新教材人教A版必修第二册10.1.3古典概型

10.1.3古典概型

教材分析

本节?一般高中课程标准数学教科书必修二（人教A版）第十章？10.1.3古典概型？，

古典概型是继大事的关系与运算的后续局部,本节课主要讲解了古典概型的特征及如何求古典

概型的概率.本节内容在教材上起到承上启下的作用，即使对前面内容的进一步应用，又为后

续概率的性质做好铺垫留意对概率思想方法的理解。开展同学的直观想象、规律推理、数

学建模的核心素养。

敬学目标马鞍心素兼

课程目标学科素养

A.了解随机大事概率的含义及表示.1.数学建模：古典概型的概念

B.理解古典概型的特点和概率公式.2.规律推理：古典概型的应用

C.了解古典概型的一般求解思路和策略.3.数学运算：运用古典概型求概率

4.数据抽象：古典概型的概念

1.教学重点：了解随机大事概率的含义及表示.

2.教学难点：理解古典概型的特点和概率公式.

多媒体

教学过程教学设计意图

核心素养目标

、温故知新

1ZE

出问题。开展同学数

大事A与B关系含义符号

学抽象、直观想象和

大事B包含A（或称大事A假如大事A发生，那么BeA

规律推理的核心素

包含于B）大事B肯定发生。(Au

养。

B)

大事A与B相等假如大事A发生，那么A=B

大事B肯定发生：反之，

也成立。

大事A与B的和大事（或大事A与B至少有一个AuB

并大事）发生的大事

大事A与B的积大事（或大事A与B同时发生的AcB

交大事）大事

大事A与B互斥大事A与B不能同时发AnB=

生9

大事A与B互为对立大事大事A与B不能同时发AcB二

生，但必有一个发生①且

AuB=

C

二、探究新知

争论随机现象，最重要的是知道随机大事发生的可能性大小，对

随机大事发生可能性大小的度量（数值）称为大事的概率（probability）,

大事A的概率用P（A）表示.

我们知道，通过试验和观看的方法可以得到一些大事的概率估量，但

这种方法耗时多，而且得到的仅是概率

的近似值，能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机大事的概率

呢？

思索:在节中，我们争论过彩票摇号试验、抛掷一枚匀称硬币的试验

及掷一枚质地匀称骰子的试验，它们的共同特征有哪些?

答样本点有两个，正面朝上和正面朝下，由于质地匀称，因此样本点

消失的可能性是相等的.

答这个试验的样本点有6个，正面消失的点数为123,4,5,6,由于质

地匀称，因此样本点消失的可能性是相等的.

问题1.抛掷一枚质地匀称的硬币，每个样本点消失的可能性相等

吗？

问题2.抛掷一枚质地匀称的骰子，有哪些样本点？每个样本点消失

的

可能性相等吗？

4”

彩票摇号试验、抛掷一枚匀称硬币的试验及掷一枚质地匀称骰

子的试验，它们具有如下共同特征；通过详细问题

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学的概率计算，归纳分

模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability),简称古典概型析古典概型的特点

思索1：及运算方法。开展同

■y-y

▲_________4____

■_______________二_____:理的核心素养。

思索2：

有限性等可能性

问题：从全部整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概

型吗？

解不是，由于有很多个样本点.

推断一个试验是不是古典概型要抓住两点：

一是有限性；

二是等可能性

1.考虑下面的随机大事，如何度量大事A发生的可能性大小？

一个班级中有18名男生、22名女生.采纳抽签的方式,从中随机选择

一名同学，

大事A="抽到男生”

解:班级中共有40名同学，从中选择一名同学，由于是随机选取的，

所以选到每个同学的可能性都相等，这是一个古典概型.

抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级同学数中所占的比例大

小.

因此，可以用男生数与班级同学数的比值来度量，明显，这个随机试

验的样本空间中有40个样本点，而大事人="抽到男生”包含18个样

本点.

因此，大事A发生的可能性大小为

2.下面的随机大事,如何度量大事B发生的可能性大小？

抛掷一枚质地匀称的硬币3次，大事B="恰好一次正面朝上"

解:我们用1表示硬币“正面朝上"，用0表示硬币“反面朝上”，那

么试验的样本空间

Q={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}W8个通过实例分析，让

样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.同学把握分析古典

大事B发生的可能性大小，取决于这个大事包含的样本点在样概型的方法，提升推

本空间包含的样本点中所占的比例大小.理论证力量，提高同

因此，可以用大事包含的样本点数与样本空间包含的样本点学的数学抽象、数学

数的比值来度量.由于B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},所以大事B发生的可建模及规律推理的

能性大小为核心素养。

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含n个样本点，大事

A包含其中的k个样本点，那么定义大事A的概率

其中，n(A)和n(C)分别表示大事A和样本空间C包含的样本点个数.

例1.单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四

个选项中选择一个正确答案.假如考生把握了考查的内容，他可以选

择唯一正确答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对

的概率是多少？

解:试验有选A,选B,选C,选D共4种可能结果,试验的样本空间可以

表示为C={A,B,C,D}.考生随机选择一个答案，说明每个样本点发生

的可能性相等，所以这是一个古典概型.

设乂="选中正确答案"，

由于正确答案是唯•的，所以n(M)=L

所以，考生随机选择一个答案，答对的概率

P(M)=-

4

小结：解答概率题要有必要的文字表达，一般要用字母设出所求的随

机大事，要写出全部的样本点及个数，写出随机大事所包含的样本点

及个数，然后应用公式求出.

1.依据2020年山东省模拟高考试题中发觉，在咱们的数学考试中既

有单项选择题又有多项选择题，多项选择题是从A、B、C、D四个选

项中选出全部正确答案,同学们可能有一种感觉，假如不知道正确答

案，多项选择题更难猜对,这是为什么？

答这期为第对据率财,由斛公式可知,分子上的我理

用踹糅是唯依百分母上的州样本舶多了，有

多选题样本空间Q=[ABC.DABACAD.BC.BD,CDAB(

ABCD}WC)=1S,设N=“多选题选中正确答案”，财P(

例2.抛掷两枚质地匀称的骰子(标记为I号和II号)，观看两枚骰子分

别可能消失的根本结果.

(1)写出这个试验的样本空间，并推断这个试验是否为古典概型；

123456

1(1.1)(1，2)(1.3)(1.4)(1，5)(1，6)

2(2,1)(2,2)(2.3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4)3)(4,4)(4.5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6，6)

例2.(2)求以下大事的概率：

A="两个点数之和是5"；

B="两个点数相等"；

C="I号骰子的点数大于H号骰子的点数”.

解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都

可与I【号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果

用数字m表示I号骰子消失的点数是m,数字n表示II号骰子消失的

点数是n,那么数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的

样本空间Q={(m,n)|m,ne)1,2,3,4,5,6(}，其中共有36个样本点.由于骰

子的质地匀称，所以各个样本点消失的可能性相等，

因此这个试验是古典概型.

(2)由于人={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,从而

rP(/A)=-〃---⑷--=—4=—1

〃(Q)369

由于B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)(6,6)},所以n(B)=6,

P⑻=皿=9」

〃(Q)366

由于C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)(4,2),(4,3),

(5,1),(5⑵,(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5)},

所以n(C)=15,

n(C)155

r(C)=--------=—=——

〃(Q)3612

在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号?假如不给两枚骰子标记

号，会消失什么状况?你能解释其中的缘由吗？

假如不给两枚骰子标记号，那么不能区分所抛掷出的两个

点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一

枚骰子的结果是1点，也有可能其次枚骰子的结果是1点.这样，(1,2)

和(2,1)的结果将无法区分.

当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间C={(m,n)|m,nS

1

{1,2,345,6},

且m9},那么n(Q)=21.

।

大事A="两个点数之和是5"的结果变为A={(1,4),(2,3)},

这时P(A)=2/21

思索:同一个大事的概率，为什么会消失两个不同的结果呢？

123456

1(1.1)(1，2)(1)3)(1.4)(1.5)(1，6)

2(2.1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4)5)(4,6)

5(5)1)(5)2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6)1)(6,2)(6,3)(6-4)(6,5)(6,6)

可以发觉，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)

和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能

用古典概型公式计算概率，因此P(A)=2/21,是错误的.

思索:同一个大事的概率，为什么会消失两个不同的结果呢？

求解古典概型问题的一般思路：

(1)明确试验的条件及要观看的结果，用适当的符号(字母、数字、

数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以关心我们不重不漏地列

出全部的可能结果)；

(2)依据实际问题情境推断样本点的等可能性；

(3)计算样本点总个数及大事A包含的样本点个数，求出大事A的概

率.

例3.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，

从中不放回地依次随机摸出2个球,求以下大事的概率：

(1)A="第一次摸到红球”；

(2)B=”其次次摸到红球"；

(3)AB="两次都摸到红球”

解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5

种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，其次次摸球时都有

4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可能的结果，

如表所示

第二次

第•次

12315

1X(1.2)(1.3)(1.1)(1.5)

2(2.】)X(2.3)(2.1)(2.5)

3(3.1)(3.2)X(3.1)(3.3)

1(1.1)(1.2)(1.3)X(1.5)

5(5.1)(5.2)(5,3)(5.1)X

(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2行)，即

A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以

P”汕」二

”(Q)205

(2)其次次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1、2歹U),即

B={(2,1),(3,1).(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},

P(3)=里丝■=82

所以"(Q)20-5

(3)大事AB包含2个可能结果,即AB={(1,2),(21)},所以

尸©二盒=；01

=To

同时摸出2个球那么大事AB的概率是多少？

例4.从两名男生(记为B和B)、两名女生(记为G和G)中任意抽

1212

取两人

(1)分别写出有放回简洁随机抽样、不放回简洁随机抽样和按性别等

比例分层抽样的样本空间

(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率

解:设第一次抽取的人记为x,其次次抽取的人记为x,那么可用数组

I2

(x,x)表示样本点

I2

(1)依据相应的抽样方法可知:有放回简洁随机抽样的样本空间

C={(B,B),(B,B),(B,G),(B,G2),(B,B),(B,B),(B,G),(B,G),(G,

11112II]21222122I

B),(G,B),(G,G),(G,G),(G,B)),(G,B),(G,G),(G,G)}

112111221222122

不放回简洁随机抽样的样本空间

£1={(B,B),(B,G),(B,G),(B,B),(B,G),(B,G),(G,B),(G,B),(G,

212111221212211121

G),(G,B)),(G,B),(G,G))

2212221

按性别等比例分层抽样的样本空间

C=(B,G),(B,G),(B,G),(B,G)}

311122122

(2)设大事A="抽到两名男生“，那么对于有放回简洁随机抽

样,A={(B,B),(B,B),(B,B),(B,B)}.

11122122

由于抽中样本空间Q中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一

1

个古典概型，因此

对于不放回简洁随机抽样,A={(B,B),(B,B)}.由于抽中样本空间C

12212

中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型因此

P(A)=2/12=l/6~0.167.

由于按性别等比例分层抽样，不行能抽到两名男生，所以A=O＞，因此

P(A)=O

此例说明，同一个大事A="抽到两名男生"发生的概率，在按性别

等比例分层抽样时最小，在不放回简洁随机抽样时次之,在有放回简洁

随机抽样时最大，因此，抽样方法不同，那么样本空间不同，某个大事发

生的概率也可能不同

上一章我们争论过通过抽样调查估量树人中学高一同学平均

身高的问题.我们知道，简洁随机抽样使总体中每一个个体都有相等

的时机被抽中，但由于抽样的随机性，有可能会消失全是男生的“极

端”样本，这就可能高估总体的平均身高.

上述计算说明，在总体的男、女生人数相同的状况下，用有放回简洁

随机抽样进行抽样，消失全是男生的样本的概率为;用不放回简洁随

机抽样进行抽样，消失全是男生的样本的概率约为，可以有效地降低

消失“极端”样本的概率.特殊是，在按性别等比例分层抽样中，全是

男生的样本消失的概率为0,真正防止了这类极端样本的消失.所以，

改良抽样方法对于提高样本的代表性很重要.

故所求的概率P哮.

三、达标检测

1.标有数字123,4,5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不通过练习稳固本

放回地再随机抽取1张，那么抽取的第一张卡片上的数大于其次张卡节所学学问，通过同

片上的数的概率为（）学解决问题，开展同

1132

A：B二C：D.-学的数学抽象、规律

2555

推理、数学运算、数

答案:A

学建模的核心素养。

解析:如图：

根本领件的总数为2（）,其中第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数

包括的根本领件个数是10个，故所求概率

12345

//K

23451345124512351234

P--=1.应选A.

202

2.?史记?中叙述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的

中等马，劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐

王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马双方从各自的马匹中

随机选一匹进行一场竞赛，那么田忌的马获胜的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3456

答案:A

解析:设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a,6,c,，田忌的上，中，下三

个等次的马分别记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场竞

赛的全部的可能为44工①4。,&/,瓦＞,8孰@,。仇。?,依据题意，其中

Ab,Ac,Bc是田忌获胜，那么田忌获胜的率为：=：应选A.

3.现有5根竹竿，它们的长度（单位:m）分别为2.5,2.6,2.7,2.829,假设从

中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3m的概率

为.

答案：(

解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根的大事总数为10,它们的长度恰

好相差0.3m的大事数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为

_2__1

10—5°

4.某企业为了解下属某部门对本企业职工的效劳状况，随机访问50名

职工.依据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如下

图)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100].

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估量该企业的职工对该部门评分不低于8