全等三角形初中数学

全等辅助线问题

平移类全等

【例1】AABC中，ZB=90°,加为AB上一点，使得AM=3C,N为BC上一点、,使得C7V=3Af,连AV、

CM交于尸点.试求加修的度数，并写出你的推理证明的过程.

【例2】如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接K4与KD均与BC相交.由点3向

直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，二垂线相交于M,求证A1K_LAD.

【例3】如图，梯形ABCD中，AD//BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,

连接4）的垂直平分线/交线段砂于点求证：点〃为EF的中点.

【例4】已知线段6M、OB、OC、OD、OE、OF.ZAOB=NBOC=NCOD=NDOE=ZEOF=3°.且

AD=BE=CF—2.求证：S&OAB+^AOCD+^AOEF<M•

【例5】如图所示，在六边形A3CDE1中，AB//ED,AF//CD,BC//FE,AB=ED,AF=CD,

BC=FE.又知对角线FD_L3D,FD=24厘米，BD=18厘米.请你回答：六边形ABCDEF的面

积是多少平方厘米？

轴对称类全等

【例1】如图，在四边形ABCD中，A0〃8C,NA的平分线AE交。C于E.求证：当BE■是NB的平分线时,

有AD+BC=AB.

【例2】如图，ZA+ZD=180°,3E平分NABC,CE平分ZBCD,点E在"）上.

①探讨线段AB、CD和3C之间的等量关系.

②探讨线段旗与CE之间的位置关系.

【例3】如图，在AABC中，BE、CD分别是NABC、NACB的角平分线，^.BD+CE=BC,则NA的度数

为

A

【例4】已知AABC中，NA=60。，BD、CE分别平分NABC和NACB,BD、CE交于点O,试判断BE、

CD、3c的数量关系，并加以证明.

【例5】如图（1）所示，O尸是41ON的平行线，请你利用该图形画一对以O尸所在直线为对称轴的全等三

角形.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图（2）,在AABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD,CE分别是N54C、NBC4的平分

线，AD、CE相交于点请你判断并写出正与ED之间的数量关系.

（2）如图（3）,在AABC中，如果NACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）

中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【例6】如图所示，在A4BC中，4=100。,ZABC=40°,3D是NABC的平分线，延长至E,使

DE=AD.求证：BC=AB+CE

【例7】如图，/是ZVIBC的内心，S.CA+AI=BC.若44c=80。，求NABC和NA/B的大小.

c

【巩固】在AABC中，AB>AC,AD是NBAC的平分线.P是上任意一点.求证：AB-AC>PB-PC.

【巩固】如图，在AABC中,ZBAC=60°,AD是44C的平分线，S.AC=AB+BD,求NABC的度数.

【巩固】如图，在AASC中,ZB=2NC,N54c的平分线AD交3C与。.求证：AB+BD^AC.

【例8】如图，在AABC中，AB+BD^AC,NBAC的平分线相）交3c与。.求证：ZB=2ZC.

A

【例9】如图，AABC中，AB=AC,ZA=108°,BD平分NABC交AC于。点.求证：BC=AC+CD.

【例10】如图，AABC中，N4的平分线交3c于。，AB=AC+CD,28=40。，那么NC的大小是

【例11］如图，在AABC中，44C=90。，ZB=2ZC,。点在3C上，AO平分NBAC,若AB=1,则皮）

的长为.

【例12］如图，A4BC内，N54c=60。，NACB=4O。，尸，。分别在BC,C4上，并且AP,8。分别是NBAC,

NABC的平分线.求证：BQ+AQ=AB+BP.

A

【例13】已知等腰AA5C,ZA=100°,NABC的平分线交AC于。，则8D+AO=3C.

【例14］已知：在AABC中，AB=CD—BD,AD±BC,求证：NB=2NC.

【巩固】如图所示，在ZvlBC中，AT>_L8C于点D,NB=2NC.求证：AB+BD^CD.

【例15］如图，在△ABC中，3E是角平分线，AD±BE,垂足为£>.求证：Z2=Z1+ZC.

A

【例16】已知等腰直角AABC中，44c=90。，BD是角平分线，CELBD,交BD延长线于点E.求证:

BD=2CE.

【巩固】如图，在直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,8D平分NABC交AC于。，作CE_LBD交班）的

延长线于E,则BD与CE的大小关系是.

【例17】在AABC中，平分NA,CDLAD,。为垂足，G为的中点，求证：NDGC=ZB.

【巩固】如图所示，在AABC中，AC>AB,M为BC的中点，AO是44c的平分线，若CbLAD且交4）

的延长线于F,求证MF=g（AC-Afi）.

A

【例18］如图，在AABC中，AB=3AC,NA的平分线交3c于。，过3作3E_LAD,垂足为E,求证:

AD=DE.

【巩固】在△ABC中，AB=3AC,NB4c的平分线交BC于。，过3作3E_LAZ),E为垂足，求证：AD=DE.

【例19］如图所示，AD是AABC中/胡C的外角平分线，CD_LAT)于。，E是3c的中点，求证/)石〃A3

且OE=J(AB+AC).

【例20］如图，AABC中，AB=AC,BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADLBD于D,隹_1_6£于石.求

证：AD=AE.

A

【例21】在AABC中，MB、NC分别是三角形的外角Z4BE、NACF的角平分线，AM±BM,AN_LGV垂

足分别是M、N.求证：MN//BC,MN=^(AB+AC+BC)

【巩固】在AABC中，MB、NC分别是三角形的内角NABC、NACB的角平分线，AM±BM,AN_LCV垂

足分别是A/、N.求证：MN//BC,MN=^(AB+AC-BC)

【例22】在AABC,NS4C=5.25。，AD是NBAC的平分线，过A作/M的垂线交直线BC于点〃.若

BM=AB^AC,试求ZABC和ZACB的度数.

【例23］如图所示，在AA5C中，NS4c=90。，AD_LBC于。，ZBC4的角平分线交4)与F,交AB于E,

FG平行于3c交互于G.A£=4,AB=14,则3G=.

A

【巩固】如图所示，在RtAABC中，4?=90。，8_145于8,AG平分/BAC,交S于D,交BC于G,

在BC上取BE=CG,连接ED,证明：ACDE是直角三角形.

【例24］已知在AABC中，NA=90。，Nfi的平分线交AC于E,交BC边上的高AH于D,过。作D尸〃BC

交AC于F,求证：AE=FC.

【例25］如图，在RtAABC中，AD是斜边3c上的高，3E是NA5C的平分线，AD交BE于O,£F_L/1D于

F,求证：AF=OD.

【例26］如图，在AABC中，AB=AC,BD、A0分别是NABC、44C的平分线，DN±BC,GF±BD.求

证：MN=-BF.

4

G

【例27】在RtAABC的斜边至上分别取两点。、E,使4）=AC,BE=BC,DFVCE,F为垂足，求证:

DF=CF.

【例28】在直角三角形TWC中，ZC=90°,NA的平分线交3c于£>.自C作CG_LAB交&。于E,交AB于

G.自。作止_LAB于尸，求证：CF±DE.

【巩固】如图，已知AABC,Z1=Z2,AB=2AC,AD=BD.求证：DCLAC.

【例29］如图，在AAfiC中，已知/B=40。，ZS4D=30°.若AB=CD,则/ACD的大小为（度）.

A

【例30］如图所示，在AABC中，AB>AC,BE、CF为AABC的两条高，求证：AB+CF>AC+BE.

【例3。已知点M是四边形ABCD的8C边的中点，且NAME）=120。,证明：AB+-BC+CD>AD.

2

【巩固】设M是凸四边形ABCD的边3c的中点，ZAMD=135°,求证：AB+—BC+CD>AD.

2

【例32］如图所示，已知在AABC中，AB=6,AC=3,ABAC=120°,NBAC的平分线交3c于D,求AD

之长.

【巩固】如图所示，在AABC中，4）是NB4c的平分线，M是3C的中点，ME_L4）且交AC的延长线于E,

CE=-CD,求证ZACB=2/瓦

2

A

【例33］如图所示，在AABC中，AB=AC,AD是3C边上的高，点尸在4题内部，求证：ZAPB>ZAPC.

【巩固】在AABC中，AB=AC,60。<NA<120。，P为AABC内部一点，PC=AC,ZPCA=12Q0-ZA,

求Z.CBP的度数.

【例34］如图所示，在AABC中，NA的平分线交3c于点£),已知3»£>C=">2,且/位把=45。，求AABC

的各个内角.

【巩固】如图所示，尸为AABC边3c上的一点，且PC=2PB,已知/ABC=45。，ZAPC=60°,试求NACB

的度数.

A

【例35］如图所示，在四边形覆CD中，AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,ZABD+ZBDC=90°,

求四边形ABCD的面积.

【例36］如图所示，在AABC中，ZACB=2ZABC,尸为三角形内一点，AP=AC,PB=PC,求证:

NBAC=3NBAP.

【例37］如图所示，在四边形ABCD中，BC=CD,ZBCA-ZACD=60°,求证：AD+CD>AB.

【例38］在等腰AABC中，AB=AC,顶角ZA=20。，在边AB上取点。，使AD=3C,求NBDC.

A

BC

【巩固】如图所示，在AABC中，AC=BC,NC=20。，又〃在AC上，N在3C上，且满足44N=50。，

ZABAf=60°,求NNMB.

【例39］如图所示，在四边形ABCD中，ZDAC=12°,ZCAB=36°,/4BD=48。，NDBC=24°,求NACD

的度数.

【例40】在正AABC内取一点。，使在AABC外取一点E,使ZDBE=ZDBC,S.BE^BA,求

ZBED.

【例41】在AA5c内取一点A1,使得NMB4=30。，NM4B=10。.设NACB=80。，AC^BC,求ZWC.

c

【例42]如图所示，在AABC中，ZBAC^ZBCA=44°,Af为AABC内一点，使得NMC4=30。，NM4c=16。,

求ZBMC的度数.

【例43](1)已知：如图1,RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。、E在斜边上，且NDCE=45。.求

证：线段DE、AD,EB总能构成一个直角三角形；

(2)已知：如图2,等边三角形ABC中，点£＞、E■在边回上，且"CE=30。，请你找出一个条件,

使线段。区皿EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；

(3)在⑴的条件下，如果AB=10,求3DAE的值.

【例44]如图，已知NABD=Z4CD=60。，且ZADB=90。-」ZB£＞C.求证：AABC是等腰三角形.

2

【例45](1)已知：如图1,RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,点D、E在斜边AB上，且NDCE=45。.求

证：线段DE、AD.£B总能构成一个直角三角形；

(2)已知：如图2,等边三角形ABC中，点£＞、E■在边脑上，且NDCE=30。，请你找出一个条件，

使线段DE、AD,EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；

(3)在⑴的条件下，如果A5=10,求3£>・/场的值.

【例46】在AABC中，AB=AC,CG_LB4交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置

摆放，该三角尺的直角顶点为尸，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点3.

(1)在图1中请你通过观察、测量所与CG的长度，猜想并写出所与CG满足的数量关系，然后

证明你的猜想；

(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直

角边交边于点D,过点。作于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长

度，猜想并写出DE+D厂与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

(3)当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点/在线段AC上，且点尸与

点C不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)

【例47］如图，在RtA4BC中，。，石，F分别为AB、AC.中点，”为斜边钻的高的垂足，G是DH

的中点.设。为回上的任一点，求证：NEO尸的最大的角便是NEG5.

中点及中心对称类全等

【例6】如左下图，在矩形MCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,尸为AE的中点.求证：BFLFD.

AD

【例7】如右下图，在AABC中，BE、CF分别为边AC、Afi的高，。为3c的中点，DMLEF于M.求

证：FM=EM.

【例8】已知：AABC中，AM是中线.求证：AM<^(AB+AC).

【例9】在△ABC中，AB=5,AC=9,则边上的中线的长的取值范围是什么？

【例10］如图，AASC中，AB<AC,4)是中线.求证：ZDAC<ZDAB.

A

【例1。如图，已知在AABC中，AD是5c边上的中线，E是上一点，延长BE交AC于b，AF=EF,

求证：AC=BE.

【例12］如图，已知在AABC中，4）是3c边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长班;交AC于尸，

窃与跖相等吗？为什么？

【例13］如图所示，已知AABC中，AD平分44C,E、P分别在3D、AD±.DE=CD,EF=AC.求

证：EF//AB

【例14】AASC中，AB>AC,AD,AE分别是BC边上的中线和NA的平分线，则AD和AE1的大小关系是

ADAE.（填“>”、“<"或』”）

【例15］已知AM为AABC的中线,ZAMB,44MC的平分线分别交至于E、交AC于尸.求证:

BE+CF>EI.

A

【巩固】在RtAABC中，NA=90。，点。为的中点，点E、尸分别为钻、AC上的点，且即，FD.以

线段班、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角

三角形？

【例16］如图所示，在AABC中，。是BC的中点，D0垂直于DN,如果，0?+。^=加2十四2,求证

AD2=^AB2+AC2).

【巩固】在RtAABC中，尸是斜边他的中点，D、E分别在边C4、CB上,满足NDFE=90。.若A£>=3,

BE=4,则线段DE的长度为.

【例17］如图所示，在zVWC中，AB^AC,延长Afi到。，使以)=4},£为四的中点，连接CE、CD,

求证CD=2EC.

【例18］已知AABC中，AB=AC,为AB的延长线，且=CE为AABC的AB边上的中线.求

证CD=2CE

c

【例1】如图，在正方形ABCD中，歹是CD的中点，E是3c边上的一点，且AF平分NZME,求证:

AE=EC+CD

【例2】在四边形43co中，设M,N分别为CD,AB的中点，求证MNWAD+BC),当且仅当A£>〃BC

时等号成立.

【例3】在梯形ABCD中，AB//CD,ZA=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AZ)中点，试判断EC与£8

的位置关系，并写出推理过程.

【例4】如图所示，在AABC的AB边上取两点E、F,AE=Bl,连接CE、CF,求证:

AC+BC>EC+FC.

【例5】以AABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtAABD和等腰RtAACE,ZBAD=ZCAE=90°

DE,M、N分别是3C、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.

⑴如图①当AABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与。E的数量关

系是；

⑵将图①中的等腰RtAABD绕点A沿逆时针方向旋转6。（0＜，＜90）后，如图②所示，⑴问中得到的

两个结论是否发生改变？并说明理由.

图①

【例6】在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1,己知AABC,

ZACB=90°,ZABC=45°,分别以A3,为边向外作和ABCE,且=EB=EC,

ZADB=ZBEC=90°,连接DE交AB于点尸，探究线段DF与EF的数量关系。

小慧同学的思路是：过点。作DGL■于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解

小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，ZABC=30°,ZADB=ZBEC=60°

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中DR与EF的数量关系

（2）如图2,若NABC=30。，ZADB=ZBED^60°,原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到

的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3,若NAD3=NBEC=2N/RC,原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否

发生变化？请写出你的猜想并加以证明。

【例7】已知：在RtAABC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,连结EC,取EC的中点连结DM

和

⑴若点。在边AC上，点E在边上且与点3不重合，如图①，探索即1、D0的关系并给予证

明；

⑵如果将图①中的AADE绕点A逆时针旋转小于45。的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

【巩固】已知：如图，在RtAABC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,且。在边AB上，连结EC,取

EC的中点连结DM和8M.将等腰直角三角形ADE绕A点按逆时针方向旋转45。，结论：

AB用D为等腰直角三角形，成立吗？

【巩固】如图，在RtAABC中，AB=BC,在RtAAZ组中，AD=DE,且AD_LAC,连结EC,取EC的中

点连结DM和身0.结论：ABMD为等腰直角三角形还成立吗？

【巩固】如图，在RtAABC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,且A在线段EC上，连结EC,取EC

的中点连结DM和3M.证明：ZMBD=ZMDB.

【巩固】如图，在RtAABC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,且AD_LAC,连结EC,取EC的中

点、M,连结。扬和结论NMBD=NMDB成立吗？

B

【巩固】如图，AABC和AADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点，求证：ZMBD=ZMDB.

【例8】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFLBD交BC于F,连接DR,G为DF

中点，连接EG,CG.

⑴求证：EG=CG；

⑵将图①中Afi砂绕3点逆时针旋转45。，如图②所示，取小中点G,连接EG,CG.问⑴中的

结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

⑶将图①中M印绕3点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然

成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

【例9】问题：如图1,在菱形旗8和菱形3EFG中，点AB,E在同一条直线上，尸是线段。尸的中点,

连结PG,PC.若ZABC=ZBEF=60。,探究PG与尸C的位置关系及一的值.

PC

小聪同学的思路是：延长GP交OC于点"，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题:

《1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及器的值;

（2）将图1中的菱形3EFG绕点3顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线班'恰好与菱形ABCE）的边

4?在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变

化？写出你的猜想并加以证明.

（3）若图1中NABC=/BEF=2a（0o<a<90。），将菱形班FG绕点3顺时针旋转任意角度，原问

题中的其他条件不变，请你直接写出生的值（用含a的式子表示）.

PC

旋转类全等

【例19］如图，已知AABC中，ZABC=9Q°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线右，4上，

且4,/2之间的距离为2,12,13之间的距离为3,则AC的长是

【例20】两个全等的30。、60。的三角板ADE、BAC,如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连结

BD.取80的中点Af,连结ME、MC,试判断AEWC的形状，并说明理由.

【例2。已知等腰直角三角形ABC,NC为直角，加为3c的中点.CD±AM.求证：ZAMC=ZDMB.求

证：ZAMC=NDMB.

c

M

【例22］如图所示，已知在等腰直角三角形ABC中，NMC是直角，。是AC上一点，AE±BD,AE的延

长线交于尸，若NADB=NFDC,求证：。是AC的中点.

A

【例23］已知P为等腰直角AABC的斜边AB上任意一点，PE、PF分别为AC、3c之垂线，垂足为E、

F.M为之中点.则E、M、F组成等腰直角三角形.

【例24］如图，设A4BC和ACDE都是正三角形，且NEBD=62。,则NA£B的度数是（）

A.124°B.122°C.120°D.118°

【例25］如图，AABC的边3C在直线/上，AC±BC,5.AC=BC；AEFP的边FP也在直线/上，边£F与

边AC重合，且EF=FP.

⑴在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出回与AP所满足的数量关系和位置关系；

⑵将AE77沿直线/向左平移到图2的位置时，£P交AC于点。，连结"，BQ.猜想并写出8。

与"所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

⑶将AEF尸沿直线/向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结好，

BQ.你认为⑵中所猜想的2Q与好的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成

立，请说明理由.

EA

A(£)EA

【例26】AA5c中，D为BC中点、,DE_L3C交N54C的平分线于点E,EFLAB于FEG_LAC于G.求

证：BF=CG.

【例27］如图所示，在等边A4BC中，DE//BC,O为AADE的中心，M为助的中点，求证OAf_LCM.

【例28］如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN工MD,BN平分NCBE,E为AB的延长线上一点.求

证：MD=MN.

【例29］如图，点”为正方形ABCD的边回上任意一点，且与4BC外角的平分线交于点N,

与有怎样的数量关系？

DC

【例30］如图，点”为正方形ABCD的边AB（或84）延长线上任意一点,MN±DM且与ZABC外角的平

分线交于点N,此时MD与有何数量关系?并加以证明.

【巩固】如图，点M为正三角形他3的边所在直线上的任意一点（点3除外），作NDMN=60。，射线MN

与NDB4外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？

D

AMBE

【例31】已知，AABC中，AB=3,ZBAC=120°,AC=1,。为AB延长线上一点，80=1,点尸在/BAC

的平分线上，且满足AR4D是等边三角形.

（1）求证：BC=BP；

（2）求点C到5P的距离.

【例32］如图，在四边形ABCD中，AD//BC,点E是上一个动点；若/3=60。，AB=BC,且

ZD£C=60°,判断AD+AE与的关系并证明你的结论.

【例33］已知，在AABC中，NACB为锐角，。是射线BC上一动点（。与C不重合），以AD为一边向右侧

作等边A4DE（C与E不重合），连接CE.

（1）若AA5c为等边三角形，当点。在线段上时（如图1所示），则直线BD与直线CE所夹锐角为

度；

⑵若AABC为等边三角形，当点。在线段3c的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是

否仍然成立？请说明理由；

⑶若AASC不是等边三角形，且3C>AC(如图3所示).试探究当点D在线段3c上时，你在⑴中

得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当NACB满足什么条件时，

能使⑴中的结论成立，并说明理由.

【例34］如图，等边三角形A4BC与等边ADEC共顶点于。点.求证：AE=BD.

【例35］如图，AAAD和ACED均为等边三角形，AC=BC,AC±BC.若=则CE>=

【例36］如图，B,C,£1三点共线，且AABC与ADCE是等边三角形，连结BD,钻分别交AC,DC于M,

N点.求证：CM=CN.

【巩固】如图，点C为线段AB上一点，AACM>ACBN是等边三角形.

请你证明：

(1)AN=BM；

(2)DE//AB；

(3)CF平分ZAFB.

N

M

F

【例37］已知：如图，点C为线段AB上一点，AACM、ACBN是等边三角形.CG、C”分别是AAOV、AMCB

的［Wj.求证：CG=CH.

N

ACB

【例38］如图，点C为线段AB上一点，AACM.ACBN是等边三角形，。是4V中点，石是5M中点，求

证：ACDE是等边三角形.

N

ACB

【例39】平面上三个正三角形ACT,ABD,BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分.

【例40］已知：如图，AABC.ACDE.AE7沃都是等边三角形，且A、D、K共线，AD=DK.求证：AHBD

也是等边三角形.

【例41］如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：AE=CG.

【例42］如图，在△ABC外面作正方形A6EF与ACS,AD为△ABC的高,其反向延长线交FH于M,

求证：(1)BH=CF；(2)MF=MH

【例43］如图1,若AABC和AADE为等边三角形，M,N分别EB,CD的中点，易证：CD=BE,A4AW是

等边三角形.

(1)当把A4DE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立?若成立请证明，若不成立请

说明理由；

(2)当A4Z组绕A点旋转到图3的位置时，AAW是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求

出当=时，A4DE与AABC及AAAW的面积之比；若不是，请说明理由.

【例10］如图所示.正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q,连AQ,过。作。交A。于R,交BC

于尸，正方形对角线交点为O,连OP,OQ.求证：OPLOQ.

AD

【例11］如图所示，在等腰直角AABC的斜边回上取两点/、N,使NMC7V=45。，记闻MN=x,

BN=n,求证：以x、〃八〃为边长的三角形的形状是直角三角形.

【例12】请阅读下列材料：

已知：如图1在RtAABC中，44c=90。，AB=AC,点。、E分别为线段BC上两动点，若

ZZME=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.

小明的思路是：把AAEC绕点A顺时针旋转90。，得到连结£7),

使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴猜想班＞、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵当动点E在线段3c上，动点。运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，⑴中探究

的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

【例13］如图所示，在五边形ABCDE中，ZB=ZE=90。,AB=CD=AE=BC+DE=1,求此五边形的面

积.

【巩固】在五边形ABCDE中，已知=BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180°,连接4).求证：AD

平分Z.CDE.

A

【例14］如图，五边形ASCDE中，AB^AE,BC+DE^CD,ZBAE=ZBCD^120°,ZABC+ZAED=1SO°,

连结4K求证：AD平分NCDE。

【例15］如图所示，AABC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120。的等腰三角形,以。为顶点作一个

60。的/MDN,点M、N分别在AB、AC上，求A/WN的周长.

【例16】在等边AABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点A/,N,£＞为AABC外一点，且40N=60。，

ZBDC=120°,BD=CD,探究：当点M,N分别爱直线9，AC上移动时，之间的

数量关系及AAMN的周长。与等边AA5c的周长L的关系.

⑴如图①，当点M,N在边AB,AC上，且=ZW时，,NC,之间的数量关系式

此时2

⑵如图②，当点M,N在边A5,AC上，且DMwOV时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你

的猜想并加以证明；

⑶如图③，当点分别在边的延长线上时，若AN=x,则。=（用表示）

【例17］如图所示，在四边形中，AB=BC,NA=NC=90。，4=135。，K、N分别是AB、BC1.

的点，若ASKN的周长为钙的2倍，求NQN的度数.

【例18］（1）如图，在四边形48co中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分别是边BC、C。上的点，且

NEAFBAL求证：EF=BE+FD;

2

（2）如图在四边形旗CD中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E、/分别是边BC、上的点，且

ZEAF=-ZBAD,（1）中的结论是否仍然成立？不用证明.

2

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=,E,尸分别是边3C,CD延长线上的

点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之

2

间的数量关系，并证明.

F

A.

D