习题教学功能之巩固基础知识和基本技能

［摘要］“双基”教学是中国数学教育的主要特征，落实“双基”是数学教学的重要目标。小学数学教学大致可以分为例题教学和习题教学。从教育学、心理学以及教育神经科学等理论来看，习题教学是有效落实“双基”的最佳途径。在小学数学教学中落实“双基”，具有熟练促进长时记忆、速度赢得效率、“熟能生巧”的学习精神等现实意义，能有效促进学生数学核心素养的发展。［关键词］小学数学；习题教学；基础知识；基本技能；双基；功能“中国数学教育有许多特色，但是以双基教学为主要特征。”［1］数学教学中的“双基”，是指数学中的基础知识和基本技能。一、数学“双基”与习题教学2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的课程总体目标第一条表述为：“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”[2]这里，对数学“双基”的表述是含糊的，但内容上是有所体现的，比如“重要数学知识”可理解为“数学基础知识”、“必要的应用技能”可理解为“数学基本技能”。2011年，《义务教育数学课程标准》修订稿颁布，课程总体目标第一条调整为：“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[3]2022年，《义务教育数学课程标准》再次修订颁布，课程总体目标第一条表述为：“获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[4]不难发现，2011年和2022年两次数学课程标准的修订，都明确了数学“双基”的提法。可见，在义务教育数学课程改革不断推进的浪潮中，数学“双基”的地位非但没有下降，反而逐渐清晰且稳固。这当然是不难理解的，因为“历史经验告诉我们，什么时候加强双基，教学质量就提高；什么时候削弱双基，教学质量就下降”[5]。确实，现实中不可能存在不谈质量的教学，质量是教学的生命。由此可见，“双基”在数学教学中的重要性。在小学数学例题教学中，引导学生经历数学知识的发生、发展过程，理解数学技能的原理和操作，这自然是落实数学“双基”不可或缺的环节，但数学“双基”的落实仅靠例题教学是远远不够的。数学“雙基”的真正有效落实，依靠的是习题教学。这也表达出一个观点，习题教学一个最基础、最被人认可的、无法替代的功能，便是可以巩固学生的数学基础知识和基本技能。例如，在教学“质数与合数”中，教师通过例题引导学生经历知识的探究过程，理解并总结出质数与合数这两个数学概念。那么，总结出数学概念是不是就意味着对“质数与合数”的教学已经完成了呢？当然不是。虽然数学教学重视理解，但并不是说仅凭例题教学的理解就够了。虽然数学教学反对死记硬背，但不是说数学就不用记和背，只是不用“死记”和“硬背”。因此，在总结出质数与合数的概念之后，还需要开展相关的跟进教学，帮助学生进一步理解和掌握新概念，这便是习题教学。常规的，也是较为有效的做法，在总结出质数与合数的概念之后，教师会安排类似下面这样一道习题的练习。判断下面各数：哪些是质数？哪些是合数？2，12，13，36，57，67，81，97，0。这样的习题看上去非常简单，但是千万不要小看这样的简单习题，因为学生对质数与合数概念的真正掌握——能否运用质数与合数的概念正确判断一个数是质数还是合数（注意：学习质数与合数的目的不是为了知道它们的概念，而是为了能根据概念判断出一个数是质数还是合数），就是在这样的习题教学中实现的。这是因为学生通过例题学习总结出质数与合数这两个概念时，他们对质数与合数的认知只是达到初步理解的层面，此时这两个概念尚未进入到学生大脑的长时记忆中。因此，如果在例题教学之后对质数与合数的教学就此停止的话，那么学生对这两个刚刚习得的数学概念将会很快出现一定程度的遗忘，这自然就难以真正掌握了。上述论断的理论依据是人类记忆遗忘曲线。德国心理学家艾宾浩斯研究发现：“记忆的保持和记忆内容搁置的时间存在一定的规律。详细说来就是，在学习材料达到第一次无误复现之后的最近几小时里，遗忘速度是最快的，随着时间的推移，遗忘的比例会越来越少。”[6]艾宾浩斯的这一发现，可用具体的量化数据来说明（见表1）。上表中的量化数据，艾宾浩斯是以无意义音节为记忆材料开展研究测试后得出的。之后，艾宾浩斯改变了记忆材料（有意义材料）进行研究测试，数据略有变化，但差别不大。艾宾浩斯的这个研究发现，后来被许多心理学、教育学等方面的教科书引用，称为“艾宾浩斯记忆保持曲线”或“艾宾浩斯遗忘曲线”（见图1）。艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们：遗忘在学习之后立即开始，且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度很快，以后逐渐缓慢，即呈现出先快后慢的趋势。比如，刚刚记忆完毕之后的20分钟，要遗忘约40%的量，而这20分钟的遗忘量，差不多是接下来一个月的遗忘量。现在回到“质数与合数”的教学，就不难相信学生对知识掌握仅靠例题是不可能实现的了。特别是，艾宾浩斯的研究测试是在“达到第一次无误复现”的背景下开始的。如上面所讲的“质数与合数”教学，指学生已经能够准确无误地复述质数与合数的概念。但是，上面所讲的例题教学尚处于刚刚总结出质数与合数概念的阶段，还未达到准确无误的复述层次。因此，可以想象完成例题教学后，不及时跟进习题教学，学生接下来的遗忘会更加严重。在这样的背景下，再来看上面“质数与合数”例题教学之后的那道习题，就更能发现它在此时对学生学习质数与合数所起到的重要作用。比如，学生要判断2是质数还是合数，就要经历以下的思考过程：第一步，回忆质数与合数的概念，知道判断一個数是质数还是合数要看这个数的因数个数；第二步，找出2的因数，发现2的因数只有1和它本身两个；第三步，根据“质数只有1和它本身两个因数”，判定2是质数。以上将判断2是质数的思考过程以“慢镜头”的方式分成了三步，能够清楚地看到这个过程实际上是借“判断”之名，巩固学生对质数与合数概念的理解和记忆。当学生将这道题中的9个数依次判断一遍，实际上就是对质数与合数的概念重复理解和记忆了9次。由此可见，教学上面这道简单习题的价值有两个：一是在重复中帮助学生巩固对质数与合数概念的理解与记忆，实现真正掌握；二是对一些数是质数还是合数进行重复判断，加深学生对某些数是质数还是合数的记忆，逐渐形成直觉。比如2，学生以后看到这个数时，就可以直接判断其是质数。以上习题教学及其价值，正如单墫教授所言：“数学书中有不少公式、法则、定义、定理，这些都不需要死记硬背，而是要通过解题逐步的理解、掌握。”[7]可见，习题教学中的解题常常只是一种手段，是“醉翁之意不在酒”，其真正的“意”是巩固知识、掌握技能（此中含有一定的解题技能）、拓展知识、发展思维等。所以，这样的习题看似简单，实则非常重要，是巩固学生数学基础知识和基本技能不可或缺的内容，其背后蕴含着重要的教与学的理论。当然，就“质数与合数”的教学而言，仅靠上面这样一道习题的教学就想让学生真正实现对质数与合数的掌握还是不行的，后续还需要有不同形式的习题跟进。这样的习题跟进不仅课堂上有，课外也要有，比如回家作业等。综上所述，落实数学“双基”是数学教学的根本任务，习题教学是完成这个任务的最佳路径。二、落实数学“双基”的现实意义在小学数学教学中落实“双基”，很重要的目标是使学生能正确、熟练地运用知识、技能解决问题，以及更好地开展后续学习。对落实数学“双基”中要达成“正确”这个目标，大家一致认可，没有异议。然而，对落实数学“双基”中要达成“熟练”这个目标，却存在着一定的争议。比如，曾经有人问我：“一年级小朋友对20以内的加减法口算有必要做到脱口而出的熟练程度吗？这样熟练的意义到底何在？”确实，随着课程改革的不断深入，特别是素质教育、核心素养这样更具时代意义和未来发展理念的教学目标越来越多地被认可之后，开始出现对“熟能生巧”这一古训不一样的看法，并有很多人提出了“熟能生笨”的说法。“熟”何以能生“笨”？对此，不少学者专家有自己的看法。比如，李士锜教授在《熟能生笨吗？》一文中对“熟能生笨”给出这样的解读：“‘熟能生笨中的‘熟主要是指‘常规的操作性练习，也可指‘大运动量解题训练，而‘笨则是指缺少创造性能力，也指缺乏理解力。”[8]仲海峰老师在《熟能生巧亦能生笨》一文中指出：“有些事情，做多了，掌握了做事的技巧，我们自然会得心应手地运用这样的技巧快速去做。于是，我们也懒得再去思考为什么要这么做。再后来，就渐渐淡忘了做事方法背后的道理。这样带来的问题就是：当我们遇到一点点变化、困难，就显得毫无办法，手足无措。”[9]这两位老师对“熟能生笨”中的“笨”的理解是不谋而合的，大致意思是大量训练使学生熟练之后，会形成一定的思维定式，进而导致不能灵活应对变化，缺乏一定的创造性。不可否认，熟练（特别是过于熟练）之后，对知识的运用确实在一定程度上存在着如上述这样的弊端。可“熟能生巧”中的“巧”也是值得商榷的，即熟练了并不一定能生“巧”。但是，总体来说，就小学数学教学而言，落实数学“双基”，使学生对数学知识和技能的运用达到熟练的程度，其利远远大于弊。（一）落实“双基”：熟练促进长时记忆研究证明，人有两种主要的记忆：一种是被称为短时记忆的暂时性记忆；一种是被称为长时记忆的永久性记忆。信息被人感知后，不可能一下子就成为长时记忆，而是要先经过短时记忆。短时记忆又可进一步分为瞬时记忆和工作记忆。相关研究指出，工作记忆有两个主要功能：其一，作为感觉登记和长时记忆之间的缓冲器；其二，作为信息进入长时记忆的加工器。“短时记忆中的信息经过复述后进入长时记忆。”[10]脑成像研究指出，在复述过程中，或者从根本上说，在长时记忆形成过程中额叶有很高的参与度（工作记忆就在额叶区）。研究还显示，“在较长的复述过程中，额叶的激活量决定了项目是被存储还是被遗忘。”[11]这也就是说，数学知识从学生的短时记忆进入长时记忆，必须经过重复（复述），且需要一定量、持续一段时间的重复，否则很容易从短时记忆中消失，即遗忘。例如，上述“质数与合数”例题教学之后的习题教学，便可理解为教师组织学生对知识的重复过程（见图2）。图2中，外部信息就是习题的要求，工作记忆就是学生的解题过程，也就是记忆重复的过程。经历这个记忆重复的过程，学生对质数与合数的概念就会熟练起来，由此有可能进入到长时记忆中。之所以此时说“有可能”，是因为仅靠一道习题的教学，其实很难让学生马上将质数与合数的概念变成长时记忆。因此，图2中从工作记忆到长时记忆的“存储”用虚线箭头表示，即并非一定。研究表明，处于工作记忆中的知识，可以保留几分钟、几小时不等，也有保留几天的可能性。这个结论，显然与艾宾浩斯遗忘曲线是一致的。在工作记忆和长时记忆之间还有一个名为“提取”的箭头，这是因为学生在工作记忆中进行质数与合数判断时，还需要从自己的长时记忆中提取一些相关知识来帮助判断，比如因数的知识等。如前文所述，在“质数与合数”的习题教学中，不可能仅仅开展一道习题的教学，后续还会安排一定量的习题。这样通过一次次的习题教学，使学生一次次重复记忆。行动中学生表现为对这一知识的运用在不断熟练，本质上是该知识进入了学生的长时记忆中。（二）落实“双基”：速度赢得效率前文已经提到，“双基”教学是中国数学教育的主要特征。张奠宙教授领衔的团队对“中国数学双基教学”展开深入研究，提出“中国数学双基教学”的理论特征，即记忆通向理解、速度赢得效率、严谨形成理性、重复依靠变式。其中，“速度赢得效率”理论认为“只有把基本的运算和基础的思考，化为‘直觉，能够不假思索地进行条件反射，才能赢得时间去做更高级的数学思维活动”[12]。由此可见，能熟练运用知识不仅体现在速度上，更是进行高阶学习的基础性保障。继续以上述“质数与合数”例题教学之后的那道习题为例。在这道习题中有一个数是57，那么，学生到底是怎样判断57是质数还是合数的呢？我们来分析一下：第一，判断一个数是质数还是合数，要看这个数的因数个数。因此，学生要会找57的因数，如此方能正确做出判断。第二，57除了1和本身两个因数，还有因数3和19。学生可以用3的倍数的特征找到因数3（从判断质数与合数的角度讲，并不需要找到因数19），也可以直接用除法（即57÷3=19）找到3和19这两个因数。第三，根据57的因数个数，结合质数与合数的概念，判断57是合数。所以，要正确判断57是合数，学生要用到“找一个数的因数”的知识。在运用“找一个数的因数”这一知识过程中，还要用到“3的倍数的特征”或“除法”这些知识。进一步，如果运用“3的倍数的特征”这一知识，就需要用到“5+7=12”和“3×4=12”这些知识做出判断，确定57是3的倍数。在上述分析中，当看到“5+7=12”和“3×4=12”时，大家可能会感觉有点荒诞。这是因为我们对“5+7=12”和“3×4=12”已经化为“直觉”，是不假思索的条件反射。也就是说，当想到运用“3的倍数的特征”时，看到57的一瞬间，就已经知道这个数是3的倍数了。这，就是熟练带来的速度。试想，假如一个学生对“5+7=12”和“3×4=12”还需要慢慢思考得出的话，那么他的学习一定很累。同理，如果一个学生在找57的因数时，不是用“3的倍数的特征”进行判断，而是用57÷3进行计算，那么他的速度相比之下也会慢一点。这也进一步说明了数学教材中的知识采用螺旋上升、环环相扣的编排方式。唯有把每一环上的数学知识、技能教扎实了