

1+3+5+....+（2n-l）=〃2

F+22+32+……+M=〃（〃+l）（2〃+D,『+23+33+……+/=^1112

62

例1求—F+22—32+42—5?+62-----992+1002.

解：原式=(22-12)+(42-32)+6—52)+…+(10()2-992)=3+7+11+…+199.

由等差数列求和公式，得原式=50*(3+199)=5050.

2

2、倒序相加法：

类似于等差数列的前〃项和的公式的推导方法。如果一个数列｛q｝,与首末两项等距的两项之和等于

首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的

方法称为倒序相加法.

例1设等差数列｛aj,公差为d,求证：｛aj的前n项和Sn=n(ai+an)/2

解：Sn—ai+82+33+...+an①

倒序得:Sn=an+an-i+an-2+.-.+ai②

①+②得：2Sn=(ai+an)+(a2+a»i)+(a3+an-2)+…+(an+ai)

又*/ai+an=a2+an.i=a3+an.2=...=an+ai

2Sn=n(a2+an)Sn=n(ai+an)/2

点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助ai+an=a2+a»i=a3+an-2，..=an+ai即与首末

项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

I22232102

例2求？，++…+：’的和.

12+10222+9232+82102+12

I22232102

解：设5=―-——+——+——+...+—-1—

12+10222+9232+82102+12

1029282I2

则S=-------1-------1-------1---1-------.

102+1222+9232+82102+12

两式相加，得25=1+升…++l.QS=.

小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.

3、分组求和法：

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数

列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例4.求数列2工,4工61-,…,2〃+」，…的前〃项和S”.

48162,,+,"

解：S“=（2+4+6+…+2〃）+（*+[+摄+…+击）=〃（〃+1）+；一击

例5.求和：S“=（2—3x5-，+（4—3x5」）+（6—3x5-3）+…+（2〃—3x5-'）

解:S„=（2-3x5-1）+（4-3x5-2）+（6-3x5-3）+-..+（2n-3x5-n）

=（2+4+6+…+2〃）-3（5-|+5-2+5-3+...+5-"）

/?（??+l）-3x

小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差(比)数列或常见的数列，使问题得到

顺利求解.

针对训练、求和：5„=(a-l)+(«2-2)+(«3-3)+---+(an-n)

4、裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵

消，于是前〃项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似〈二一

4%,

(其中｛q｝是各项不为零的等差数列，c为常数)的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需

要掌握一些常见的裂项方法：

(1)=-f---—\特别地当&=1时，.1,--1

〃(〃+左)k\nn+kJnyn+\)n〃+1

（2）/----j=——（）,特别地当k=1时/---7=—J〃+1—y/n

1

例3、数列｛q｝的通项公式为例求它的前〃项和

n+\n+1

小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项,

即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.

]]1]

针对训练、(1)求数列…的前〃项和S„

1+收/+36+2品++1

(2)求数列二一,1I1

…的前n项和S“.

1x32^43^5n(n+2)

5、错位相减法：

类似于等比数列的前"项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项

相乘得到，即数列是一个“差•比”数列，则采用错位相减法.

若a“=b“・c”,其中｛"｝是等差数列,｛%｝是公比为q等比数列,令

s“=4q+卜性…+力斥牛/

则qs*=3++…+%%+b„cn+1

两式相减并整理即得。

例2、已知a„=〃・2"T,求数列｛%｝的前〃项和例

解：S„=102°+2E21+...+(«-l)E2n-2+①

25„=+2必+...+(〃—1)『+〃攵"②

②一①得

5“=心"一1攵。一21-…2"T=心"-2"+1

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列｛%｝的公比分

②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.

针对训练、求和：S,=%+2%2+3。*+…+(Xw0,%w1)

数列求和练习题

1、等差数列｛q｝中，2=10且％,4,即1成等比数列，求数列｛%｝前20项的和52°.

2.数列｛%｝的通项是%=4〃-1,2=q+/+…求数列协,｝的的前〃项和。

n

3.已知数列伍“｝的前〃项和为S“=〃2-4〃+1,求|%|+|。21+1。31+…+1%0I的值。

4、求和：

(1)(47-1)+(«2-2)d---

,\11

(2)----1----h•••H-------------

1x33x5(2n-1)(2n+l)

(3)1+2x+3%2+…+nxn1(xw1)

5、数列｛4｝中，％=3"+2〃-1,则前n项和5,,为()

6、若｛4｝的通项为an=-j=■_=，贝ij前100项和S100=。

7、数列｛%｝中，4=(2〃—1)2〃，求它的前n项和

8>已知。W0,求S〃=a+3a~+5。？+7a4+•.•+(2〃—1)〃”.

9、求5抽21。+§抽22。+5皿23。+・・・+5》288。+$方289。的值。

10、在等差数列｛%｝中，4=1，前〃项和S“满足条件=邛3，〃=1，2,…，

(I)求数列｛q｝的通项公式；