1.1-集合-绝对值-区间

第一章函数

函数是近代数学的基本概念之一，高等数学就是以函数为主要研究对象的一门数学课程。我们已经学过有关函数的基本知识，为了以后更好的学习高等数学，现在让我们把有关内容系统的复习一下。1.1集合绝对值区间例如：某班全体同学组成一个集合；地球上所有的国家组成一个集合；数1.2.3.4.5组成一个集合。满足不等式a<x<b的x组成一个集合；第一、三象限分角线上所有的点组成一个集合等等。一、集合（1）定义：具有某种属性的一些对象所组成的全体称为集合。集合里的各个对象叫做这个集合的元素。习惯上集合用大写字母如A，B，C…等表示，而元素用小写字母如a，b，c…表示。（2）元素和集合的关系一般地，如果是集合A的元素就记为“∈A”，读作“属于A”；如果不是集合A的元素，就记为“A”，读作“不属于A”.例如2∈N，-3∈Z，Q等等.例如，方程的实数解是一个空集。不含任何元素的集合叫做空集，记作含有有限个元素的集合称为有限集。含有无限个元素的集合称为无限集。如果a是集合A的元素，则记作,读作“a属于A”。否则记作,读作“a不属于A”。（3）集合元素具有三个基本特征：※元素的确定性：对于任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素。※元素的互异性：集合中的元素是各不相同的，相同的两个元素归并到同一集合中的只取其中一个。※元素的无序性：在同一集合中不考虑元素之间的顺序.(4)集合的表示方法※列举法：就是把集合中所有元素都列举出来写在大括号内。※描述法：就是把集合中的元素的公共属性描述出来。它记为或大括号内先写上这个元素的一般形式，再画上一竖线或“：”，然后再写上这个集合的元素所具有的共同属性。例如：集合A包含1、2、3、4、5五个数，就可记为例如：1.满足不等式a<x<b的所有x的集合，可表示为

或2.表示所有的圆心在原点的圆的集合为：3.表示所有在直线上的点的集合为：二、子集、交集、并集和补集※子集：如果集合A中的每一个元素都属于集合B，则称A为B的子集，记为或读作“A包含于B”或“B包含于A”。例如：R表示全体实数的集合，Q表示全体有理数的集合，显然Q中每个元素都属于R，所有集合Q是集合R的子集。※真子集：如果A是B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A。那么集合A叫做集合B的真子集，记作例如，所有有理数的集合Q是所有实数的集合R的真子集，即由定义可知，任何一个集合A是它自己的子集,即。注：空集可认为是任何集合的子集。※集合相等：设两个集合A,B。如果，同时,则称集合A与集合B相等。记作※交集：既属于集合A又属于集合B的所有元素的集合叫做集合A与集合B的交集，记作图1.1

图1.2※并集：所有属于A或属于B的元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集，记作如图1.2中阴影部分表示集合A与B的并集。那么例如，※全集：如果所讨论的集合都是某一个集合的子集，那么集合称为全集。※补集：如果集合A是全集的子集，则在中不属于A的元素所组成的集合，叫做集合A在集合的补集，简称集合A的补集，记作。如图1.3中阴影部分是集合A的补集（长方形表示全集），它可表示为=图1.3

显然，其中表示集合的补集。即为所有无理数的集合。例如，全集为所有实数的集合。Q表示所有有理数的集合，则=三、绝对值（1）定义：实数a的绝对值（记作|a|）规定为a的绝对值在数轴上表示点a到原点的距离。（2）绝对值有以下的一些性质：（a）；（b）如果，反之亦然。（c）如果，反之亦然。（3）绝对值的运算规则：（a）（a，b为实数）。事实上

两式相加，得

所以事实上，即（c）这两个公式是显然的。(b)四、区间开区间（a,b）abx图1.4闭区间[a,b]abx

图1.5定义1集合称为开区间，记作（a，b）。它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点a及端点b（图1.4）；定义2集合称为闭区间，记作[a,b]。它在数轴上表示点a与点b之间的线段，包括其两个端点（图1.5）。还有其它类型的区间：记作（a，b],称为半开区间；记作[a，b),称为半开区间；或记作或，

称为半无穷区间；记作，称为无穷区间等。

※邻域定义：集合称为点a的邻域。它可以用开区间来表示。

事实上，去绝对值，得即就是说，点a的邻域就是开区间。

从数轴上看，点