人教新课标版高一必修2第五章曲线运动经典例题

人教新课标版高一必修2第五章曲线运动经典例题

一、对曲线运动的方向和特点的认识

典型例题1：关于物体的运动，下列说法正确的是（）

A.曲线运动一定是变速运动

B.变速运动一定是曲线运动

C.曲线运动一定是变加速运动

D.运动物体的加速度大小、速度大小都不变的运动一定是直线运动

思路点拨：曲线运动的速度方向一定变化，其他量不一定变化.

解析：做曲线运动的物体速度方向时刻变化，即速度不断变化，A正确；变速运动还包括

速度方向不变，只改变大小的变速直线运动，B错；当物体做平抛运动（后面学习）时，虽然

轨迹是曲线，但加速度g恒定不变，C错；物体做匀速圆周运动（后面学习）时加速度大小、

速度大小都不变，D错.

答案：A

规律方法：曲线运动的特点

曲线运动一定是变速运动

⑴由于做曲线运动的物体其速度方向沿曲线的切线方向，而曲线运动中，速度的方向时刻

发生变化，因此曲线运动一定是变速运动.

（2）曲线运动是否为匀变速运动决定于物体是否受到恒力作用.若物体受恒力作用做曲线运

动时，则为匀变速曲线运动，否则为非匀变速曲线运动.

典型例题2：

在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车，关于脱离了的后轮的运动情况，以下说法正

确的是（）

A.仍然沿着汽车行驶的弯道运动

B.沿着与弯道垂直的方向飞出

C.沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道

D.上述情况都有可能

解析：选C.由于车轮原随赛车做曲线运动，脱离赛车时车轮的速度方向为弯道的切线方向，

此后车轮会受到地面的摩擦力作用，但力的方向为此时弯道切线的反方向，由此可知C正

确.

答案：c

101小贴士:曲线运动的速度方向为该点的切线方向.

二、曲线运动的条件

典型例题2：一个质点受到两个互成锐角的恒力尸1和F2的作用，由静止开始运动.若运动

中保持二力方向不变，但让F1突然增大到F1+AF,则质点以后（）

A.一定做匀变速曲线运动

B.可能做匀变速直线运动

C.一定做匀变速直线运动

D.可能做变加速曲线运动

解析：质点是受两恒力F1和F2的作用，从静止开始沿两个力的合力方向做匀加速直线运

动，当灯发生变化后，/1+/尸和F2的合力大小和方向与原合力厂合相比均发生了变化,

如图所示，此时合外力仍为恒力，但方向与原来的合力方向不同，即与速度方向不相同，所

以此后物体将做匀变速曲线运动，故A正确.

Fi+AF

同

答案：A

规律方法：应用曲线运动的条件判断分析，当力发生变化时，确定合力方向与速度方向间的

关系.

典型例题2.质点在三个恒力打、F2、尸3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去B1,而

保持尸2、F3不变，则质点（）

A.一定做匀变速运动

B.一定做直线运动

C.一定做非匀变速运动

D.一定做曲线运动

解析：选A.质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动.由

题意可知，当突然撤去尸1而保持F2、F3不变时，质点受到的合力大小与F1等大，方向与

门方向相反，故一定做匀变速运动.在撤去尸1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质

点处于静止状态，则撤去为后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动

状态，则撤去尸1后，质点可能做直线运动（条件是尸1的方向和速度方向在一条直线上），也

可能做曲线运动（条件是句的方向和速度方向不在一条直线上）.综上所述，A正确，B、C、

D错误.

101小贴士:当力发生变化时，加速度也发生变化，有加速度与力的关系确定轨迹是直还是

曲.

三、力、速度、轨迹的关系

典型例题1：点在一平面内沿曲线由尸运动到。，如果用v、a、下分别表示质点运动过程

中的速度、加速度和受到的合外力，下图中可能正确的是（）

AB

CD.

思路点拨：做曲线运动的物体，受到的合外力与速度不在同一直线上，并且轨迹夹在力和

速度之间，弯向合外力的一侧.

解析：做曲线运动的物体，其速度方向就是曲线上那一点的切线方向，曲线运动的轨迹向

合外力的方向弯曲，而合外力的方向就是加速度的方向，故只有D项正确.

答案：D

规律方法：合外力的方向一定指向轨迹的凹侧

⑴在处理曲线运动的轨迹问题时，注意轨迹是向合外力的方向弯曲，合外力的方向总是指

向轨迹的凹侧.

(2)运动的轨迹总是夹在合外力和速度的方向之间.

(3)速度沿轨迹的切线方向.

典型例题2.质点沿如图所示的轨迹从A点运动到B点，已知其速度逐渐减小，图中能正确

表示质点在C点处受力的是()

解析：选C.把力产分解为一个与速度方向在同一直线上的分力尸1,一个与速度方向垂直

的分力F2,根据曲线运动中尸应指向轨迹的“凹侧”，可排除A、D.在B项中，尸1的方向

与v的方向同向，使质点从A到8加速，故B项错；在C项中，F1的方向与v的方向反向,

使质点从A到B减速，故C正确.

答案：C

101小贴士：曲线运动的轨迹向合外力的方向弯曲，而合外力的方向就是加速度的方向.当

加速度与速度夹角为锐角，速度增加.

四、合运动轨迹的判断

典型例题1：如图所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同

时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动,则红蜡块实际运动的轨迹是图中的()

A.直线PB.曲线。

C.曲线RD.

思路点拨：由。与v的方向关系判定是直线还是曲线运动，由v与曲线相切判定曲线是。

还是R,也可以根据水平速度逐渐变大，合速度与水平方向的夹角逐渐减小判断.

解析：红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动两个分运动，由

于它在任一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平向右的加速度，它与

速度方向之间有一定夹角，故轨迹是曲线.又因为物体做曲线运动时曲线总向加速度方向偏

折(或加速度方向总是指向曲线的凹侧)，故选项B正确.

答案：B

规律方法：合运动轨迹的判断方法：

两个互成角度的直线运动的合运动的性质和轨迹，由两分运动的性质及合初速度与合加速度

的方向关系决定.

(1)根据合加速度是否恒定判定合运动是匀变速运动还是非匀变速运动，若合加速度不变且

不为零，则合运动为匀变速运动，若合加速度变化，则为非匀变速运动.

(2)根据合加速度与合初速度是否共线判断合运动是直线运动还是曲线运动.若合加速度与

合初速度在同一直线上，则合运动为直线运动，否则为曲线运动.

典型例题2:关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确

的是()

A.一定是直线运动

B.一定是曲线运动

C.可能是直线运动，也可能是曲线运动

D.以上都不对

解析：选C.两个运动的初速度合成、加速度合成如图所示.当a和v重合时，物体做直线

运动；当。和v不重合时，物体做曲线运动.由于题目没有给出两个运动的加速度和初速度

的具体数值，所以以上两种情况都有可能.

五、运动的合成与分解

典型例题1：玻璃板生产线上，宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度匀速向前行进，在切割

工序处，金刚钻割刀的走刀速度为10m/s.为了使割下的玻璃板都成符合规定尺寸的矩形，

金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割1次的时间为多长？

思路点拨：运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与

分解.由于它们都是矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则.

解析：金刚钻割刀的走刀速度为v=10m/s,为了使割下的玻璃板都成矩形，在玻璃板上看

割刀的速度讨应垂直于玻璃板边缘，如图所示，设玻璃板以速度v2向右移动，割刀的实际

速度v为讨和丫2的合速度.

2m/s

设V的方向与v2的方向夹角为仇贝U

vcosO=v2,9=arccos^

i/9

故金刚钻割刀的轨道应取图中V的方向，且使0=arccos2；切割一次所用时间t=—=万扁

JU1U31IJLU

s=0.92s.

答案：D

规律总结：1.运动的合成与分解是解决复杂运动的一种基本方法.它的目的在于把一些复

杂的运动简化为比较简单的直线运动，这样就可以运用已经掌握的有关直线运动的规律来研

究一些复杂的曲线运动.

2.不是同一物体在同一时间内参与的运动不能进行合成.

3.对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解.

典型例题2.2010年7月21日4时30分左右，辽宁省铁岭市辽河支流胜利河阿吉段由于

短时间内受到高强度集中降雨影响，出现决口，决口长度达20米，数千群众受到威胁，险

情使交通阻断，给救援工作带来极大困难，直升飞机成为主要的救援工具，如图5-1-11

所示，一架沿水平直线飞行的救援直升机A,用悬索（重力可忽略不计）救护被困伤员B.在

直升飞机A和伤员8以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间

内，A、B之间的距离以/="—2式中”为直升飞机A离地面的高度，各物理量的单位均

为国际单位制单位）规律变化，则在这段时间内，下面判断不正确的是（）

A.悬索的拉力等于伤员的重力

B.悬索是竖直的

C.伤员做加速度大小方向均不变的曲线运动

D.伤员做速度大小增加的曲线运动

A

解析：选A.由48间距离以/=H—。规律变化知，伤员离地面的高度/z=r2,所以伤员在

竖直方向上做匀加速运动，与水平方向上的匀速运动的合运动是匀变速曲线运动，故选A.

答案:A

第二节平抛运动

一、对平抛运动的理解

典型例题1.下列关于平抛运动的说法正确的是（）

A.平抛运动是非匀变速运动

B.平抛运动是匀变速曲线运动

C.做平抛运动的物体，每秒内速率的变化相等

D.水平飞行的距离只与初速度大小有关

思路点拨：从平抛运动的受力情况入手分析，由于做平抛运动的物体只受重力作用，故其

为匀变速运动，加速度恒为重力加速度g,即相等时间内的速度改变量相同，据此可做判断.

解析：平抛运动是一种理想化的运动模型，不考虑空气阻力，且只受重力的作用，加速度大

小为g,方向竖直向下，所以平抛运动是匀变速曲线运动，A错，B对；因为Av=gZt,所

以做平抛运动的物体在相等的时间内速度的变化（包括大小和方向）相等，但每秒内速率的变

化不相等，c错；据y=ggt?得t=*~,所以得x=v0t=VoJW，由此可见，平抛运动

的水平位移由初速度V。和下落高度y共同决定，D错.

答案：B

规律总结：平抛运动的特点

1.理想化特点：平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作

用，忽略空气阻力.

2.匀变速特点：平抛运动是加速度恒等于重力加速度，匀变速曲线运动.

3.速度变化的特点：平抛时物体在任意相等的时间内速度的变化量相等，均为

方向竖直向下

典型例题2.一人站在楼上水平抛出一个小球，球离手的速度为vO,落地时的速度为W,不

计空气阻力.在下图所示的速度矢量变化情况的示意图中正确的一个是（）

解析：选B.由于平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动，因而在任一时刻速度的

水平分量均应相等，可知速度矢量末端在同一竖直线上，示意图B是正确的.

答案:B

思路点拨:速度变化量的方向与加速度的方向相同.

101小贴士：速度的合成遵循平行四边定则.

二、平抛运动的时间和射程

典型例题1.如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va

和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和仍后落到与两抛出点水平距离相等的尸点.若不计

空气阻力，下列关系正确的是（）

A.ta>tb,va<vbB.ta>tb,va>vb

C.ta<tb,va<vbD.ta<tb,va>vb

思路点拨：把平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动是研究

平抛运动的基本方法.

解析：小球a、b做平抛运动，

,12X

x=v0t,h=-gt-,V="-t一,ha>hb,ta>tb,

ZoLg

又xa=xb,va<vb,所以A选项正确.

答案：A

规律总结：平抛运动的规律

1.平抛运动的时间

由"京得”。知平抛运动的物体在空中运动的时间，只与下落的高度有关，与

初速度大小无关.

2.平抛运动的水平位移

由X==知平抛物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定

典型例题2.滑雪运动员以20m/s的速度从一平台水平飞出,落地点与飞出点的高度差为3.2

m.不计空气阻力，g取10m/s2.运动员飞过的水平距离为无，所用时间为3则下列结果

正确的是()

A.x=16m,1=0.50sB.x=16m,t=0.80s

C.x=20m,/=0.50sD.x=20m,t=0.80s

解析：选B.平抛运动在竖直方向是自由落体运动h=ggt2,t=\倍=0.80s,水平方向

是匀速直线运动x=vot=16m.

答案:B.

101小贴士：平抛运动的物体在空中运动的时间，只与下落的高度有关.抛物体的水平位移

由初速度v0和下落的高度y共同决定.

三、飞机投弹问题

典型例题1：如图所示，飞机距地面高度”=500m,水平飞行速度vl=100m/s,追击一辆

速度为母=20m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距汽车水平距离多远处

投弹？(g取10m/s2)

IV2

思路点拨：分析平抛类问题时，常规的方法是将其沿水平和竖直两个方向分解，然后在这两

个方向上利用直线运动的有关规律求解，分析时注意时间这个物理量的灵活运用.

解析：炸弹离开飞机后做平抛运动，由h=*2得：下落时间1=\作=、尸串s=10s.

设距离为x时投弹，由位移关系知：vit=x+vzt；.x=(vi—V2)t=(100—20)x10m=800m.

答案：800m

规律总结:飞机投弹问题其实是平抛运动运动与直线运动的追击问题，关键找到时间关系和

位移关系.

典型例题2：2010年7月15日，我国海军第六批护航编队指挥舰“昆仑山”舰在亚丁湾执行

护航任务.为了驱赶索马里海盗，我护航官兵首先从空中直升机上水平向海盗船发射了一颗

警告弹，6s后官兵看到警告弹在海盗船附近爆炸，若爆炸时警告弹的运动方向与水平方向

的夹角为30°,空气阻力不计，g=10m/s2,求：

(1)直升机发射警告弹时的高度；

(2)警告弹的初速度；

(3)发射警告弹时直升机到海盗船的距离.

解析：⑴直升机的高度h=^gt2=^x10x62m=180m.

(2)警告弹爆炸前瞬间的竖直速度

v

Vy=g.t=10x6m/s=60m/s所以o~tan3O°~^m/s=104m/s

3

⑶直升机到海盗船的距离

s=A/X2+h2=(60-\/3x6)2+1802m

答案：(1)180m(2)104m/s(3)649m

101小贴士：平抛运动的时间由下落的高度决定.

四、与斜面有关的平抛运动的计算

典型例题1：如图所示，小球从倾角为37。的斜面底端的正上方以15m/s的速度水平抛出,

飞行一段时间后恰好垂直撞在斜面上，则小球在空中飞行的时间为s；抛出点距斜

面底端的高度为m.(g取10m/s2)

思路点拨：已知小球垂直撞在斜面上，即已知合速度方向，又已知水平初速度，可求呼，

由求出时间.

解析：小球恰好垂直撞在斜面上，可见落地速度方向已定，如下图所示，v垂直斜面，v

与水平面夹角0=53。.

根据已知条件小球垂直撞在斜面上，及tan6=vy/vx=gt/vo得飞行时间t=votan53°/g=

s=2.0s抛出点高度H=h+y其中y=3gt2=20mh=x-tan37°=(vot)tan37°=15x2x0.75m—

22.5m,所以H=42.5m.

答案：2.042.5

规律方法：此题为平抛运动与斜面相结合的问题，解决此类问题的关键是分析出平抛运动

的速度方向与斜面倾角的关系.

典型例题2：如图所示，在与水平方向成37°角的斜坡上的A点，以10m/s的初速度水平

抛出一个小球，求落在斜坡上的2点与A点的距离及在空中飞行的时间.(g取10m/s?)

解析：设A、B间的距离为s,球在空中飞行的时间为t,则ssin37o=Tgt2①scos37o=vOt②

2ytan372x1Ox-

由①②得t=-------=—布一s=1.5s③将③代入②得sx-=10xl.5,解得s=18.75m.

g105

答案：18.75m1.5s

101小贴士：本题中应注意利用位移方向与斜面倾角相等的关系.

第三节实验：研究平抛运动

一、对器材的安装和实验操作的考查

典型例题1、在做“研究平抛运动''实验时，下列说法正确的是（）

A.安装有斜槽的木板时，一定要注意木板是否竖直

B.安装有斜槽的木板时，要注意小球不和木板发生摩擦

C.每次实验都要把小球从同一位置由静止释放

D.实验的目的是描出小球的运动轨迹，分析平抛运动的规律

思路点拨：（1）应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小球的运动靠

近坐标纸但不接触.

（2）小球每次必须从斜槽上同一位置由静止滚下，在斜槽上释放小球的高度应适当，使小

球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差.

解析：做本实验必须使斜槽末端切线水平，使木板竖直，以确保小球水平飞出和正确画出坐

标轴.小球每次从斜槽上同一位置由静止开始滚下，可保证小球初速度不变.

答案：ABCD

规律方法：研究平抛运动时的注意事项和误差分析

注意事项

(1)实验中必须调整斜槽末端的切线水平(检验是否水平的方法是：将小球放在斜槽末端

水平部分，将其向两边各轻轻拨动一次，看其是否有明显的运动倾向).

(2)方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直.

(3)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止滚下.

误差分析

(1)安装斜槽时，其末端不水平.

(2)小球做平抛运动受空气阻力影响，宜用密度大的金属小球.

(3)小球每次滚下的初位置不尽相同.

(4)建立坐标系时，可能误将斜槽末端端口作为坐标原点.

二、根据运动轨迹求初速度

典型例题1、图为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5

cm,如果取g=10m/s2,那么:

(2)小球运动中水平分速度的大小是m/s；

(3)小球经过B点的速度大小是m/s.

思路点拨：利用竖直方向为自由落体运动，由匀变速直线运动的运动规律求得时间间隔.有水

平方向的匀速直线运动求得初速度.

解析:平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动4、B,C三点

水平间隔相等，故相邻各点的时间间隔相等，设为£

在竖直方向，、h=gT2BP(5-3)X0.05m=g72,解得T=0.1s.

故闪光频率/=，=10〃z

水平方向上有3X0.05m=v0T,

故水平分速度v0==y—=1.5m/s

竖直方向上3点速度为AC段竖直方向的平均速度力，=C+"MO51n=2m/s.

ByIT。

vo与丫9合成得B点速度大小为旧+嗑=2.5m/s

答案:(1)10(2)1.5(3)2.5

规律方法：遇到根据平抛轨迹或平抛物体闪光照片计算初速度时，要注意上方的点不一定是

抛出点，解决方法是在竖直方向列出Ay=aT2和水平方向列出Ax=voT求解.

三、实验的创新设计

典型例题1、试根据平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速度的实验方法，提供的实验

器材：弹射器(含弹丸，见示意图)；铁架台(带有夹具)；米尺.

(1)画出实验示意图；

(2)在安装弹射器时应注意：；

(3)实验中需要测量的量为(并在示意图中用字母标出)；

(4)由于弹射器每次射出的弹丸初速度不可能完全相等，在实验中采取的方法是:

思路点拨：根据平抛运动的规律及各分运动间的等时性和独立性的特点，可以重新设计实验

以达到探究平抛运动规律的目的.

解析：(1)实验示意图如图所示;

(2)弹射器必须保持水平，以保证弹丸初速度沿水平方向;

(3)应测出弹丸下降的高度y和水平位移x,如图所示；

(4)在不改变高度y的条件下进行多次实验测量水平位移无，得出水平位移尤的平均值，

以减小误差；

答案：见解析

规律方法：根据平抛运动的规律设计实验，由平抛运动的特点及实验数据达到探究平抛运动

规律的目的.

第四节圆周运动

一、圆周运动的计算

典型例题1:地球半径R=6400km,站在赤道上的人和站在北纬60°上的人随地球转动的

角速度多大？它们的线速度多大？

思路点拨：站在地球上的人随地球做匀速圆周运动，其周期均与地球自转周期相同.由

w=——和v=rvv可得角速度与线速度的关系.

T

解析：站在地球上的人随地球做匀速圆周运动，其周期均与地球自转周期相同.

如图所示作出地球自转示意图，设赤道上的人站在A点，北纬60。上的人站在8点，地球

自转角速度不变，4、2两点的角速度相同，有0A=0B=2m/P=(2X3.14)/(24X3600)rad/s

"7.3X10-5rad/s

依题意可知：A,6两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径分别为RA=R,

RB=RCOS60°,则由尸。可知，/、6两点的线速度分别为:

vA=<^AKA=7.3X10-5X6400X103m/s=467.2m/s

vB=3X10-5X6400X103Xcos60°m/s=233,6m/s

即人转动的角速度为7.3X10-5rad/s,赤道上和北纬60°的人随地球转动的线速度分别为

467.2m/s和233.6m/s.

答案：见解析

规律方法：处理圆周运动问题时，首先确定匀速圆周运动的圆平面、圆心及半径，最后根据

已知条件列方程求解.

典型例题2：手表的时针和分针转动时（）

A.分针的角速度是时针的12倍

B.时针的周期是12h,分针的周期是60s

C.若分针的长度是时针的1.5倍，针端点的线速度分针是时针的150倍

D.若分针的长度是时针的1.5倍，针端点的线速度分针是时针的18倍

思路点拨：由时针和分针的周期，根据w=岸和v=rvv可得角速度与线速度的关系.

解析：选AD.时针的周期，=12九分针的周期八=1h,71=12%时针的角速度以=2n//,分针

的角速度。2=2〃/%得%=12%;时针长度为n,分针长度为出由题意「2=1.5n，分针端点的

线速度与时针端点线速度之比v2/vi=r2321n«i=1.5X12=18.

答案：AD

规律方法：处理圆周问题时，首先确定匀速圆周运动的圆平面，由线速度角速度及周期的定

义及它们间的关系求解.

二、传动装置中相关物理量的关系

典型例题1：如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一转轴转动，A、8两轮用

皮带传动，三轮半径关系为必=配=20若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘上的a、b、c三点

的角速度之比和线速度之比.

思路点拨：皮带传动装置正常工作时，皮带和两个皮带轮之间没有相对滑动，在相同的时间

里，皮带上一点转过的距离一定等于两个皮带轮轮缘上的点转过的弧长，即两个皮带轮轮缘

上点的线速度大小相等，都等于皮带上点的运动速度，在例题图中va=访.

解析：A、8两轮通过皮带传动，皮带不打滑，A、8两轮边缘上各点的线速度大小相等，即

va=vb,故va:vb=l:1.

8、C两个轮子固定在一起，属于同一个转动的物体，它们上面的任何一点具有相同的角速

度，即3boc=l：1.

因为0=丫/，,丫。=访,以=2力,所以0a:sb=rB：%=1：2

又因为v=3匕ab=。。,，。=2厂小所以vb:VC=VB:rc=l：2.

综合可知：：3boc=l：2:2,va:vb:vc=l：1：2.

答案：1：2：21：1：2

规律方法：皮带传动装置中的两个结论

（1）同轴的各点角速度、转速、周期相等，线速度与半径成正比.

（2）在不考虑皮带打滑的情况下，皮带上各点和与之接触的轮上各点线速度大小相等，而

角速度与半径成反比.

典型例题2：如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为厂,。是它边缘上的一点，左侧是

一轮轴，大轮的半径为4厂,小轮的半径为2r,b点在小轮上，到小轮中心的距离为r,c点和d

点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中，皮带不打滑，则（）

A.a点与b点的线速度大小相等

B.a点与b点的角速度大小相等

C.a点与c点的线速度大小相等

D.a点与d点的线速度大小相等

思路点拨：关键是确定两点间的传动方式，由此得到线速度角速度的关系。

解析：选C.皮带不打滑，故°、。两点线速度相等，C正确；c点、6点在同一轮轴上，故角

速度相等，半径不同，由尸。r力点与c点线速度不相等，即。与6线速度不等，A错；同

样可判定。与c角速度不同，即。与b角速度不同，B错；由于a点的线速度与c点相等，

但c、d两点线速度不等，所以a、d两点线速度不相等，故D错.

答案：C

规律方法：传动装置中各物理量间的关系

传动的几种情况

(1)皮带传动(线速度大小相等)

(2)同轴传动(角速度相等)

(3)齿轮传动(线速度大小相等)

(4)摩擦传动(线速度大小相等)

三、圆周运动的周期性引起的多解问题

典型例题1：如图所示，半径为R的水平圆板绕竖直轴做匀速圆周运动,当半径转到某一

方向时，在圆板中心正上方h处以平行于方向水平抛出一小球，小球抛出时的速度及圆板

转动的角速度为多大时,小球与圆板只碰一次，且相碰点为B?

思路点拨：圆周运动与平抛运动的结合，利用两运动的规律，找到二者之间的桥梁.

解析：小球的运动时间/=J药则小球的抛出速度尸R/QR岛

由题意知，圆板转动的角速度为。=2"(仁1,2,3,...).

答案：v^R.o=2"(A=l,2,3,•••)

\2hV2h

规律方法：圆周运动具有周期性,该类问题常出现多解问题.有些题目会涉及圆周运动和平抛

运动这两种不同的运动,这两种不同运动规律在解决同一问题时，必然有一个物理量在起桥

梁作用，把两种不同运动联系起来，这一物理量常常是“时间”.

典型例题2：如图所示，直径为d的纸制圆筒以角速度。绕垂直纸面的轴。匀速转动(图示

为截面).从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时,在圆周上留下人

b两个弹孔.已知aO和bO夹角为外求子弹的速度.

0)

枪口

思路点拨：此题圆周运动与直线运动结合，关键找到角度的关系.

解析：子弹射出后沿直线运动，从。点射入，从6点射出，该过程中圆筒转动的角度为》-夕

设子弹速度为V,则子弹穿过圆筒的时间Z=d/v此时间内圆筒转过的角度a=n-e

据a=o才得(div)则子弹速度v=—0).

答案：ad/(Ji-6)

101小贴士:关键找到两运动的结合点.

第五节向心加速度

一、对向心加速度的理解

典型例题1：如图所示为质点尸、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线.表示质

点P的图线是双曲线，表示质点。的图线是过原点的一条直线.由图线可知()

A.质点户的线速度大小不变

B.质点尸的角速度大小不变

C.质点0的角速度随半径变化

D.质点。的线速度大小不变

思路点拨：向心加速度公式的应用.

解析：由题图图象知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以断定质点

P的向心加速度ap与半径r的乘积是一个常数匕即aPr=k,cip=〃r,与向心加速度计算公式

ap3r对照可得v2=£即质点的线速度v=&，大小不变,A选项正确.

同理，知道质点。的向心加速度厂与。=。2厂对照可知。2=1，。=病（常数），

质点Q的角速度保持不变，因此选项C、D皆错误.

答案：A

规律方法：（1）应用a产。2尸//7进行定性讨论两个量之间的关系时，一定要保持第三个

量不变，否则不能确定这两个量之间的关系；

（2）利用该式进行计算时一定要明确r的含义，即物体做圆周运动的轨道半径.

典型例题2：关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（）

A.它描述的是线速度方向变化的快慢

B.它描述的是线速度大小变化的快慢

C.它描述的是角速度变化的快慢

D.它描述的是转速变化的快慢

思路点拨：明确向心加速度的物理意义.

解析：选A.匀速圆周运动的线速度大小和角速度都是不发生变化的，转速变化的快慢与角速

度的变化快慢是对应的，所以B、C、D是错误的.

答案：A.

规律方法：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量.

二、向心加速度公式的应用

典型例题1：如图所示，半径为R的半球形碗内有一物体A,当碗绕竖直轴。。‘匀角速度

转动时，物体A在离碗底高〃处紧贴着碗随碗一起做匀速圆周运动，而不发生相对滑动.求

小物体的向心加速度.

2

思路点拨：an=rw的应用.

解析：物体A在水平面内做匀速圆周运动，其运动轨迹如题图中虚线所示的圆，其圆心为0〃，

设该圆的半径为r,则有

R2=（R_h）2+»得心2H—〃）

所以向心加速度大小为A=。2/（2尺_速）方向沿水平方向指向O".

答案：见解析

规律方法：画圆找“心”是确定做圆周运动的物体向心加速度大小和方向的重要一步，在分

析圆周运动问题时,切不可少了这一重要步骤.

典型例题2：如图所示,半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A,一端系

2

一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为一R.将小球从静止释放,释放时弹簧恰无形变，球

3

运动到环的最低点时速率为％这时小球向心加速度的大小为（）

A.v/R

B.v/2R

C.3F/27?

D.3r/47?

思路点拨：匕的应用.

r

解析:选A.小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆,轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动

轨迹的半径就是圆环的半径，其向心加速度的大小为V2/R,加速度方向竖直向上，正确选项

为A.

答案：A

规律方法：解答此类题关键找到圆周运动的半径.

三、传动装置中向心加速度的计算

典型例题1：如图所示，。1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为八，。2为从动轮的轴心,

轮半径为九73为固定在从动轮上的小轮半径.己知力=2八,〃3=1.5n.4B、C分别是3个轮边

缘上的点，则质点A、8、C的向心加速度之比是（假设皮带不打滑）（）

A.1：2：3B.2：4：3

C.8：4：3D.3：6：2

思路点拨：灵活应用公式斯=俨〃和an=02r

解析：因为皮带不打滑，A点与8点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率，根据向心

加速度公式：

斯=B"可得:防:aBfn=2：1

由于3、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度的公式：

an=32r可得::ac=r2:门=2:1.5

由此可得CZA：诙：ac=S：4：3.

答案：C

规律方法：解决传动问题,首先弄清哪些物理量相等,挖掘隐含条件是解题关键.在讨论中，

若两点线速度大小相等,用。=力？讨论。与r的关系较为方便;若两点角速度相等,用片。r

讨论/与r的关系较为方便.

典型例题2：在图中,A、8为咬合传动的两齿轮，rA=2rB,则A、B两轮边缘上两点的（）

A.角速度之比为2：1

B.向心加速度之比为1：2

C.周期之比为1：2

D.转速之比为2：1

思路点拨：两点靠摩擦传动，线速度相等.由丫=加和以=2万G„=v2/rT=——可解答.

w

解析：选B.根据两轮边缘线速度相等，由尸。，得，角速度之比为。A：<vB=vArB：GBM)

=1：2,故A错;由an=v2/r得向心加速度之比为aAaB=v2ArB(v2BrA)=1:2,故B对；

由7=2万〃v得周期之比为TA:TB=rAvB:(rBvA)=2：1,故C错；由n=。/2〃=v/2仃得

转速之比为nA：nB=0A：：2,故D错.

答案：B

27r

规律方法：此类题关键找到两物体的传动方式，灵活运用公式v=9a滑网rT=—.

w

第六节向心力

一、对向心力来源的考查

典型例题1：如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则

()

A.N受重力、支持力，两者的合力提供向心力

B.4受重力、支持力和指向圆心的摩擦力，摩擦力充当向心力

C.4受重力、支持力、向心力、摩擦力

D.以上均不正确

思路点拨：向心力为效果力，不参与受力分析.

解析：A物体随水平转台做匀速圆周运动时，受到重力G和平台对它的支持力小，是一对

平衡力.故不能成为维持物体做匀速圆周运动所需要的向心力.那么是什么力提供向心力呢？

由于A物体仅与平台接触，除了受重力G和支持力FN外，只可能受到平台对它的静摩擦

力的作用.根据静摩擦力的特点，该静摩擦力的方向应与A相对于平台运动趋势方向相反，

但这个相对运动趋势方向不易判断，我们可以由牛顿第二定律及匀速圆周运动的特点来分析.

因物体A的加速度必定指向圆心,故产生加速度的静摩擦力Ff必定指向圆心，所以B正确.C

选项的错误在于多加了一个向心力，应当明确这里的向心力就是静摩擦力.

答案：B

规律方法:做圆周运动的物体需要向心力，匀速圆周运动所需的向心力来源于合外力,非匀速

圆周运动所需的向心力来源于沿半径方向的合力.

典型例题2：如图所示，一小球用细绳悬挂于。点,将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小

球以。点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是（）

B

A.绳的拉力

B.重力和绳拉力的合力

C.重力和绳拉力的合力沿绳的方向的分力

D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

思路点拨：非匀速圆周运动所需的向心力来源于沿半径方向的合力.

解析：选CD.如下图所示，对小球进行受力分析,它受重力和绳的拉力，向心力是指向圆心方向

的合外力，因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向分力的合力,

故选C、D.

答案：C、D

规律方法：解答此类问题关键找到合力沿半径方向的合力.

二、解决圆周运动问题的基本方法

典型例题1:如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴。。'转动，筒内壁粗糙，筒

口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m的小物

块•求:

（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁4点受到的摩擦力和支持力的大小；

（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度.

思路点拨：关键对物体受力分析，找到向心力的来源，利用向心力的公式分析.

解析：（1）物块静止时，分析受力如下图所示，

mg

由平衡条件有Ff=mgsin0FN=mgcos0

R

再由图中几何关系有cos。=sin3=，H

yjR2+H2y]R2+H2

H

故有Ffmgi,

R

FN=mgV/FTH7

(2)分析此时物块受力如下图所示,

由牛顿第二定律有mgtan9=m/厂其中tan8=H/R,r=R/2,可得3=------

R

受安12gH

答案：。=------

R

规律方法：处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：

(1)确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向.例如本题小物块

在水平面上做匀速圆周运动，小球做圆周运动的圆心就在同一水平面上.

(2)向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力的情况时，切不可在物

体的相互作用力(重力、弹力、摩擦力等)以外再添加一个向心力.

典型例题2：如图所示，在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上，有两个质量相等的小物块A和

B,它们分别紧贴漏斗的内壁.在不同的水平面上做匀速圆周运动，则以下叙述正确的是

()

A.物块A的线速度小于物块B的线速度

B.物块A的角速度大于物块B的角速度

C.物块力对漏斗内壁的压力大于物块8对漏斗内壁的压力

D.物块A的周期大于物块方的周期

解析：选D.小物块A和B分别紧贴漏斗的内壁，分别受到相同的重力和支持力，其合力

/向=〃igtan。相同，由

-mv224"2口，口

%=-----=mra)~=mr--^-iL?<人侍vB<vA,°B><^>A,TB<TA.

答案：D

101小贴士：向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力的情况时，切不

可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力.

三、圆周运动的临界问题

典型例题1：如图所示，水平转盘的中心有一竖直的小圆筒，质量为根的物体A放在转盘

上，A到竖直筒中心的距离为二物体A通过轻绳跨过无摩擦的滑轮与物体B相连，8与A的

质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的倍，则转盘转动的角速度。

在什么范围内，物体A才能随盘转动.

解析：若A物体随盘转动的角速度较大，则A要沿盘外滑，此时绳的拉力与最大静摩擦力

的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：7咫+〃〃限=加021r

g(l+〃)

解得电=

若A物体随盘转动的角速度较小，则A要向圆心滑，此时静摩擦力的方向背离圆心，由牛

g(l—〃)

顿第二定律得：wig-Pmg=m<w22f解得。2=

r

要使A随盘一起转动，则角速度切应满足的关系是:可3可

答案:

规律方法：圆周运动中的临界问题的分析与求解（不只是竖直平面内的圆周运动中存在临界

问题,其他许多问题中也有临界问题）.对这类问题的求解一般都是先假设出某量达到最大或

最小的临界情况,进而建立方程求解.

典型例题2：如图所示，半径为r的洗衣机圆筒，绕竖直中心轴A8转动，小橡皮块a靠在圆筒

内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为〃，现要使a不落下，则圆筒转动的角速度。至少为多少?

A

La

B

思路点拨：关键找到物体刚好落下时对应的向心力.

解析：物块a受力如图所示.

mg

小橡皮块恰好不下滑时满足:

2

Ff=mg,FN=7H^r,

且Ff=〃尸N,得rng=Pm«2r,0=

答案:

规律方法：物体刚好落下是向心力等于最大静摩擦力.

第七节生活中的圆周运动

一、对物体做离心运动的分析

典型例题1：下列关于离心现象的说法正确的是（）

A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象

B.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动

C.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都

突然消失后，物体将沿切线做匀速直线运动

D.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动

解析：向心力是根据效果命名的，做匀速圆周运动的物体所需要的向心力是它所受的某个力

或几个力的合力提供的，因此，它并不受向心力的作用.它之所以产生离心现象是由于产合

=Fn<m«2r,故A错.物体在做匀速圆周运动时，若它所受的力突然都消失，根据牛顿第一

定律，它从这时起做匀速直线运动，故C正确，B、D错.

答案：C

规律方法：（1）物体提供的力不足以提供向心力时做离心运动；

（2）离心后物体可以做直线运动，也可以做曲线运动.

典型例题2：如图所示，A、8、C三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为，已知

A的质量为2m，B、C的质量均为机，A、B离轴距离均为R,C距离轴为2R,则当平台逐

渐加速旋转时（）

A.C物的向心加速度最大

B.B物的摩擦力最小

C.当圆台转速增加时，C比A先滑动

D.当圆台转速增加时，B比A先滑动

解析：选ABC.由aw=o2r知A项对；由<i>2r及知B项对；由〃2r

知，C项对D项错.

答案：ABC

101小贴士:关键找到向心力的关系.

二、火车转弯问题

典型例题1：有一列重为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯

道，轨道半径为400m.（g取10m/s2）

（1）试计算铁轨受到的侧压力；

（2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，

我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度。的正切值.

思路点拨：（1）问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力；（2）问中,重力和

铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力.

解析：（1）外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力,所以有Fn=m（v2/r）=（105

义202）/400N=105N.

由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105N.

（2）火车过弯道,重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力,如图所示,

则metanf=m（F2/r）

由此可得tan9=V2./rg=Q.1

答案：(1)105%(2)0.1

规律方法：解决这类题目首先要明确物体转弯做的是圆周运动，其次要找准物体做圆周运动

的平面及圆心，理解向心力的来源是物体所受合力.

典型例题2：路基略倾斜,火车在拐弯时，具有向心力的作用，对于向心力的分析，正确()

A.由于火车本身作用而产生了向心力

B.主要是由于内外轨的高度差的作用，车身略有倾斜,车身所受重力的分力产生了向心力

C.火车在拐弯时的速率小于规定速率时,内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力

D.火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心

力的一部分

解析：选D.火车正常拐弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A、B错；拐弯速率大于(或

小于)规定速率时，外轨(或内轨)对火车有侧压力作用，此时火车受重力、支持力、侧压

力的作用，三力合力提供向心力.

答案：D.

101小贴士:解决圆周问题关键找到向心力的来源.

三、竖直平面内的圆周运动问题

典型例题1：长£=0.5m的轻杆，其一端连接着一个零件A,A的质量m=2kg.现让