高中数学教学案例分析

高中数学教学案例分析

一一《基本不等式》问题法教学

重庆复旦中学简榆新

《高中数学课程标准》指出“学生的数学学习活动不应只限于接

受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、

合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的

主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程

“高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发

展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子

的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的

过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数

学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态」上述精神表达了数

学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下,

数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很

多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的

一个原因是：在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发

学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探

究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此,

“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面，我结合

《基本不等式》的内容，就新课标下高中数学问题教学法谈一些个人

体会。

教学目标：

了解基本不等式的代数，几何背景及其证明，培养学生的数形结

合思想，以及对基本不等式的初步应用

教学重点：

基本不等式的代数，几何证明以及对它的初步应用

教学难点：

用基本不等式求最值的理解及条件掌握

教学方式：

实验探究、合作学习

教学过程如下：

一、情景导入

［视频］动态播放2002年国际数学大会的会标

问题1:图中有哪些相等及不等的关系？

［学生活动］列举自己发现的相等关系和不等关系（老师做点评）

［结论］a2+b2>2ab

问题2：何时取等号？

追问：当a、b取任意实数时，不等式还成立吗？不成立的话请

举出反例。

教师：我们就猜想这不等式还成立，看能否得到证明，再来评判

同学的回答。

二、新课

一般地，对于任意实数我们有"+b->2ah,当且仅当

4=匕时，等号成立。

思考：如果当。＞0力＞0时，用右，昭去替换上面不等式中的4/

能得到什么结论？

基本不等式：窥＜g^（a＞0,b＞0）当且仅当4=〃时,

等号成立。

提问：你能证明它的成立吗？

（老师引导学生从代数和几何两方面证明不等式的成立，并得出它的

代数意义和几何意义）

代数意义：我们通常称旅为正数。力的几何平均数，厘为正数a/

2

的算术平均数，则算术平均数不小于几何平均数。

代数意义：我们通常称疯为正数。力的几何平均数，*为正数a/

2

的算术平均数，则算术平均数不小于几何平均数。

（引导学生数形结合做出几何证明）

几何意义：半径不小于半弦。

三.基本不等式的初步应用

例1.（1）用篱笆围一个面积为100/的矩形菜园，问该矩形的长、

宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（老师引导学生探讨，得出结论）

结论：两个正数积为定值，则和有最小值。

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽

各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

(仿照(1),学生探讨，自主得出结论)

结论：两个正数和为定值，则积有最大值。

最值定理：若都是正数，则

(1)当y=s9则当且仅当x=y时，町有最大值Ld

4

(2)当初=p,则当且仅当x=y时，x+)，有最小值2。

注意：一正二定三相等

练习：(老师引导下自主完成)

1.已知%>0,y>0,

(1).若q=36,贝k+y的最小值是,止匕时光=_,y=；

(2).若x+y=18,则%y的最大值是,此时4,y=；

(3).若x+2y=4,贝ijxy的最大值是,此时户—，y=—；

2.当x>0时，x+工的最小值为,止匕时x=

X

思考：若x<0呢？

(启发学生化归为可以利用基本不等式的形式)

3.已知x>—1,x-\——--的最小值为，止匕时x=

X+1

四.小结

（当且仅当a=b时等号成立）

(a-b)2>0

<'"、几何解释代数证明,//

a2+b2>2ab(a、be7?)

注意基本不等式应用的条件：一正二定三相等!

本节课按照“情景导入一一大胆猜想一一理论证明一一探究条件

——归纳小结一一课外拓展”的模式开展，以真实的情景为基础，从

猜测到理论证明，再到探究条件、应用拓展。在理顺思维逻辑关系方

面的设计是合理的。在教学的方法上采用了实验探究、合作学习，始

终以问题为中心，充分调动学生的积极性参与到交流学习中，学生的