人教A版必修第二册8631平面与平面垂直的判定学案

8.6.3平面与平面垂直

新课程标准新学法解读

1.在对面面垂直判定时，既可以从

平面与平面的夹角为直角的角度

借助长方体，通过直观感知，了解争论，又可以从已有的线面垂直关

空间中平面与平面垂直的判定定系动身进行推理论证.

理与性质定理.2.利用面面垂直的性质定理时，

留意找准两平面的交线是解题关

键.

课前篇咱主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点1二面角

1.定义及记法

如下图，从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面

角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为

AB,面分别为a,£的二面角记作二面角a—A3—£.有时为了便利，

也可在a,£内（棱以外的半平面局部）分别取点P,Q,将这个二面角

记作二面角P-AB-Q.

假如棱记作/,那么这个二面角记作二面角a—1一口或P-1-Q.

2.二面角的平面角

如图，在二面角a—/一£的棱/上任取一点0,以点。为垂足，

在半平面a和4内分别作垂直于棱/的射线0A和0B,那么射线

和0B构成的NA08叫作二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少

度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角.

学问点2平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，假如它们所成的二面角是直二面角，就

说这两个平面相互垂直.

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

位置

定理符号表示

关系

如果一个平面过另一

判aUa\

定个平面的垂线，那么皿卜皿

这两个平面垂直

面面

两个平面垂直，如果

垂直a.Lp

一个平面内有一直线

性anp=AB

质垂直于这两个平面的

aUa

交线，那么这条直线

a_LAB

与另一个平面垂直

留意：平面与平面垂直的性质定理可以用来判定线面垂直.

第一课时平面与平面垂直的判定

［重点理解］

1.二面角与平面几何中的角的比照

平面几何中的角二面角

图

形顶点5L

定从平面内一点动身的两条射从一条直线动身的两个半平

义线组成的图形面组成的图形

续表

平面几何中的角二面角

表；

由射线一点(顶点)一射线构由半平面一线(棱)一半平面

示

成，记为NA03构成，记为二面角a—l—。

法

思定量的反映两条直线的位置定量的反映两个平面的位置

义关系关系

(1)两个平面垂直是两个平面相交的特别状况.例如正方体中任

意相邻的两个面都是相互垂直的.

(2)两个平面垂直和两条直线相互垂直的共同点：都是通过所成

的角是直角定义的.

3.详解平面与平面垂直的判定定理

(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面

垂直二面面垂直.

(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进

一步转化为处理线线垂直问题来解决.

［自我排查］

1.如下图的二面角可记为()

A.a-p—lB.M-l-N

C.1-M-ND.l—fi—a

答案：B

解析：依据二面角的记法规那么可知B正确.应选B.

2.假设直线/_1_平面a,/U平面从那么a与4的位置关系是（）

A.平行B.可能重合

C.相交且垂直D.相交不垂直

答案：C

解析：由面面垂直的判定定理，得a与£垂直，应选C.

3.直线此平面a,那么经过/且和a垂直的平面（）

A.有一个B.有两个C.有很多个D.不存在

答案：C

解析：经过/的任一平面都和a垂直.应选C.

4.在三棱锥尸一A8C中，PALPB,PB.LPC,PCVPA,如下图,

那么在三棱锥P—ABC的四个面中，相互垂直的面有对.

答案：3

解析：平面平面PAC,平面附B_L平面PBC,平面PAC

J■平面PBC.

5.在正方体ABC。一AIiGU中，二面角A-BC—Ai的平面角

等于.

答案：45°

解析：依据正方体中的线面位置关系可知，AB.LBC,MBA.BC,

依据二面角平面角的定义可知，NAB4即为二面角A-BC-Ai的平

面角.又AB=A4i,^LAB-LAAi,所以NAB4=45°.

课堂篇•重点难点研习突破

研习1二面角大小的计算

［典例1］如图，四边形ABCD是正方形，出，平面ABCQ,且

PA=AB.

(1)求二面角A—PD—C平面角的大小；

(2)求二面角8一出一。平面角的大小.

［解］⑴:巾上平面ABCD,

.'.PA-LCD又四边形ABCD为正方形，

：.CD±AD.PAHAD=A,

二.CQJ■平面又CQU平面PCD,

二.平面RLD_L平面PCD.

..・二面角A—PD—C平面角的度数为90°.

(2):以_1平面48。。，

：.AB.LPA,AC-LPA.

.■.ZBAC为二面角B-PA-C的平面角.

又四边形A3CO为正方形，

N84C=45。.

即二面角8一出一。平面角的度数为45。.

［巧归纳］求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求〃.

留意：作平面角时，要清晰二面角的平面角的大小与顶点在棱上

的位置无关，通常可依据需要，选择特别点作平面角的顶点.

［练习1］如图，在四周体用3c中，△ABC与△PBC是边长为

2的正三角形，B4=3,D为协的中点，求二面角D-BC-A的大小.

解：取8c的中点，记为E,连接£4,ED,EP（图略）.

「△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，

：.BC±AE,BC1PE,

又AECiPE=E,AE,P£U平面抬区

.•.3。，平面PAE.

又DEU平面：.BC±DE,

：.NAED即二面角D-BC-A的平面角.

又由条件，知4后=尸片=芋43=小，

13

An

：.DELPA.：.sinZAED=^=-^-.

又易知NAEQ为锐角，AZAEZ）=60°,

即二面角D-BC-A的大小为60°.

研习2平面与平面垂直的证明

［典例2］（链接教材第157页例7,158页例8）如下图，在四周体

ABCS中，/BSC=90°,ZBSA=ZCSA=60°,又SA=SB=SC.

求证：平面ABC，平面SBC

［证明I法一（利用定义证明）:

A

由于NBSA=NCSA=60。，SA=SB=SC,

所以aASB和aASC是等边三角形，

那么有S4=SB=SC=AB=AC,令其值为a,

那么△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.

取8C的中点Q,如下图，

连接4。，SD,那么AQ_L3C,SD±BC,

所以NADS为二面角A-BC-S的平面角.

在RtZkBSC中，由于SB=SC=%

所以SQ=*a,BD=当等a.

A/2

在RtZk48□中，AD=『,

在△ADS中，由于SQ2+A/）2=S42,

所以NADS=90。，即二面角A-3C—S为直二面角,

故平面ABCJ■平面SBC.

法二（利用判定定理）：

由于&4=S3=SC,

且N8S4=NCSA—60°,

所以S4AB=AC,

所以点A在平面SBC上的射影为aSBC的外心.

由于ASBC为直角三角形，

所以点A在ASBC上的射影D为斜边BC的中点，

所以AD_L平面SBC.

又由于AQU平面ABC,

所以平面AJBC-L平面SBC.

［巧归纳］证明面面垂直常用的方法

(1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一个平面内查找一条直线与另一个平面

垂直，即把问题转化为“线面垂直”；

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，那么另

一个也垂直于此平面.

［练习2］在边长为。的菱形ABC。中，N4BC=60。，PC,平面

ABCD,求证：平面平面B4c.

证明：AfiCD,BOU平面ABC。,

PCLBD.'：四边形ABCD为菱形，

C.ACLBD,又PCnAC=C,PC,ACU平面用C,

.•.80,平面PAC.

•.•8QU平面PBD,

工平面平面PAC.

课后篇•根底达标延长阅读

1.以下命题中正确的选项是()

A.平面a和£分别过两条相互垂直的直线，那么a_L£

B.假设平面a内的一条直线垂直于平面£内的两条平行直线，

那么a_L6

C.假设平面a内的一条直线垂直于平面£内的两条相交直线，